Discuter:Espace euclidien

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Archive 1

Sommaire

[modifier] Chamboulements

Voilà, voilà, j'avais l'impression qu'on tirait tous un peu dans le meme sens, donc j'ai procédé aux changements : l'article Géométrie euclidienne est désormais consacré à l'évolution des concepts géométriques à partir d'Euclide ; c'est essentiellement le travail de Jean-Luc W, que j'ai un peu réorganisé pour éviter les redites, et en tenant compte de (certaines) remarques de HB. Certains paragraphes sont passés à l'as dans le processus, on peut les retrouver sur ma page de brouillon (et dans les historiques, bien sur). Du coup, l'article espace euclidien devient vide ; j'a=y ai transféré quand meme ce qui avait été fait sur la comparaison avec hermitien et dim finie, qui après tout, est intéressant et se trouve bien là. Mais ce ne sera pas suffisant. Pour l'ancien article Géométrie euclidienne, je ne savais pas trop qu'en faire ; il est aussi chez moi. Comme je l'avais dit à un moment, il peut y avoir quelque chose d'intéressant à développer dans le style suivons Euclide pas à pas, et qui pourrait se baser sur ça.

J'espère que l'articulation des différents changements épistomologiques sera plus claire dans la nouvelle version de l'article. Qu'en pensez-vous? Nombre des remarques faites initialement restent toutefois valides, et du travail encore en perspective, mais dites si le plan du moins recueille ou non votre assentiment.Salle 12 mai 2006 à 20:58 (CEST)

Salle avait raison: lire l'article précédent en le voyant sous l'angle de géométrie euclidienne et non sous celui de l'espace euclidien rend caduque un grand nombre de mes critiques. La disparition de la partie histoire fait tomber un grand nombre de redites et tout (ou presque) s'éclaire. Reste maintenant à etayer un peu l'article espace euclidien avec par exemple, norme distance et angle). Pour les commentaires restant à faire sur le nouvel article géométrie euclidienne voir Discuter:Géométrie euclidienne. HB 13 mai 2006 à 15:12 (CEST)
Il faut compléter l'article, mais éviter de faire un doublon avec produit scalaire Theon 13 mai 2006 à 18:50 (CEST)


[modifier] Comment organiser les articles espace euclidien, produit scalaire...

La remarque précédente de theon m'a fait réfléchir. C'est vrai qu'il serait bon de bien savoir ce que l'on veut mettre dans produit scalaire et dans espace euclidien. Mais cela risque de ne pas être facile : je trouve les articles espace euclidien (algèbre linéaire), produit scalaire, orthogonalité, espace préhilbertien, géométrie vectorielle (pour le produit scalaire élémentaire) autres (?)

Personnellement, j'ai envie de voir

  • dans espace euclidien (à ordonner ) la définition, le cas du vectoriel et de l'affine, les distance et les angles, des exemples d'utilisation, des généralistaion (changement de corps, passage à la dimension infinie) le fait que c'est un espace de Hilbert isomorphe à R^n, similitude ? .
  • dans produit scalaire : plus de chose que la définition générale Actuellement, produit scalaire (mathématiques élémentaires) renvoie sur géométrie vectorielle. je préfèrerais que cela renvoie sur
    • un premier chapitre de produit scalaire avec les définition niveau lycée (produit des longueurs par le cosinus de l'angle, lien avec la projection, lien avec demi différence du carré d'une longueur par la somme des deux autres, écriture dans un ron, utlisation immédiate pour le calcul d'un travail, l'évaluation d'un angle, la représentation de Jean-Luc sous forme d'une aire, la bilinéarite, ce qui permet de déboucher sur
    • un second chapitre avec la définition générale. les exemples, les espaces spécifiques.

Dualité dans le cadre euclidien ou hermitien devrait être déplacé dans les articles adhoc, la notion d'angle devrait remonter dans produit scalaire réel

  • il me semble qu'une relecture de l'article orthogonalité s'impose pour bien vérifier la coherence de l'ensemble

Bref un gros chantier sur lequel je souhaiterais vos avis ou suggestions. HB 14 mai 2006 à 18:27 (CEST)

[modifier] Réponse de JL

  • Espace Euclidien, essentiellement jusqu'à niveau 3eme. Ensuite, un bref résumé et pointeur vers la topologie et le produit scalaire et les formes bilinéaires pour le plus complexe. L'article est relativement exhaustif, traite ce que tu indiques mais est clairement ciblé sur un public vaste.
On va avoir du mal car le terme d'espace euclidien a complètement disparu du vocabulaire du collège et du lycée : on ne parle que de géométrie plane et géométrie dans l'espace. A mon avis, il faut mettre dans cet article la définition universitaire de l'espace euclidien (vectoriel et affine). Il faut aussi évoquer très pudiquement le fait que la géométrie élémentaire se place dans des espace euclidiens sans qu'on le dise jamais.HB 16 mai 2006 à 09:30 (CEST)
Il me semble qu'il faut aussi mettre en évidence les propriétés des espace vectoriel euclidien sur les bases, les isomorphisme, l'orthogonalité la dualité en renvoyant sur les articles détaillés. HB 20 mai 2006 à 08:01 (CEST)
  • Produit scalaire, essentiellement le savoir entre seconde et sup. un premier chapitre liant espace euclidien et produit scalaire, l'approche par les informations des figures angles longueur et la formalisation avec un peu d'analyse : les fonctions trigonométriques et un peu d'algèbre la bilinéarité, le cas symétrique et les angles le cas alterné et les surfaces, essentiellement en dim 2 pour commencer. Un second chapitre plus général mais essentiellement de dimension finie avec les grands classiques style Cauchy-Schwarz ou Minkowski mais rien de sévère.
Il me semble que dans le produit scalaire, il faut ne mettre que les définition et les propriétés générale et réserver les propriétés relatives à la dimension fini dans les articles espace euclidien et espace hermitien pour éviter un amalgame dangereuxHB 20 mai 2006 à 08:01 (CEST)
  • Forme bilinéaire, une approche plus riche avec la relation avec le dual, les formes sesquilinéaires, les endomorphismes normaux, le théorème spectrale, la dimension infinie qui introduit Fourier, le cas compact, la séparation d'un point et d'un convexe par un hyperpla, en bref les fondements nécessaires pour pouvoir traiter convenablement l'analyse fonctionnelle.
  • Forme sesquilinéaire est relativement simple (niveau sup), Orthogonalité est accessible avec un niveau de secondaire (j'ai commencé à préparer le terrain avec les supplémentaires), autoadjoint et normal et plus soutenu.
  • La vraie géométrie au sens de Klein, c'est à dire par l'approche d'un groupe topologique de transformations apparaît un peu dans le développement des groupes orthogonaux. On doit comprendre à la lecture de ces articles sur les groupes orthogonaux et consor qu'un groupe orthogonal est un outil puissant, qui apparaîtra comme indispensable pour l'analyse fonctionnelle mais, le traitement avancée doit se trouver dans les articles sur la représentation des groupes de Lie par exemple compacts.

Je me sens à l'aise sur les formes bilinéaires, sur quelques aspects du produit scalaire, beaucoup moins sur espace euclidien. Jean-Luc W 14 mai 2006 à 19:44 (CEST)

[modifier] Espace euclidien canonique

L'espace vectoriel \R^n, muni de son produit scalaire canonique, est appelé "espace euclidien canonique de dimension n". C'est une terminologie connue ; on la trouve sur Google (mais elle est bien antérieure à l'Internet). Canonique signifie, entre autres, "qui sert de modèle": précisément, \R^n, muni de son produit scalaire usuel, est fondamentalement le "seul" espace euclidien de dimension n (l'adjectif "canonique" qualifie tant le produit scalaire usuel sur \R^n que la structure euclidienne associée). De même, en algèbre linéaire, si K est un corps, Kn (muni de sa structure d'espace vectoriel produit) est appelé espace vectoriel canonique de dimension n sur K (cf. notamment sur Google une citation de Godement). --Vivarés (d) 12 décembre 2007 à 01:09 (CET)

Merci de la précision, voilà qui mérite correction. Je ne le trouvais pas très canonique car il possède une base privilégiée. En revanche entre Godement et moi, je reconnais qu'il n'y a pas photo. Si par hasard, il existe d'autres erreurs, incomplétudes ou points de vue trop polémiques, je suis bien sur preneur. Jean-Luc W (d) 12 décembre 2007 à 09:42 (CET)

PS: j'ai un peu de mal à trouver la citation. Elle me semble utile pour ceux qui commettraient la même erreur que moi.
Cf. la référence suivante : [1] (Godement : Domaines fondamentaux des groupes arithmétiques). Vivarés (d) 12 décembre 2007 à 15:24 (CET)

Merci, j'en ai profité pour indiquer des références sur tous les points qui demandent peut être des précisions. Pour le reste, j'espère que le lecteur averti trouvera que c'est suffisant, les trois références de base couvre de toute manière le sujet. Jean-Luc W (d) 12 décembre 2007 à 16:06 (CET)

[modifier] Equivalence des normes

La démonstration de l'équivalence des normes en dimension finie proposée repose sur la continuité des applicaions linéaires. Ce point n'apparaît pas assez clairement dans la preuve. Bon, j'aurais pu modifier sans passer par ici, mais ce qui motive ce message, c'est que la « continuité de quelques applications linéaires » apparaît plus loin, et qu'elle est rédigée en choisissant une norme. Bon, en plus, je ne trouve pas que l'article soit l'endroit naturel où mettre ça : pourquoi pas plutôt l'article norme (mathématiques) ? Salle (d) 15 décembre 2007 à 14:24 (CET)

Et plus généralement, c'est toute la partie intitulée géométrie que je verrais plutôt là-bas. Comme ça, on pourrait utiliser ce terme pour parler un peu de groupe orthogonal. Salle (d) 15 décembre 2007 à 14:26 (CET)
Voilà deux pertinentes remarques. A vrai dire, j'ai hésité, puis vu le style de espace vectoriel normé je me suis dit que cela allait donner une importance démesurée au cas réel. Ensuite, je n'ai pas traité la caractérisation d'une structure euclidienne (J'espère que Klein va me pardonner) pour une question de taille et de difficulté dans la démonstration dans le cas général (pour l'instant on a rien sur les groupes de Lie). Tes remarques à la suite de celle de Cgolds sur l'endroit naturel d'un tel paragraphe me laisse penser que approche actuelle, un peu taupinal, n'est pas la plus judicieuse. Jean-Luc W (d) 15 décembre 2007 à 15:47 (CET)
En fait, la partie de l'article consacrée aux normes traite de propriétés qui, pour une bonne partie d'entre elles, n'ont rien de spécifiques aux normes euclidiennes (et à mon sens, certaines phrases pourraient même laisser penser à un lecteur non averti que "norme" et "norme euclidienne" sont une seule et même chose). Il conviendrait de renvoyer à l'article "norme" ce qui n'a rien de spécifique aux normes euclidiennes, et de conserver ici les propriétés particulières (par exemple la caractérisation du caractère euclidien d'une norme par la relation du parallélogramme). Vivarés (d) 15 décembre 2007 à 17:39 (CET)
De facto, l'article espace vectoriel normé privilégie les espaces vectoriels sur les corps archimédiens (forme de l'inégalité triangulaire), donc à mon avis, cela ne pose pas de souci de transférer là-bas. Il sera toujours temps plus tard d'homogénéiser la présentation dudit article. Ensuite, il me semble qu'il y a de la place pour dire des choses sur les transformations d'espaces euclidiens avant d'être acculé à prononcer le mot groupe de Lie. Salle (d) 15 décembre 2007 à 17:51 (CET)

Cette vibrante unanimité (si je compte aussi Cgolds) ne prouvent qu'une chose : c'est vous qui avez raison. Je dois dire qu'en écrivant mes arguments, je les trouvais plutôt faibles avant d'avoir pensé à la subtile et élégante remarque de Salle et au risque réel du quiproquo vivarien. Passons donc à la question d'après : Comment équilibrer l'article entre algèbre et géométrie ? Vivares propose de parler de caractérisation des normes, inégalité triangulaire, forme polaire. C'est utile, voir indispensable, mais un peu léger. J'imagine une caractérisation des isométries euclidiennes et affines (si c'est l'idée à laquelle pense Salle et qui ne fait pas doublon avec les autres articles). Sur la caractérisation de la géométrie par le groupe orthogonal, la remarque de Salle reste pertinente, elle ne correspond pas à la technicité de l'article et reste donc essentiellement hors champs. Avec cela, a-t-on tout dit sur l'aspect géométrique d'un espace euclidien ? Je suis preneur en cas d'erreur ou d'omission. Jean-Luc W (d) 15 décembre 2007 à 19:01 (CET)

Ma remarque concernait uniquement un passage précis de l'article ; j'ai abondé dans le sens de Salle sur un point qui m'avait déjà frappé. Le sujet m'intéresse, mais actuellement je n'ai guère de temps disponible ; en particulier, je n'ai nullement prétendu définir (même très partiellement) — en dehors de ce que j'ai dit sur le caractère non spécifique de certains passages relatifs aux normes— ce qui devrait figurer dans l'article, plutôt que dans des articles associés. Cordialement, Vivarés (d) 15 décembre 2007 à 23:29 (CET)
Aucun souci Vivarès, et merci beaucoup pour la relecture et la pertinence des commentaires Jean-Luc W (d) 16 décembre 2007 à 09:46 (CET)
Je suis resté flou par ce que j'entendais par groupe orthogonal volontairement, parce que je ne sais pas précisément ce qu'il y a à mettre dedans, sans compulser un bouquin (et le biblio est fermée en ce moment). En fait, je pensais qu'on pouvait évoquer des décompositions du groupe, des systèmes de générateurs canoniques (transvections + permutations, a bisto de nas). Cela dit, c'est peut-être plus du matériel pour l'article groupe orthogonal lui-même, et tes suggestions sur les caractérisations des isométries et de la géométrie ont l'air meilleures (mais je n'ai pas non plus les énoncés précis en tête). Salle (d) 17 décembre 2007 à 09:57 (CET)

Je vais tenter quelque chose d'autre. Si le nouvel essai ne s'avère pas plus concluant que le précédent, ce n'est pas si grave. Entre Salle Vivares et Peps, on devrait trouver les axes d'améliorations manifestes et le contenu servira toujours à enrichir WP sur les sujets connexes, qui ont bien besoin de matière. Jean-Luc W (d) 17 décembre 2007 à 10:20 (CET)

[modifier] Latex

Comme plusieurs contributeurs, je choisis de ne pas latexifier le contenu du texte. Latex rend le texte beaucoup moins lisible sur certaines machines dont la mienne (et probablement celle de beaucoup de lecteurs). D'après ce que j'ai compris, cela rend de plus la lecture difficile pour les non-voyants.

Je suis sur qu'il existe une utilisation plus utile à WP que de se lancer dans une action considérée comme polémique par plusieurs d'entre nous.

Cordialement Jean-Luc W (d) 17 décembre 2007 à 09:02 (CET)

[modifier] Création d'une archive

L'essentiel de la page de discussion porte sur l'article Géométrie euclidienne, je l'ai donc archivé. Jean-Luc W (d) 17 décembre 2007 à 13:02 (CET)

[modifier] Orientation

Dans la partie géométrie du triangle, il est écrit : Si E est de dimension deux, alors il est possible d'orienter l'espace et l'angle (x, y) n'est pas nécessairement égal à celui de (y, x). Pour les autres dimensions, il existe toujours une rotation dont l'image de x (resp. y) est égale à y (resp. y) et un angle orienté ne fait pas sens. Bon, à mon avis, c'est à reformuler, mais je ne suis pas sûr de faire quelque chose de très convaincant : Il est toujours possible d'orienter un espace euclidien de dimension n, mais cela n'a une répercussion sur les angles entre deux vecteurs que pour n=2, car il s'agit in fine d'orienter les familles libres de n vecteurs. Dans le cas de la dimension 2, une orientation étant choisie, on obtient une notion d'angle orienté. Salle (d) 6 janvier 2008 à 17:03 (CET)