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En mathématiques, la factorisation des polynômes est l'analogue de la factorisation des entiers dans l'arithmétique des polynômes. Factoriser un polynôme consiste à écrire celui-ci comme un produit de polynômes, c'est donc une opération liée à la multiplication des polynômes. Selon les propriétés de l'anneau de polynômes considéré, et donc, selon les propriétés de son anneau de coefficients, des factorisations complètes particulièrement intéressantes peuvent être obtenues : celles où tous les facteurs sont irréductibles, c'est-à-dire analogue aux nombres premiers. Les techniques mises en œuvre pour obtenir effectivement une telle factorisation dépendent de la nature des coefficients en jeu, et peuvent relever aussi bien de l'analyse que de l'algèbre ou de l'arithmétique.

Sommaire

1 Coefficients réels et coefficients complexes
- 1.1 Polynômes à coefficients réels
- 1.2 Polynômes à coefficients complexe
2 Exemples
3 Voir aussi

[modifier] Coefficients réels et coefficients complexes

[modifier] Polynômes à coefficients réels

La première façon de factoriser un polynôme est de factoriser des scalaires, en particulier, le coefficient dominant du polynôme. Si un polynôme s'écrit $P(X)=\sum_{i=0}^d b_i X^i$ , avec coefficient dominant b_d non nul, on peut alors le factoriser sous la forme P(X)=b_d P₁(X), où $P_1(X)=\sum_{i=0}^d \frac{b_i}{b_d} X^i$ . Le coefficient dominant de P₁ est alors 1, on dit que c'est un polynôme unitaire. La factorisation ainsi obtenue de P en b_dP₁ est dite factorisation triviale, car un des deux facteurs, en l'occurence b_d, est inversible dans l'anneau des polynômes. Une factorisation non triviale fait apparaître des facteurs tous non inversibles, c'est-à-dire des polynômes de degré non nul.

La notion de factorisation d'un polynôme est liée avec la recherche de ses racines : un polynôme P(X) est divisible par un monôme X-a si et seulement si le scalaire a est une racine de P, c'est-à-dire P(a)=0. Dans ce cas, le polynôme P(X) se factorise sous la forme P(X)=(X-a)Q(X) pour un certain polynôme Q, à coefficients dans le même corps de scalaires. Ceci est une conséquence directe de la propriété de division euclidienne de l'anneau de polynômes.

Pour chaque scalaire a, il existe un plus grand entier k tel que (X-a)^k divise P(X). Si cet entier est strictement positif, a est une racine du polynôme, et l'entier est appelé multiplicité de la racine, noté m_a. D'un point de vue graphique, cet entier mesure le degré de tangence de la courbe représentative du polynôme avec l'axe des abscisses au point d'abscisse a.

Tout polynôme réel peut s'écrire sous la forme :

$P(X)=R(X)\prod_a (X-a)^{m_a},$

où le polynôme R est sans racine réelle. Une telle écriture est une factorisation du polynôme P, mais elle est a priori incomplète. Le principal théorème de factorisation des polynômes à coefficients réels assure que le polynôme R peut être lui-même factorisé en produit de polynômes de degré 2, n'ayant pas de racine réelle, donc de discriminant négatif. Ainsi, tout polynôme réel admet une écriture sous la forme :

$P(X)=b_d\prod_i(X^2+\alpha_j X+\beta_j)^{n_j}\prod_j (X-a_j)^{m_a},$

avec pour chaque j, $\alpha_j^2-4\beta_j<0$ . Cet énoncé est généralement démontré comme une conséquence du théorème de factorisation des polynômes à coefficients complexes.

La détermination des racines d'un polynôme peut être faite suivant de nombreuses méthodes. Certaines d'entre elles permettent de compter le nombre de racines dans un intervalle donné, éventuellement, avec multiplicités (par exemple la règle de Descartes, ou le théorème de Sturm), d'autres permettent d'obtenir des approximations numériques des racines (par exemple la méthode de dichotomie, ou la méthode de Newton). faire un laîus sur le fait qu'il faut moralement enchaîner une phase de séparation des racines, puis d'approximation, en vérifiant que c'est bien comme ça que ça se passe dans le domaine réel.

[modifier] Polynômes à coefficients complexe

Théorème — Les polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ sont les polynômes de degré 1

C'est une conséquence du théorème de d'Alembert-Gauss^{[réf. nécessaire]} qui mentionne que « Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à coefficients dans le corps $\mathbb C$ des nombres complexes a au moins une racine dans $\mathbb C$ ».

Une autre formulation consisterait à dire que le corps $\mathbb{C}$ est algébriquement clos.

En conséquence, tout polynôme de degré $n$ à coefficients complexes peut se factoriser dans $\ \mathbb{C}[X]$ en produit de $n$ polynômes du premier degré.