Polynôme de Bernoulli
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En mathématiques, les polynômes de Bernoulli apparaissent dans l'étude de beaucoup de fonctions spéciales et en particulier, la fonction Zeta de Riemann.
Sommaire |
[modifier] Définition
Les polynômes de Bernoulli sont l'unique suite de polynômes telle que :
- B0 = 1
[modifier] Fonctions génératrices
La fonction génératrice pour les polynômes de Bernoulli est
- .
La fonction génératrice pour les polynômes d'Euler est
- .
[modifier] Les nombres d'Euler et de Bernoulli
Les nombres de Bernoulli sont donnés par .
Les nombres d'Euler sont donnés par .
[modifier] Expressions explicites pour les petits ordres
Les quelques premiers polynômes de Bernoulli sont :
Les quelques premiers polynômes d'Euler sont :
[modifier] Différences
Les polynômes de Bernoulli et d'Euler obéissent à beaucoup de relations du calcul symbolique utilisé par Édouard Lucas, par exemple.
[modifier] Dérivées
[modifier] Translations
[modifier] Symétries
[modifier] Autres propriétés des polynômes de Bernoulli
[modifier] Valeurs particulières
[modifier] Série de Fourier
La série de Fourier des polynômes de Bernoulli est aussi une série de Dirichlet et est un cas particulier de la fonction zeta d'Hurwitz
[modifier] Références
- M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York. (See Chapter 23.); wiki: Abramowitz and Stegun.
- Tom M. Apostol Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. (See Chapter 12.11)