Nombre d'Euler

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Les nombres d'Euler sont une suite E_n\, de nombres entiers positifs définis par le développement en série de Taylor suivant :

\frac{1}{\cos x} = \sum_{n=0}^{\infin} E_n \frac{x^n}{n!}

On les appelle aussi parfois les nombres sécants ou nombres Zig-Zag.

(À noter que e, la base des logarithmes naturels, est aussi appelée occasionnellement nombre d'Euler).

Les nombres d'Euler d'indice impair sont tous égaux à zéro. Ceux d'indice pair (suite A000364 de l'OEIS) sont positifs. Les premières valeurs sont :

[modifier] Premiers nombres d'Euler

E0 = 1
E2 = 1
E4 = 5
E6 = 61
E8 = 1385
E10 = 50521
E12 = 2702765
E14 = 199360981
E16 = 19391512145
E18 = 2404879675441

Les nombres d'Euler apparaissent dans le développement en série de Taylor de la fonction sécante (qui est la fonction dans la définition) :

\frac{1}{\cos x} = 1 + E_1 \frac{x^2}{2!} + E_2 \frac{x^4}{4!} + E_3 \frac{x^6}{6!} + \dots

et aussi (avec des signes) dans celui de la fonction sécante hyperbolique :

\frac{1}{\cosh x} = 1 - E_1 \frac{x^2}{2!} + E_2 \frac{x^4}{4!} - E_3 \frac{x^6}{6!} + \dots.

Ils apparaissent aussi en combinatoire comme nombres de configurations Zig-Zag de taille paire. Une configuration Zig-Zag de taille n est une liste de n nombres réels z_1,\dots,z_n tels que

z_1 > z_2 < z_3 > z_4 \dots.

Deux configurations sont considérées comme identiques si les positions relatives de tous les nombres z sont les mêmes.

Les polynômes d'Euler sont construits avec les nombres d'Euler à partir de cette fonction génératrice.