Structure presque complexe

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En géométrie différentielle, une structure presque complexe sur une variété différentielle réelle est la donnée d'une structure complexe sur chaque espace tangent. Son importance est de taille.

Sommaire

[modifier] Définition formelle

Une structure presque complexe J sur une variété différentielle M est un champ d'endomorphismes J, id est une section globale du fibré vectoriel End(TM), vérifiant :

\forall x\in M,J_x^2=-Id

Une variété différentielle munie d'une structure presque complexe est appelée une variété presque complexe.

Théorème : L'existence d'une structure presque complexe J sur une variété différentielle M implique que M soit de dimension paire, disons 2n. De plus, il existe une unique orientation sur M telle que ...

Donc, pour qu'il existe une structure presque complexe, il faut que la variété soit de dimension paire et orientée. Mais cette condition à elle-seule ne suffit pas :

Théorème : L'existence d'une structure presque complexe sur une variété différentielle de dimension paire orientable équivaut à la réduction du groupe structural du fibré tangent de GL(2n,R) à GL(n,C).

[modifier] Exemples

Les seules sphères à admettre une structure presque complexe sont :

  • La sphère S2, vue comme le compactifié de ℂ.
  • La sphère S6, vue comme la sphère unité des octonions imaginaires.

[modifier] Formes différentielles

Algèbre linéaire : un opérateur linéaire A\in GL(n,R) vérifiant l'identité A2 = − Id se réduit sur C^n=R^n\otimes C. Il admet deux espaces propres, E + et E − , de valeurs propres respectives i et − i.

Structures presque complexes :

TM\otimes C=T^+M\oplus T^-M

Les formes différentielles sont les sections des produits extérieurs du fibré cotangent.

\Omega^r(M)\otimes C=\bigoplus_{r+q=p} \Omega^{r,q}(M)

[modifier] Voir aussi