Nombre premier palindrome

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Pour les articles homonymes, voir Palindrome (homonymie).

En mathématiques, un nombre premier palindrome est un nombre premier qui est aussi un nombre palindrome. Le caractère palindrome dépend de la base du système de numération et de ses conventions d'écriture, tandis que la primalité est indépendante de ce genre de considérations.

Les premiers nombres premiers palindromes en base 10 sont:

2, 3, 5, 7, 11, 101 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, 18481, 19391, 19891, 19991

Il peut être noté dans liste ci-dessus, qu'il n'existe pas de nombres premiers palindromes à 2 ou 4 chiffres, excepté pour 11. Si l'on considère le test de divisibilité pour 11, il peut être déduit que tout nombre palindrome avec un nombre pair de chiffres est divisible par 11.

On ignore s'il existe une infinité de nombres premiers palindromes en base 10. Le plus grand nombre premier palindrome connu est $10^{130022} + 3761673 \times 10^{65008} + 1\,$ , qui fut découvert par Harvey Dubner le 7 novembre 2004 et annoncé le 19 novembre 2004.

En binaire, les nombres premiers palindromes les plus faciles à obtenir sont les nombres premiers de Mersenne, puisqu'ils sont aussi des nombres premiers uniformes. Les quatre premiers nombres premiers palindromes (qui ne sont pas nombres de Mersenne) sont 5 (101), 17 (10001), 73 (1001001) et 107 (1101011).

Ribenboim définit un nombre premier triplement palindrome comme un nombre qui, en plus d'être un nombre premier palindrome, possède un nombre de chiffres qui est lui-même un nombre premier palindrome. Par exemple, $10^{11310} + 4661664 \times 10^{5652} + 1\,$ , possède 11311 chiffres. Il est possible qu'un nombre premier triplement palindrome en base 10 puisse être aussi palindrome dans une autre base, telle que la base 2, mais il serait hautement remarquable s'il était aussi triplement palindrome dans cette base.