Module d'un nombre complexe

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Soit un nombre complexe z = a + ib, on définit le module du nombre complexe comme étant le réel positif |z| = \sqrt{a^2 + b^2 }= \sqrt{z\overline z} (voir racine carrée et Conjugué d'un nombre complexe).

Le nom de module a été créé par Jean-Robert Argand dans son Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires par des constructions géométriques.

[modifier] Propriétés principales

Le module vérifie les propriétés suivantes :


  1. {\left| z \right|} \ge 0\,
  2. {\left| z \right|} = 0 \Leftrightarrow z = 0\,
  3. {\left| z_1 . z_2 \right|} = \left| z_1 \right| . \left| z_2 \right|\,
  4. \!{\left| {{z_1} \over {z_2}} \right|} = {{\left| z_1 \right|} \over {\left| z_2 \right|}}, \; si \; {z_2} \ne {0}\,
  5. {\left| z_1 + z_2 \right|} \le {\left| z_1 \right| + \left| z_2 \right|}\, : inégalité triangulaire
  6. \!\!{\left| z_1 - z_2 \right|} \ge {\left| {\left| z_1 \right| - \left| z_2 \right|}\right|}\,

Si on interprète z comme un point dans le plan, c'est-à-dire si on considère son image alors, |z| est la distance de l'image de z à l'origine.

Il est utile d'interpréter l'expression |x - y| comme la distance entre les deux nombres complexes x et y dans le plan complexe.

D'un point de vue algébrique, le module est une valeur absolue, qui confère à l'ensemble des nombres complexes la structure de corps valué. C'est en particulier une norme, de sorte que le plan complexe est un espace vectoriel normé de dimension finie. Il en résulte que c'est aussi un espace métrique (donc un espace topologique).

L'application : \mathbb C\times \mathbb C \rightarrow \mathbb R_+, (z_1, z_2)\mapsto |z_1-z_2| est une distance.

[modifier] Autres propriétés

Pour tout nombre complexe z, |\overline{z}|=|z|=|-\overline{z}|=|-z|.

Pour tous réels x et y, |x|\leq \sqrt{x^2+y^2}=|x+iy| et |y|\leq \sqrt{x^2+y^2} (|x| et |y| valeurs absolues respectives de x et y)

Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire : Pour tous nombres complexes z et z', |z+z'|=|z|+|z'| si et seulement si \overline{z}z'\in\mathbb R_+, si et seulement s’il existe un réel positif λ tel que z' = λz ou z = λz' et si et seulement si les images de z et z' appartiennent à une même demi-droite d'origine O.

Soient n un entier naturel non nul, et z_1, z_2, \cdots, z_n n nombres complexes. On a |z_1+z_2+\cdots+z_n|\leq |z_1|+|z_2|+\cdots+|z_n| (inégalité triangulaire généralisée). Il y a égalité si et seulement si les images Mk des nombres complexes zk appartiennent à une même demi-droite d'origine O.

L'ensemble \mathbb U des nombres complexes de module 1 est un sous-groupe de \left(\mathbb C^*, \times\right)

L'application z\mapsto |z| de \left(\mathbb C^*, \times\right) dans \left(\mathbb R^*, \times\right) est un morphisme de groupe. Son noyau n'est autre que l'ensemble \mathbb U.

On appelle \mathbb U le groupe des unités.