Discuter:Nombre complexe

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

	Nombre complexe fait partie du projet Mathématiques, qui a pour but d'enrichir le contenu de Wikipédia sur les sujets liés aux mathématiques. Si vous voulez participer, vous pouvez modifier cet article ou visiter la page du projet, où vous pourrez vous joindre au projet et consulter la liste des tâches et des objectifs. Le portail Mathématiques pourrait aussi vous intéresser.
B	Cet article a été classé comme d'Avancement B selon le Tableau d'évaluation du projet. (Voir les statistiques)
Maximum	Cet article a été classé comme d'Importance maximum selon le Tableau d'évaluation du projet.

Cet article a été présélectionné pour faire partie du projet Wikipédia Junior. Ce projet comprend :

L'évaluation et l'amélioration d'une liste d'articles généralistes en vue d'une sortie sur cédérom, pouvant avoir une utilisation éducative,
L'ouverture et le lancement d'un wiki indépendant dédié aux juniors, permettant une nouvelle rédaction de chaque article adaptée aux 8-13 ans et donnant la possibilité à ce public de participer à sa construction.

Avancement : B, Importance élevée, Merci de votre évaluation.

La version actuelle de Nombre complexe a été sélectionnée par le comité de sélection du projet Wikipédia 1.0. En discuter...

Sommaire

1 Utilisation pour edp
2 Définition
3 Remaniements
4 i
5 Article de qualité?
6 À recycler
- 6.1 Les nombres complexes et les vecteurs
  - 6.1.1 Multiplication imaginaire
- 6.2 Commentaires sur cette vulgarisation
7 Proposition de reprise de l'article
8 Fonctions méromorphes et théorème des résidus
9 Fusion description et géométrie
10 Nouveau plan
11 interrogation
12 Canoniquement choisi
13 Emploi en physique et ingénierie

[modifier] Utilisation pour edp

si mes souvenirs sont exacts, je crois que les transformations du plan complexe permettent également de travailler facilement dans l'aerodynamique / hydrodynamique. toutefois, je demande l'avis de spécialistes .... ffa

[modifier] Définition

L'ancienne définition :

L'ensemble des complexes est constitué par tous les couples de deux réels? a et b, noté (a,b).

Représente l'ensemble {R x R} noté également R², ce qui est bien évidemment différent de C. Il existe une fonction projetant C dans R² qui est bijective, ce qui n'empéche pas que ce soit deux corps (?) différents.

hashar

Pour la définition, je suis d'accord. Tout a fait d'accord même... mea culpa.... :p

Pour l'hydro, je vais m'y atteler... en essayant de faire moins de fotes :)

merci bcp

barmyb_99

[modifier] Remaniements

Bon, j'ai pratiqué une chirurgie sévère pour remanier cet article: il y avait carrément une sorte de construction des nombres complexes, qui ne me semble pas à sa place ici.

Par contre, la partie historique avec les motivations, me botte carrément!

Je n'ai pas encore repris la partie sur la forme trigonométrique, et vers la fin du texte, la partie "motivations" est d'origine: je l'ai copié et édité sur place dans "Histoire" (ou un titre du genre), ce n'est pas fini non plus.

J'hésite...

Snark 11:14 fév 7, 2003 (CET)

J'ai enlevé la partie qui traitait de la "rentabilisation économique des nombres complexes" car son niveau de langue n'était pas acceptable. C'est l'ensemble de cet article qui mériterait d'être modifié car il fait peine à voir si on le compare son équivalent en anglais.

J'ai remanié la partie parlant de « schizophrénie ». Je ne vois pas ce que l'on gagne à obscurcir un concept relativement simple (le fait que l'on ait défini les nombres complexes sans qu'ils aient une intuition matérielle immédiate et évidente) par l'usage d'un vocabulaire psychiatrique. David.Monniaux 10 décembre 2005 à 12:13 (CET)

Je trouve aussi que l'article mériterait un remaniement sur le fond. Il emploie une sorte de langage infantilisant en espérant que cela aide à faire de la bonne vulgarisation, ce que je conteste avec vigueur, et j'y lis des choses comme "Nous allons adopter ici une notation propre (qui n'existe nulle part ailleurs dans la littérature), afin de simplifier la compréhension", ce qui me fait froid dans le dos. RamaR 11 décembre 2005 à 09:20 (CET)

J'essaie de reprendre la partie vulgarition, qui me semble extrêmement faible et part un peu dans tous les sens. J'essaie de me baser sur la démarche adoptée, qui semble cohérente, et de rajouter un peu de liant. Le danger, c'est que je fasse perdre le côté vulgarisation précisément... J'espère que d'autre contributeurs contrôleront et qu'on pourra échanger.Salle 19 mars 2006 à 13:14 (CET)

Voilà, j'ai modifié les dux premières parties du paragraphe vulgarisation : "x et i" et "nombres et vecteurs". La partie "Multiplication imaginaire" est moins aberrante, dans un certain sens, que ne l'étaient les autres. En revanche, je ne vois pas bien quels objectifs y sont poursuivis ; il me semble qu'elle pourrait servir à montrer que les opérations algébriques sur les nombres pevent être définies comme des mouvements géométriques sur les vecteurs, mais il n'est pas très clair que ce soit fait. A revoir, en tout cas, mais je n'y touche pas pour le moment.Salle 19 mars 2006 à 14:49 (CET)

[modifier] i

Bien que $i 2 = - 1$ , ca n'implique pas que $i=\sqrt{-1}$ . C'est une erreur courante. La racine n'est pas definier a ce moment pour les nombres complexes, et apres definition c'est de plus valeur.130.89.220.215 24 janvier 2006 à 15:28 (CET)

[modifier] Article de qualité?

Après la lecture de cet article, je pense qu'il faudrai le proposer comme article de qualité. Qu'en pensez vous? je toruve que l'article est très bien expliqué, donc accessible à beacoup de personnes. antoinou2958 1 novembre 2006 à 10:52 (CET)

A mon avis certaines parties ne sont pas assez développées comme la partie historique, l'approche matricielle. Pas de racine nème d'un nombre complexe, ... Oxyde

[modifier] À recycler

La partie de « vulgarisation », en particulier le paragraphe sur « x et i », manifestement inspirée d'un livre d'Albert Jacquart, qui aussi sympathique soit-il, n'est pas mathématicien, regorge d'approximations douteuses. À réécrire par quelqu'un qui en aurait le temps… --DSCH (pour m'écrire) 5 février 2007 à 00:07 (CET)

Je me demande s'il y a quelque chose à récupérer de cette partie de vulgarisation. Il est possible de régler ces problèmes d'approximations douteuses, mais je pense que cette vulgarisation s'appuie sur les vecteurs qui ne sont pas une notion élémentaire, alors que les nombres complexes peuvent être utilisés sans faire de la géométrie vectorielle. Sans doute cette partie pourait faire une belle introduction d'un article sur les nombres complexes qui s'adresse à un public maîtrisant déjà parfaitement le sujet. Ne serait-il pas plus simple de faire migrer cette approche vers wikilivres ? Oxyde 11 février 2007 à 11:39 (CET)

Je déplace cette partie qui ne me paraît pas être une approche:

[modifier] Les nombres complexes et les vecteurs

Étant un nombre imaginaire, $i$ n’appartient pas à $\mathbb{R}$ . On sait additionner, et multiplier des nombres réels, mais il n'y a a priori pas de sens à effectuer des calculs faisant intervenir $i$ . Pourtant, dans les procédés de résolution des équations du troisième degré, de tels calculs apparaissent. Il nous faut donc essayer de donner un sens à des opérations telles que $a \cdot i$ et $a + i \; (a \in \mathbb{R})$ . Il existe déjà un domaine dans lequel on effectue une telle multiplication « hétérogène » : celui des vecteurs. Nous savons qu'un vecteur peut être multiplié « à gauche » par un scalaire. Mais il n'en n'est pas de même pour la loi d'addition qui est interne et qui ne permet d'additionner que des vecteurs entre eux et non un scalaire avec un vecteur. Nous allons donc devoir considérer, selon les besoins, un nombre réel comme un scalaire ou comme un vecteur. Nous allons adopter une nouvelle notation pour désigner le vecteur correspondant au nombre complexe considéré. Plaçons-nous dans un plan géométrique muni d’un repère $(O;\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ , l’axe des abscisses représente l'ensemble des nombres réels. Nous allons noter $\vec{1}$ le vecteur $\overrightarrow{u}$ ; le vecteur $\vec{i}$ est le vecteur $\overrightarrow{v}$ . On appelle ce plan le plan complexe, mais les notations des vecteurs associés aux nombres complexes ne sont pas habituelles.

Nous allons faire le lien entre les calculs classiques sur les scalaires et ces vecteurs $\vec{1}$ et $\vec{i}$ et les calculs faisant intervenir les nombres réels et le nombre imaginaire i. Le plan complexe sera donc un modèle géométrique pour représenter les nombres réels et imaginaires, et les opérations entre eux.

Afin de simplifier la compréhension, de bien séparer les concepts, nous utilisons cette notation non standard, qui permet de distinguer les nombres (réels ou imaginaires) de la représentation géométrique de ces nombres à l'aide de vecteurs :

le vecteur $\vec{1}$ va servir de représentation géométrique pour le nombre réel 1
le vecteur $\vec{i}$ va servir de représentation géométrique l’inconnu imaginaire i.

Un réel quelconque $a$ étant égal à $a\cdot 1$ , nous allons représenter $a$ par le vecteur $a\cdot \vec{1}$ . La multiplication par un réel correspondra donc à la multiplication par un scalaire.

Ainsi, l’expression $a+b\cdot i$ sera représentée par le vecteur $a \cdot \vec{1} + b \cdot \vec{i}$ .

Représentation du plan complexe avec les notations non standard introduites

Nous pouvons donc considérer un vecteur quelconque $\vec{z} = a \cdot \vec{1} + b \cdot \vec{i}$ de ce plan, et nous allons étudier ses propriétés, sachant qu’il doit obéir à certaines règles puisqu’il représente une expression dans une équation.

Pour nous simplifier l’écriture, si a est un réel, nous nous permettrons de l'écrire $\vec{a}$ plutôt que $a \cdot \vec{1}$ (on peut ainsi écrire $\vec{5}$ ).

[modifier] Multiplication imaginaire

L'addition des réels correspond parfaitement à l'addition vectorielle, nous ne nous attarderons donc pas plus là-dessus (bien qu’en toute rigueur, l’addition nécessiterait une étude aussi poussée que la multiplication).

Pour la multiplication en revanche, on est face à une ambiguïté par rapport aux vecteurs géométriques classiques : le scalaire est lui-même un vecteur. Ainsi, l'expression classique a · b (a et b étant réels) peut se traduire à la fois par $a \cdot (b \cdot \vec{1})$ , par $b \cdot (a \cdot \vec{1})$ , par $(a \cdot b) \cdot \vec{1}$ , donc par $a \cdot \vec{b}$ et par $b \cdot \vec{a}$ … On voit que a et b ont un rôle symétrique, et que l'on a en fait… une opération entre deux vecteurs, un « produit » de vecteurs mais qui n'est ni un produit scalaire puisque le résultat est un vecteur (le résultat de la multiplication par $\vec{i}$ n’est pas un scalaire), ni un produit vectoriel puisque le résultat est dans le plan.

Nous allons donc devoir inventer une nouvelle opération, que nous allons appeler « produit imaginaire » et noter ×. Comme toutes les opérations sur les vecteurs, il s'agit en fait d'une construction géométrique, nous allons commencer par étudier la transformation des vecteurs de la base pour pouvoir l’étendre à tout le plan.

On a donc :

$\vec{1} \times \vec{1} = \vec{1}$
$\vec{1} \times \vec{i} = \vec{i}$
$\vec{i} \times \vec{i} = -1 \cdot \vec{1}$ d’après l’égalité (1) vu au paragraphe en haut (x²+1=0)

On voit que dans le plan, multiplier par $\vec{1}$ revient à ne rien changer, et multiplier par $\vec{i}$ revient à faire une rotation d’un quart de tour dans le sens positif. Cette multiplication est donc, entre autres, une rotation.

Multiplication imaginaire des vecteurs de la base

Si maintenant on considère $\vec{a} \times \vec{b}$ , qui est égal à $\overrightarrow{a \cdot b}$ puisque (a · b) est lui-même un réel, on voit que c’est une homothétie, une dilatation ; $\vec{b}$ est dilaté d’une quantité $||\vec{a}||$ .

En fait, on voit que si l’on prend un vecteur $\vec{u}$ quelconque du plan, si α est l’angle qu’il fait avec l’axe des réels, alors la multiplication imaginaire d’un autre vecteur $\vec{v}$ par $\vec{u}$ revient à faire

une rotation d’angle α ;
une dilatation de $||\vec{u}||,$

c’est-à-dire une similitude directe (une transformation géométrique qui conserve les angles et l’orientation).

Construction graphique de la multiplication imaginaire

On donne ainsi un sens à une écriture de type

$(a_1 \cdot \vec{1} + a_2 \cdot \vec{i}) \times (b_1 \cdot \vec{1} + b_2 \cdot \vec{i})$

qui est la traduction de l’expression

(a₁ + a₂ · i)·(b₁ + b₂ · i).

[modifier] Commentaires sur cette vulgarisation

Les nombres complexes peuvent parfois susciter un certain malaise chez certains élèves et étudiants (illustré par une scène du film Les Désarrois de l’élève Törless de Volker Schlöndorff) : i est un « extra-réel », un « E.R. » (avec la même connotation que « E.T. l'extraterrestre »), un intermédiaire de calcul encombrant que l’on a donc placé sur un autre axe. La présentation géométrique permet de démystifier les nombres complexes et d’en donner une intuition.

La multiplication dans le plan complexe est une construction géométrique au même titre que d'autres qui, appliquée aux réels, se résume à la multiplication simple, et qui, appliquée à un réel et à un complexe quelconque, se résume au produit d'un vecteur par un scalaire. L'écriture « a + b · i » peut être vue comme un abus d'écriture qui consiste à mettre sur le même plan les scalaires et les vecteurs, ce qui ici est légitime.

[modifier] Proposition de reprise de l'article

J'ai retravaillé les parties 2, 3, 4 et 5 de l'article usr une page de brouillon. Je propose de l'intégrer au texte actuel. La partie 1 tomberait aux oubliettes, il resterait à travailler sur une introduction, et une partie d'approche élémentaire (telle que dans l'article variété (géométrie), qui me semble d'un meilleur style que la partie 1 de cet article), sur leur articulation, sur une partie historique, à demande à un physicien de reprendre sérieusement la partie sur le rôle en physique qui me semble pouvoir être améliorée, à illustrer au moins la partie sur les représentations géométriques (je ne sais toujours pas faire), à sourcer, et l'article pourrait être correct. Y a-t-il une opposition à ce que je commence le processus en effeaçant les parties 1, 2, 3, 4 et 5 et en remplaçant par ma version (qui est complètement basée sur la version actuelle) ?Salle 2 août 2007 à 12:19 (CEST)

les évolutions proposées pour les parties 2 à 5 me semblent toutes positives (j'aurais des retouches à proposer, mais j'attends que tu fasses la migration). L'intro actuelle ne va effectivement pas. Pour les images, commençons par faire notre marché chez les autres wiki

Image:Gaussebene Koordinatendarstellung.png

150px

Peps 2 août 2007 à 13:57 (CEST)

Pour que les retouches puissent être faites, j'effectue le remplacement. Je n'ai pas (encore) intégré de dessin. Par rapport à la version de 12h, j'ai rajouté une remarque sur la structure de R-algèbre qui motive des liens vers quaterion et octonion, dans la partie Constructions. Salle 2 août 2007 à 14:15 (CEST)

J'avais envie de mettre cette phrase à la fin de ce qui est actuellement la section 4.1 : Le fait qu'il n'y ait besoin d'ajouter qu'une seule racine carrée (ici, i, qui est celle de -1), pour obtenir automatiquement toutes les solutions des équations algébriques à coefficients réels (par exemple, une racine carrée de -3 est $i\sqrt{3}$ ), est une propriété très particulière du corps des nombres réels.

Le but étant de prévenir ce qui me semblerait une conception erronée facile à avoir. Masi, je ne sais pas si prévenir les conceptions erronées fait partie du boulot d'un tel article, ni si celle-ci est suffisamment notable. Qu'en pensez-vous ?Salle 3 août 2007 à 16:51 (CEST)

Je pense que c'est une bonne idée. Wikipédia n'est pas un livre de cours mais cela n'empêche pas de prévenir ce genre de conception erronnée, d'autant plus que cette remarque est intéressante en soi.Mû 3 août 2007 à 17:36 (CEST)

[modifier] Fonctions méromorphes et théorème des résidus

Le libellé de l'article (avant correction) laisse entendre que le théorème des résidus exigerait que la fonction concernée soit méromorphe. Il n'en est rien : que les points singuliers de la fonction holomorphe soient tous des pôles (cas des fonctions méromorphes) ou qu'il existe des points singuliers essentiels, le théorème est applicable. Cf. la fonction

$\mathbb{C}^\ast \to \mathbb{C},\, z \mapsto \exp\left(\frac{1}{z}\right)$

qui est holomorphe sur $\mathbb{C}^\ast$ mais n'est pas méromorphe sur $\mathbb{C}$ . Vivarés 4 août 2007 à 16:02 (CEST)

[modifier] Fusion description et géométrie

Je reprendrais bien les deux premières parties pour placer la représentation géométrique avant la forme trigonométrique. En effet, le « résultat d'analyse réelle » invoqué pour définir l'argument est précisément fondé sur la paramétrisation en abscisse curviligne du cercle unité, donc sur une interprétation géométrique du plan euclidien. Les deux parties seraient donc regroupées en une seule, jalonnée par les intertitres Forme cartésienne, Plan complexe (ou Représentation géométrique) et Formes polaires (éventuellement scindée en Forme trigonométrique et Exponentielle complexe).--Ambigraphe 4 août 2007 à 16:18 (CEST)

Ah, ce résultat danalyse réelle, j'en étais bien content pour ne pas dire que je cachais la poussière (l'ordre d'exposition entre fonctions trigos, exponentielle, et géométrie) sous le tapis ; et c'est bien que ça n'ait pas tenu longtemps. Si tu es prêt à faire le boulot, c'est une très bonne idée, en faisant bien attention à ce que l'article reste accessible. Ne pas oublier la partie sur la représentation des opérations sur les complexes. Il faudra peut-être d'ailleurs être encore plus explicite sur le fait que l'écriture matricielle est adaptée à un point de vue représentation de groupes.Salle 4 août 2007 à 16:30 (CEST)

Il n'est évidemment pas question dans cet article de démontrer ce « résultat » qui doit plutôt se trouver au rayon Fonction trigonométrique, mais de le placer de façon plus naturelle après la description géométrique du plan complexe. Pour l'instant, je reformule ça dans ma couveuse.

Accessoirement, je mettrais bien une image du plan d'Argand et un ensemble de Julia pour attirer l'œil à côté du sommaire.--Ambigraphe 4 août 2007 à 16:39 (CEST)

[modifier] Nouveau plan

Voilà, j'ai construit un nouveau plan pour l'article. Reste pas mal de boulot :

dans l'article,
- remplir, développer ou détailler les sections signalisées et renvoyer pour les détails aux articles idoines quand il y en a,
- placer la formule de De Moivre, peut-être dans une sous partie En analyse de la partie Nombre complexe#Développements en mathématiques,
- clarifier la partie physique et ingénierie pour la rendre compréhensible et utilisable,
- traduire l'historique anglais qui semble correctement fait en dehors de cette étrage histoire de fronton impossible pour Héron d'Alexandrie,
- rajouter une image de Cardan, du plan d'Argand ;
dans les articles connexes,
- construire un formulaire des nombres complexes ou quelque chose d'approchant,
- détailler les démonstrations pour la construction des nombres complexes,
- améliorer les présentations du conjugué, du module d'un nombre complexe, de l'argument d'un nombre complexe,
- créer l'article Espace quotient,
- préciser le notions utiles de canonique et de stable.

--Ambi graphe, le 2 septembre 2007 à 16:12 (CEST) P.S. : Accessoirement, je me demande ce que fait cet article dans la sélection junior.

Pour moi, les deux premières parties semblent être arrivées à maturité. Je laisse de côté la partie histoire qui reste à faire, et la partie physique, pour laquelle il faudra essayer à nouveau de solliciter un physicien. Reste la partie Structure et la partie Développements. Quelques remarques :

Pour la partie structure, au fond, je n'ai pas l'impression qu'on puisse mettre la dynamique sous ce titre.
Tu suggères une partie sur les racines de l'unité et la cyclotomie. En fait, j'avais pas mal taillé dans ce genre de considérations, et je ne pense pas qu'il faille aller plus loin qu'un lien vers d'Alembert-Gauss, et racine de nombre complexe, pour la raison que ce ne sont pas des propriétés vraiment liées aux nombres complexes : déjà vraies pour la clôture algébrique de Q.
La partie sur les automorphisme traîne toujours. Quelqu'un est-il persuadé de son utilité ? Pas moi, mais je peux me tromper.
Structures d'ordre : que veux-tu mettre là-dedans ?
Développements : résolution déquation, à terme, devra figurer dans la partie histoire, donc on pourra l'enlever de là. Bon, analyse complexe est indiscutable, topologie, je ne sais pas, nombre hypercomplexe, je n'aime pas le titre, mais il faut ouvrir vers tout ce qui est algèbres sur un corps, et d'après ce que j'ai dit plus haut, transférer la partie dynamique. Ama, il manque une ouverture vers les équa diff. Mais de toute manière, il faudra faire des choix. Disons qu'à première vue, on ne devrait à mon sens pas mettre plus de sections d'ouvertures, et que je remplacerais du coup topologie par équa diff.

En tout cas, merci pour le boulot effectué. Salle 2 septembre 2007 à 18:11 (CEST)

La dynamique peut être déplacée dans les développements si on veut, mais le couple Julia/Mandelbrõt n'utilise rien de plus que la structure de corps. En tout cas, c'est aussi l'occasion de mettre une jolie image.
Mentionner les racines de l'unité, le nombre j et les polynômes cyclotomiques me semble important, sans qu'il soit besoin d'en mettre plus qu'un paragraphe.
Les automorphismes méritent une phrase (la situation est différente de celle sur les réels) mais c'est peut-être casable dans un autre paragraphe.
Il y a un article Corps ordonné qui dit tout ce qu'il faut sur les structures d'ordre sur $\mathbb{C}$ . Il suffit de bien faire le renvoi.
Dans résolution d'équation on peut mettre les suites récurrentes doubles ainsi que certaines équa diffs. La topologie je m'en charge. Les nombres hypercomplexes je n'y connais pas grand chose à part les quaternions, mais un renvoi me semble nécessaire.--Ambi graphe, le 2 septembre 2007 à 19:15 (CEST)

racines, automorphismes, corps ordonné : ok, en fait, c'était juste le fait de mettre des sections qui me faisait craindre que tu veuilles faire un pavé sur ces items. Cela dit, je reste dubitatif sur la nécessité de parler de polynôme cyclotomique. J'attends de voir. J'ai l'impression qu'on peut se passer de sous-sections dans la section 3, puisque tous les points vont être des renvois.
résolution d'équation : je ne vois pas bien pourquoi on parlerait de suite récurrente ou d'équa diff ? Quand je parlais d'équa diff, je pensais plutôt à Cauchy-Lipschitz, point singulier, monodromie, surface de Riemann. Il y a moyen d'écrire un petit paragraphe de 6 ou 7 lignes où on place tous ces mots et où on explique que le champ complexe est un bon endroit où faire des équas diffs, ce qui motive les surfaces de Riemann.
Il faudra aussi parler un peu de théorie analytique des nombres.

Sur ces deux derniers points, je vais essayer de proposer quelque chose. Salle 3 septembre 2007 à 16:15 (CEST)

[modifier] interrogation

Je dois dire que je suis assez attristé de ne pas voir la définition du corps des complexes comme étant l'ensemble des couples (a,b) de réels muni des deux lois + et x suivantes (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) et (a,b)x(c,d) = (ac-bd,ad+bc) (par rapport à un curieux commentaire du début de cette page, je rappelle qu'un corps suppose deux lois !).Claudeh5 (d) 18 février 2008 à 11:41 (CET)

C'est bien ce qui figure dans la section Construction/vecteurs du plan euclidien, non ? Salle (d) 18 février 2008 à 13:07 (CET)

[modifier] Canoniquement choisi

Je cite dans l'article construction « Il existe un nombre complexe i canoniquement choisi » Je ne comprends pas vraiment le sens et l'utilité de cette phrase. De plus je ne trouve pas vraiment le choix de i canonique. J'aurais préféré un truc du genre, ils existent deux nombres dont le carré vaut -1, l'un est noté i, et l'autre est alors forcément son opposé (et peut-être oser mentionner la théorie de Galois). Noky (d) 21 février 2008 à 20:56 (CET)

Tout est dans la phrase : « l'un est noté i ». Pourquoi choisir l'un et pas l'autre ? Le fait est que dans toute construction formelle de C à ma connaissance, il y a un choix canonique pour i, donc une orientation du plan complexe. Alors peut-être que la phrase de l'article peut être améliorée, mais il est important de spécifier cette orientation. Ambi graphe, le 22 février 2008 à 08:24 (CET)

PS : oui, on peut mentionner la théorie de Galois, mais sans doute plus dans la partie « Structure du corps des complexes » que dans la partie « Construction ».

En quoi ce choix est-il canonique ? Noky (d) 22 février 2008 à 12:43 (CET)

Je connais trois constructions de C, celle des couples de réels équipés d'une multiplication, i est canoniquement associé à (0, 1), celle des composées d'homothéties et de rotations, i est canoniquement associé à la rotation d'un quart de tour direct et celle des quotients de polynômes, i est canoniquement associé à la classe de X. Le choix apparaît canonique de par la construction. Mentionner Galois ne me semble pas indispensable, bien peu de lecteurs de l'article risquent d'avoir un bagage suffisant pour comprendre. Pour la majorité du public, suivre ce lien signifie tomber sur un savoir inaccessible et donc impose une perte de temps bien inutile. Enfin, si des gens ayant plus d'expérience que moi en terme de pédagogie, je pense à ceux qui sont prof, ont une opinion inverse, leur opinion doit évidemment primer sur la mienne. Jean-Luc W (d) 22 février 2008 à 13:29 (CET)

En quoi le fait que le de dire que le couple (0,1) est i est-il canonique ? On pourrait très bien choisir de prendre (0,-1) pour i et cela ne changerait strictement rien. Je trouve vraiment que l'emploi de ce mot est de trop. C'est un choix complètement arbitraire (qui est un peu le contraire de canonique). La seule chose qui est vraiment canonique dans tout cela, c'est qu'une fois que l'on décide d'orienter i vers le haut alors le sens direct résulte de e^(ix) pour x croissant (et encore il y a la aussi bcp d'arbitraire). Bon après quand je disais Galois je pensais plus à mentionner la fonction qui remplacerait i par -i et réciproquement (le mrophisme sans le dire) et de dire que les éléments invariants sont les réels mais en fait c'est dire ailleurs dans l'article, pas de mettre un lien vers la théorie de Galois. Noky (d) 22 février 2008 à 13:36 (CET)

L'adjectif « canonique », en mathématiques, est employé pour qualifier un objet (ou une forme d'expression) qui permet de le désigner parmi des objets semblables ou expressions équivalentes. Sommes-nous d'accord sur ce point ?

J'ai l'impression que tu confonds l'adjectif « canonique » avec « traditionnel » ou « usuel ». Un choix canonique peut complètement arbitraire, c'est même souvent le cas. On pourrait effectivement décider que i est représenté par le couple (0, -1) si on veut, ça n'a pas d'importance. Ce qui est vraiment important, c'est qu'il y a un choix canonique parmi les solutions de l'équation

X 2 + 1 = 0

Pour prendre un exemple concret, une structure presque complexe sur une variété de dimension paire est la définition (localement cohérente) d'une structure de C-espace vectoriel sur chaque espace tangent. Si on oublie qu'il y a un choix canonique pour i, on pourrait alors définir une structure presque complexe sur RP(2). Ce serait un point de vue intéressant mais qui ne correspond pas aux choix faits par la communauté mathématique actuelle. Ambi graphe, le 22 février 2008 à 13:59 (CET)

Il y a le sens canonique qui permet de reconnaître si deux objets sont égaux, comme pour les polynômes du second degré par exemple, si deux formules (avec des « et », des « ou » et des « non ») sur des variables booléennes sont les même (par exemple on développe au maximum). Et il y a le sens de privilégié qui n'a alors rien d'arbitraire, comme dans la phrase Q s'injecte canoniquement dans R. Et je pense justement que souvent le mot canonique est employé à la place d'usuel, comme dans le choix de (0,1) pour i. C'est le choix usuel (celui que tout le monde fait, même moi) mais il n'a rien de canonique, les objets mathématiques ne le rendent pas privilégié, c'est juste l'usage, d'où « usuel », qui veut cela. Noky (d) 22 février 2008 à 14:25 (CET)

Le choix de (0,1) pour i est effectivement usuel. Mais j'aimerais savoir si tu as bien compris qu'il y a un choix canonique de l'une des deux solutions de l'équations

X 2 + 1 = 0

dans C. Oui ou non ? Ambi graphe, le 22 février 2008 à 14:30 (CET)

C'est justement là le problème, je ne vois pas en quoi il y a un choix canonique, à part si tu l'utilises comme synonyme d'usuel. Et non je n'y mets aucune mauvaise volonté, j'essaye de comprendre quel sens autre que celui d'usuel ou d'intrinsèque (c'est plus ou moins à ça que je pense quand j'emploie le mot canonique) tu lui accorde. Noky (d) 22 février 2008 à 14:36 (CET)

Eh bien le choix d'un générateur i des racines quatrièmes de l'unité est intrinsèque au plan complexe, qui se trouve du coup canoniquement orienté comme espace vectoriel réel de dimension 2. Le fait qu'usuellement, ce choix se fasse d'une manière ou d'une autre n'est pas en question ici. Ambi graphe, le 22 février 2008 à 15:21 (CET)

Je suis désolé ça m'échappe vraiment. Noky (d) 22 février 2008 à 17:38 (CET)

Reprenons posément. Dis-moi quand ça coince. Le corps des complexes n'est pas défini comme la clotûre algébrique de R. Il est d'abord défini comme l'ensemble des « nombres » qui s'écrivent $a + i b$ , où le symbole i remplace l'ancienne « racine carrée de -1 ». Il est ensuite représenté géométriquement par l'ensemble des vecteurs du plan euclidien orienté. Suivront plusieurs formalisations, qui à ma connaissance comportent toutes une orientation canonique du plan complexe. Est-ce que jusqu'ici tu es d'accord ? Le fait d'être une clôture algébrique de R est une propriété de C, qui ne suffit pas à le définir. Ambi graphe, le 23 février 2008 à 13:46 (CET)

Comment cela une orientation canonique du plan ? Noky (d) 23 février 2008 à 14:12 (CET)

Personnellement, je partage l'opinion d'Ambigraphe sur la présentation des complexes. Deux légers points d'achoppement, ma foi bien secondaire : la clôture algébrique suffit à définir R, cette approche est naturelle mais ne convient pas au public auquel se destine l'article. Dans un contexte galoisien, qui considère C comme une clôture algébrique, l'orientation du plan n'est pas abordé, beaucoup d'algébristes n'y attachent pas d'importance. En revanche, je doute que cette population soit celle de l'article. Jean-Luc W (d) 23 février 2008 à 14:42 (CET)

La clôture algébrique de R suffit effectivement à définir un corps isomorphe au corps des complexes et les algébristes n'ont pas besoin de plus. Mais le plan complexe est orienté, c'est assez fondamental en topologie algébrique. En variable complexe, il y a toujours un élément i qui est spécifié. Dire qu'il y a deux nombres complexes de carré -1, qu'on note alors $i$ et $- i$ , c'est une erreur de conception (sans conséquence au niveau lycée et pour la plupart des étudiants de licence, certes) ainsi qu'un contresens historique. Ambi graphe, le 23 février 2008 à 18:33 (CET)

[modifier] Emploi en physique et ingénierie

J'ai supprimé une partie de ce paragraphe car la démonstration était fausse : la partie réelle de la deuxième équation n'est pas égale à la première équation. J'ai aussi supprimé une phrase car les formules sur l'impédance étaient fausses. Sur ce qu'il reste, les explications restent confuses.