Discuter:Produit scalaire

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[modifier] Produit scalaire ou hermitien?

y'a pb: C'est déf. à val. ds R mais conjug. complexe plus loin.

scalaire => e.v. réel.
hermitien => e.v. complexe. MFH 27 mai 2005 à 23:48 (CEST)

Effectivement, le produit scalaire ne peut être défini que sur un espace vectoriel réel, ce qu'il faudrait préciser, et distinguer le produit hermitien.

On peut ajouter qu'un tel espace est alors appelé espace préhilbertien, et lorsqu'il est de dimension finie espace euclidien.

Tout cela nécessite malheureusement un remaniement assez important de l'article à mon sens et la création d'un nouveau pour le produit hermitien.

Ce n'est pas si simple car dans de nombreux ouvrages le produit hermitien est appelé produit scalaire (petit encyclopédie mathématiques, Didier - Dictionnaire des mathématiques moderne, Chambadal - épreuce du concours commun polytechnique 2005, ...HB 18 mai 2006 à 15:43 (CEST)

[modifier] De quelle opération s'agit-il ?

"En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique supplémentaire définie dans un espace vectoriel." Bien, ça ne dit pas ce qu'est le PV, ni encore de quelle opération il s'agit.

"Elle permet de retrouver les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle : longueurs, angles, ==orthogonalité en dimension deux et trois, mais aussi de les étendre à des espaces vectoriels réels de toute dimension, et parfois aux espaces vectoriels complexes." Bon. ça met l'eau à la bouche. Tout ça à la fois ? mais comment ?

"C'est ainsi qu'une fois qu'on aura muni un espace de polynômes d'un produit scalaire, on pourra parler de distance ou d'angle entre deux polynômes." Je veux bien munir une espace de ce qu'on veut, mais si on me demande de le munir d'un polynome de quelquechose dont j'ignore encore la nature, je ne vais pas aller loin.

"Toutefois, un même espace vectoriel peut être muni d'une multitude de produits scalaires distincts qui aboutiront à des résultats non équivalents d'angles, distances, orthogonalité. Le choix du produit scalaire adapté à un problème, notamment d'analyse fonctionnelle peut être la clef de sa résolution." Oui mais, encore... je veux simplement savoir ce qu'est un produit scalaire (le concept, donc exprimé en français si la notion est bien comprise, ce doit être possible).

"Pour le produit scalaire en géométrie élémentaire voir l'article Géométrie vectorielle" sans commentaire ! (15 avril 2006)

Vous avez raison de faire ce commentaire. La nouvelle version devrait vous convenir davantage. HB 18 mai 2006 à 15:43 (CEST)

[modifier] Suppression d'information

Un sujet de discussion a lieu sur la page discuter:Espace_euclidien au sujet du contenu des articles géométrie euclidienne, espace euclidien, et produit scalaire. Mon opinion est que la page produit scalaire n'a pas à donner les propriétés uniquement valables pour la dimension finie (espacle euclidien espace hermitien). J'ai déjà déplacé ces propriétés dans espace euclidien et je souhaite les supprimer dans cet article. Qu'en pensez-vous. HB 23 mai 2006 à 13:59 (CEST)

oui, mais il faut tenir compte du lecteur : pour nous l'architecture générale est claire, mais le lecteur lambda arrivant sur cette page a des chances de chercher en priorité des infos sur le produit scalaire dans le plan usuel. Il faut mettre des liens en conséquence dans les intros pour le guider à la bonne adresse. Peps 23 mai 2006 à 14:36 (CEST)

Il ne s'agit pas de faire disparaitre les infos sur le produit scalaire dans le plan usuel (je viens de les mettre ce n'est pas pour les supprimer !) mais de faire disparaitre le paragraphe sur la dualité dont les informations ont migré dans espace euclidien. HB 27 mai 2006 à 14:35 (CEST)

[modifier] Suppression

dans l'historique j'ai supprimé une phrase sur Peano qui se réfère apparemment au produit vectoriel

Il me semble que tu as eu tort : dans ce site par exemple, on montre comment Peano définit le produit scalaire de U et V comme le produit vectoriel d'un vecteur U avec le vecteur image du vecteur V par rotation d'angle pi/2. HB 19 juin 2007 à 13:04 (CEST)

[modifier] Refonte de l'article

Elle est motivée par trois raisons :

La logique. Le choix de définir le produit scalaire à l'aide de la géométrie du triangle et non pas par une forme bilinéaire comporte des conséquences. Les propriétés algébriques découlent des théorèmes comme Pythagore ou Al-Kashi. Démontrer Al-Kashi avec les propriétés algébriques devient illogique, car ces dites propriétés se démontrent avec des raisonnement qui nécessitent une démonstrations analogues au résultat que l'on souhaite démontrer. On utilie alors le résultat du théorème pour le démontrer. Il en est de même avec l'expression du produit scalaire en terme de coordonnées. Dans ce contexte, ce n'est plus une définition mais le résultat d'une démonstration.

Eviter les redites. Le produit scalaire est un vaste sujet traité dans de multiple articles comme espace euclidien, espace hermitien, espace préhilbertien ou encore espace de hilbert. L'objectif est d'éviter les redites et de terminer un article là ou un autre prend le relai.

La cohérence. Enfin, l'objectif est un traitement cohérent dans le sujet traité et dans le niveau nécessaire à sa compréhension. Si, dans le cas général, cet objectif est bien difficile à atteindre, dans le cas particulier du produit scalaire, il existe tellement de choses à dire, qu'il est impossible de tout traiter rigoureusement dans un unique article (à moins d'écrire un monstre de plusieurs dizaines de pages). Comme il existe de multiple articles traitant sous des angles différents le même sujet, autant en profiter. Jean-Luc W (d) 13 décembre 2007 à 10:42 (CET)

[modifier] Le serpent se mord-t-il la queue ?

Je suis d'accord, mais il y a un petit problème: la norme d'un vecteur est définie à partir du produit scalaire, alors que le produit scalaire est défini à partir de la longueur des vecteurs, donc d'une norme. :-) Ylebru (d) 26 décembre 2007 à 10:12 (CET)

L'article manque en effet de clarté. L'espace affine est supposé disposer d'une distance et d'un groupe de rotations. Le produit scalaire est définie à partir de la distance et du groupe de rotations sur l'espace affine, et la norme à partir du produit scalaire. Le produit scalaire n'est donc pas défini à partir d'une norme. Il est en effet nécessaire de le préciser. Jean-Luc W (d) 31 décembre 2007 à 09:33 (CET)

Aujourd'hui où en est-on?, l'article est-il encore à réorganiser~, et selon quelles orientations prioritaires?Michelbailly (d) 28 janvier 2008 à 13:51 (CET)

Le produit scalaire est défini de manière purement géométrique dans un premier temps et le serpent ne se mord pas la queue. Il manque encore une introduction à l'utilisation du terme produit scalaire dans un Banach. Dans l'ensemble, je pense qu'il s'approche d'un premier point stable. A moins qu'un spécialiste de la géométrie affine ne remarque d'autres améliorations ... Jean-Luc W (d) 28 janvier 2008 à 14:37 (CET)

[modifier] Une analyse critique

J'étais plutôt favorable à l'ancienne mouture [1] et je sais, pour l' avoir pratiqué, que l'on ne créé pas de cercle vicieux en retrouvant Al-Kashi à l'aide du produit scalaire, les propriétés algébriques découlant des propriétés du projeté orthogonal. D'autre part, l'écriture dans toute base orthonormé découle de l'écriture 2AB.AC=AB²+AC²-BC² indépendemment d'autres considérations. Enfin, j'étais en wikibreak quand ceci a été fait donc je n'ai rien à dire....Mais, j'avais promis à Jean-Luc de préciser mon opinion quant à cette nouvelle mouture.

L'objectif en est précisé dans l'introduction mais échappe en première lecture : construire une définition géométrique du produit scalaire.

[modifier] Espace de travail

L'objectif est donc de se placer dans un espace euclidien dans le sens élémentaire: ensemble de points, plan ou espace muni d'une distance, dans lequel on sait mesurer des angles et calculer un cosinus. géométrie du plan et de l'espace classique. Cette précision est à mon avis à mettre en évidence en introduction dans Définition et première propriété et doit remplacer la phrase trop imprécise "Le produit scalaire est défini sur les vecteurs d'un espace affine"

[modifier] Orientation et rotation

il me semble que l'on peut définir les angles géométriques sans avoir besoin de définir les rotations (angle orientés) donc les considération sur l'orientation de l'espace est inutile: l'angle géométrique est toujours compris entre 0 et pi. Je sais que cette notion d'angle est une faille du système d'Euclide mais je ne coris pas que cet article soit le lieu pour évoquer le pb : on part de l'a-priori intuitif : "on sait mesurer des angles" et on sait aussi calculer le cosinus d'un angle aigu (triangle rectangle) et obtus

[modifier] Doit-on déborder sur la norme ?

Etant donné que la distance est un acquis, la norme d'un vecteur est connue comme la distance AB (pourquoi noter la distance |AB| au lieu de AB ?) si $\overrightarrow{AB}$ est un représentant du vecteur. Elle est connue avant que ne soit défini le produit scalaire. On peut juste remarquer que son carré correspond au produit scalaire du vecteur par lui-même. Du coup, l'inégalité triangulaire ne me parait pas avoir sa place dans les propriétés.

De même le théorème de Pythagore est un outil connu qui ne se déduit en rien de cette définition du produit scalaire

[modifier] Inégalité de Cauchy-Schwartz

elle ne me parait pas la première des propriétés mais je ne vois pas où la glisser....

[modifier] Propriété géométrique

avec le nettoyage drastique que je propose, il ne reste que trois propriétes géométriques du produit scalaire qui sont d'ailleurs trois autres manières géométriques de le définir (par projection, par calcul de distance, par calcul d'aire). J'y mettrais bien aussi les caractérisation de colinéarité et d'orthogonalité qui sont, il me semble, une des utilisations du produit scalaire.

[modifier] Propriété algébrique

Avant de commencer, signaler que son nom de produit scalaire semble dire qu'il s'agit d'une "opération" qui a deux vecteurs associe... un scalaire. Le fait de l'appeler produit sous-entend que ce "produit" possède des propriétés que l'on est en droit d'attendre d'un produit Symétrie, bilinéarité (à rapprocher de la distributivité et de l'associativité avec prudence). Dans définie positive, il y a mélange entre la définition et la propriété ==> à séparer

Dans Bilan : il me parait important de signaler que ces propriétés découvertes avec cette construction du produit scalaire deviennent LA définition du produit scalaire dans un espace vectoriel. Il me semble que ce résultat doit apparaitre de manière nette avec encadrement et tutti quanti

[modifier] Expresson analytique

le niveau de la section est ambigu : on a quitté l'aspect géométrique pour aborder un niveau post bac : matrice symétrique, changement de base (mais alors pourquoi se limiter à la dimension 3 ?)

[modifier] Structures induites

Je suis toujours gênée de voir dans les structures induites des structures qui ne correspondent pas à la définition du produit scalaire donnée dans l'article. Je préfèrerais structures induites ou dérivées. Je remettrais bien ici, la définition du produit scalaire dans un espace vectoriel quelconque sur R avec les choses qui en découlent : norme et angle, puis la définition du produit scalaire sur un espace sur C (produit scalaire hermitien). Ensuite seulement j'aurais parlé des espace euclidien et hermitien en mettant en évidence le caractère de dimension finie de l'espace euclidien et ne laisserais pas des phrases comme "Un espace euclidien est un espace, généralement défini de manière axiomatique et comportant un produit scalaire. " même si la précision vient postérieurement. puis ensuite les espace de Hilbert.

j'ai conscience que mon analyse est assez critique et tend à rapprocher l'article de l'ancienne version [2] donc je préférerais que Jean-Luc voit comment tenir compte de mes remarques ou me donne un blanc seing pour une contre-proposition. HB (d) 28 janvier 2008 à 19:35 (CET)

[modifier] Réponse de jl

Chère HB,

Je ne me souviens pas d'intervention de ta part telle que le résultat me semblait moins bon après qu'avant. Tu as donc, si c'était nécessaire tous les blancs seings du monde ainsi que le mien pour agir.
L'objectif est d'écrire un article aussi accessible à un niveau correspondant au secondaire ou à une utilisation proche de celle des physiciens. Enrichir l'article ne me semble pas contradictoire avec cet objectif. Comme tu connais mieux ce public que moi, je suis très confiant.
Pour le savoir un plus avancé, j'ai enrichi les articles espace euclidien, espace hermitien et pour la version complète forme bilinéaire et orthogonalité (en cours de travail).
Il manquera encore le dernier produit scalaire (je travaille sur les autres articles pour en préparer l'insertion dans cet article). Il correspond au Banach. Si E est un Banach, on représente souvent une partie du dual par une isométrie (en général non surjective) d'un espace F dans le dual de E, en général par une forme intégrale. On obtient ce qui est encore appelé un produit scalaire sur FxE qui permet par exemple de développer la théorie spectrale (c'est une des techniques principales de détermination et d'analyse des propriétés du spectre dans le cas général). C'est une forme bilinéaire dont les noyaux à droite et à gauche sont réduit au vecteur nul. Je ne sais pas encore comment l'introduire simplement dans cet article.

Je crois que, pour cet article, j'ai donné le meilleur de moi-même. Pour l'instant, je me sens un peu bloqué. Il est temps que d'autres talents l'enrichissent.Jean-Luc W (d) 28 janvier 2008 à 19:53 (CET)

Bon, je sais que tu es aussi pris par l'article sur vecteur. Je tente cette nouvelle proposition. J'ai supprimé Pythagore et l'inégalité triangulaire car elles me paraissent des propriétés métriques antérieures au produit scalaire (s'il est défini géométriquement) et j'ai développé la définition d'un produit scalaire dans un ev quelconque en déplaçant les remarques initialement placée dans "bilan" dans une section dédiée de "structures induites et dérivées" (en reprenant une version ancienne). Pour le reste c'est plutôt un peu de toilettage. Ce n'est qu'un proposition éventuellement modifiable bien entendu. HB (d) 4 février 2008 à 12:10 (CET)

Pythagore et l'inégalité triangulaire dérive assurément des propriétés métriques. A mes yeux cela ne supprime pas la pertinence de ces propriétés vis à vis produit scalaire. L'existence du procédé d'orthogonalisation de Schmidt dérive des formes bilinéaires et non du produit scalaire dans un espace séparable, comme les propriétés caractères pour les représentations des groupes dérivent directement de l'algèbre linéaire et des traces. Cela m'empêche pas d'indiquer ces propriétés sur les espaces euclidiens ou en théorie des représentations. Je pense qu'une propriété doit être citée si elle est pertinente dans le contexte même si elle découle d'une axiomatique plus générale. Maintenant, c'est plutôt toi qui connaît le public de cet article. Si tu penses que cette propriété est plus susceptible de confusion que d'un véritable apport, je m'incline de bonne grâce.

Je suis dans une période où je ne suis pas très partisan des répétitions des définitions. Voilà pourquoi je n'ai pas répété celle du produit scalaire. Je reconnais néanmoins que chercher la définition complète devient bien malcommode à l'heure actuelle (tu cherches dans espace euclidien puis dans forme bilinéaire puis dans bilinéaire puis dans ...). Si on faisait un vote, j'imagine que la grande majorité te donnerait raison (sur ce coup là je pense que je voterais contre ma mode passagère d'ailleurs, pourquoi serai-je cohérent ?). Jean-Luc W (d) 5 février 2008 à 12:22 (CET)