Modèle Black-Scholes

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Le terme de Black-Scholes est utilisé pour désigner trois concepts très proches :

le modèle Black-Scholes est un modèle mathématique du marché pour une action, dans lequel le prix de l'action est un processus stochastique ;
l'équation Black-Scholes est l'équation satisfaite par le prix d'un dérivé d'une action ;
l'équation Black-Scholes PDE est le résultat obtenu de Black-Scholes appliqué aux options de type européennes.

Robert C. Merton a été le premier à publier un article développant l'aspect mathématique d'un modèle d'évaluation d'option en citant les travaux de Fischer Black et de Myron Scholes. Ceux-ci, publiés en 1973, se fondent sur les développements de théoriciens comme Louis Bachelier ou encore Paul Samuelson. Le concept fondamental de Black et Scholes fut de mettre en rapport le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent.

Robert Merton et Myron Scholes reçurent en 1997 le « Prix Nobel d'économie » pour leurs travaux. Fischer Black, décédé en 1995 et donc inéligible, a été cité comme contributeur.

Sommaire

1 Hypothèses et modèle
2 Formule de Black-Scholes
3 Solution de l'équation
4 Extensions du modèle
5 Formules de dérivation
6 Importance historique et économique
7 Le modèle de Black et Scholes en pratique
8 Extensions de la formule
9 Notes et références
10 Voir aussi

[modifier] Hypothèses et modèle

Le modèle Black-Scholes repose sur un certain nombre de conditions :

le prix de l'actif sous-jacent S_t suit un mouvement brownien géométrique avec une volatilité $σ$ constante et une dérivée $μ$ constante

$dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t \,$ ,

il n'y a pas d'opportunités d'arbitrage,
le temps est une fonction continue,
il est possible d'effectuer des ventes à découvert,
il n'y a pas de coûts de transactions,
il existe un taux d'intérêt sans risque, connu à l'avance et constant,
tous les sous-jacents sont parfaitement divisibles (on peut par exemple acheter 1/100^e d'action),
dans le cas d'une action, celle-ci ne paie pas de dividendes entre le moment de l'évaluation de l'option et l'échéance de celle-ci.

Chacune de ces hypothèses est nécessaire à la démonstration de la formule.

Lorsque toutes ces hypothèses sont remplies, on parle alors de modèle de Black-Scholes, ou on dit qu'on est dans le cas Black-Scholes. Les marchés financiers correspondent assez bien à ce modèle, mais pas exactement. En particulier, contrairement à l'hypothèse centrale du modèle, le temps n'y est pas continu. Il y a donc un certain écart entre ce modèle et la réalité, qui peut devenir important quand les marchés sont agités avec de fréquentes discontinuités de cours.

[modifier] Formule de Black-Scholes

La formule de Black-Scholes permet de calculer la valeur théorique d'une option européenne à partir des cinq données suivantes :

$\mathcal{}S_0$ la valeur actuelle de l'action sous-jacente,
$\mathcal{}T$ le temps qui reste à l'option avant son échéance (exprimé en années),
$\mathcal{}K$ le prix d'exercice fixé par l'option,
$\mathcal{}r$ le taux d'intérêt sans risque,
$\mathcal{}\sigma$ la volatilité du prix de l'action.

Si les quatre premières données sont évidentes, la volatilité $\mathcal{}\sigma$ de l'actif est difficile à évaluer. Deux analystes pourront avoir une opinion différente sur la valeur de $\mathcal{}\sigma$ à choisir.

Le prix théorique d'une option d'achat, qui donne le droit mais pas l'obligation d'acheter l'actif S à la valeur K à la date T, est caractérisé par son pay off : $( \mathcal{S}_{T} - K)^{+}=\max(S_{T} - K ; 0)$

Il est donné par l'espérance sous probabilité risque neutre du pay off terminal actualisé

$C = E(\text{Pay off} \times e^{-rT})~$ ,

soit la formule de Black-Scholes :

$C(S_0,K,r,t,\sigma) = S_0 \mathcal{N}(d_1) - K e^{-rt}\mathcal{N}(d_2)$

De même, le prix théorique d'une option de vente, de pay off $( K - \mathcal{S}_{T} )^{+}=\max(K-S_{T} ; 0)$ est donné par :

$P(S_0,K,r,t,\sigma) = -S_0 \mathcal{N}(-d_1) + K e^{-rt}\mathcal{N}(-d_2)$

avec

$\mathcal{N}$ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0,1 \right)$ , c'est-à-dire $\mathcal{N}(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}u^2} du$
$d_1 = \frac{1}{\sigma\sqrt{t}} \left[ \ln \left( \frac{S_0}{K} \right) + \left( r + \frac{1}{2}\sigma^2 \right)t \right]$
$d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{t}$

On peut également appliquer la formule à l'inverse. Étant donné le prix de l'option qui est côté dans les marchés, quelle valeur de $\mathcal{}\sigma$ doit être choisie pour que la formule Black-Scholes donne exactement ce prix ? On obtient ainsi la volatilité implicite qui a un grand intérêt pratique et théorique.

Démonstration

[modifier] Solution de l'équation

[modifier] Extensions du modèle

Le modèle présenté précedemment peut facilement être modifié pour supporter des taux et volatilités non constantes. Le modèle peut aussi être étendu pour les options européennes payant des dividendes.

La crise des subprimes a par exemple conduit dans la presse économique, dont Forbes, à quelques propositions d'ajustements^[1]

[modifier] Les rendements continus

[modifier] Les rendements proportionnels

[modifier] Les Grecques

[modifier] Formules de dérivation

[modifier] Importance historique et économique

Il fut publié en 1973, et constituait le prolongement de travaux réalisés par Paul Samuelson et Robert Merton. Le mathématicien français Louis Bachelier avait inauguré l'étude du sujet en 1900. L'intuition fondamentale de Black et Scholes fut de mettre en rapport le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent. Leur découverte eut très rapidement une influence considérable, et des déclinaisons de leur modèle sont utilisées dans tous les compartiments des marchés financiers. Dès 1977, Oldrich Vasicek s'en inspirait pour fonder la théorie moderne des taux d'intérêt.

[modifier] Le modèle de Black et Scholes en pratique

La thèse fondamentale du modèle de Black et Scholes était que le prix de l'option d'achat est indiqué implicitement si le sous-jacent est échangé sur les marchés.

L'utilisation du modèle et de la formule Black-Scholes est très répandue sur les marchés financiers, à tel point que certaines cotations se donnent en niveau de volatilité plutôt qu'en prix absolu. En effet, les autres paramètres du modèle (durée à l'échéance, prix d'exercice, taux d'intérêt sans risque et prix du sous-jacent) sont facilement observables sur les marchés.

Cependant, le modèle de Black et Scholes ne permet pas de modéliser précisément le monde réel. L'expérience montre qu'en réalité la volatilité dépend du prix d'exercice et de la maturité.

En pratique, la surface de volatilité (la volatilité implicite en fonction du prix d'exercice et de la maturité) n'est pas plate. Souvent, pour une maturité donnée, la volatilité implicite par rapport au prix d'exercice a une forme de sourire (appelé le smile de volatilité) : à la monnaie, la volatilité implicite est la plus basse et plus on s'éloigne de la monnaie, plus elle est élevée. On constate par ailleurs que le smile n'est souvent pas symétrique sur le marché des actions : plus haut du coté put que du coté call. Cela est dû au fait que les acteurs de marché sont plus sensibles au risque de baisse qu'au risque de hausse de l'action.

Pour un prix d'exercice donné, la différence entre la volatilité implicite observée et celle à la monnaie s'appelle le skew.

La surface de volatilité d’un sous-jacent évolue également dans le temps. Les acteurs du marché la réévaluent sans cesse, modifiant leur anticipation de la probabilité, pour chaque prix d'exercice et maturité, qu'une option ne finisse dans la monnaie.

[modifier] Extensions de la formule

La formule de prix d'option ci-dessus est employée pour l'évaluation d'options européennes sur les actions ne payant pas de dividendes. Le modèle Black-Scholes peut être facilement étendu aux options sur des instruments payant des dividendes. Pour les options sur des indices (tels que le FTSE 100 ou le CAC 40) où chacune des entreprises entrant dans son calcul peut payer un dividende une ou deux fois par an, il est raisonnable de supposer que les dividendes sont payés sans interruption.

Le paiement des dividendes au cours d'une période de temps $\left[ t , t+\delta t \right]$ est alors noté :

$q \, S_t \, dt$

pour un q constant. Sous cette formulation le prix arbitrage-libre selon le modèle Black-Scholes peut être montré comme étant :

$C(S,T)= e^{-qT}S_0 N(d_1) - e^{-rT}KN(d_2) \,$

$P(S,T)=e^{-rT}KN(-d_2) - e^{-qT}S_0 N(-d_1) \,$

où maintenant :

$F = e^{(r-q)T}S_0 \,$

est le prix modifié en avance qui se produit aux termes d₁ and d₂. Cette formule est généralement connue comme Black-Scholes-Merton.

Exactement la même formule est employée pour évaluer des options sur des taux de devises étrangères, sauf que maintenant q prend le rôle du taux d'intérêt sans-risque étranger et S le taux de change immédiat. C'est le modèle de Garman-Kohlhagen (1983).

C’est également possible d’étendre le cadre Black-Scholes aux options sur des instruments payant des dividendes discrets. C'est utile quand l'option est basée sur des actions simples.

Un modèle typique doit supposer qu'une proportion $δ$ du prix (cours) d'actions est payée comme dividende aux dates prédéterminées $T 1, T 2 ...$ .

Le prix des actions est alors modélisé par: $S_t = S_0(1-\delta)^{n(t)}e^{\sigma W_t + \mu t}$