Matrice densité

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Mécanique quantique
\hat{H}|\psi\rangle = i\hbar\frac{d}{dt}|\psi\rangle
Postulats de la mécanique quantique

Histoire de la mécanique quantique
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La matrice densité, ou opérateur densité est une entité mathématique introduite par le mathématicien et physicien John von Neumann. Elle permet de résumer en une seule matrice tout l'ensemble possible des états quantiques d'un système physique donné à un instant donné, mariant ainsi mécanique quantique et physique statistique.

Sommaire

[modifier] Définition

[modifier] Cas pur

La description du système se fait ici grâce à un vecteur d'état | \psi(t) \rangle que l'on peut développer sur la base des \{ | u_n \rangle \}  :

\left| \psi(t) \right\rangle = \sum_n {c_n(t) \cdot \left| u_n \right\rangle}

avec \sum_n | c_n(t) |^2 = 1\,

L'opérateur densité est défini pour un état pur par :

\hat \rho = |\psi(t) \rangle \langle \psi(t) | = \sum_{n,p} c_n^*(t) c_p(t) | p \rangle \langle n |

[modifier] Mélange statistique d'états purs

En admettant qu'un certain système physique puisse être, à un certain instant t, dans un mélange statistique (fini ou infini) d'états quantiques | \psi_i \rangle avec des probabilités pi (où \sum_i p_i = 1\,) , alors la matrice densité représentant l'ensemble de ces états est :

\hat \rho = \sum_i p_i |\psi_i \rangle \langle \psi_i |

L'aspect statistique introduit ici est de deux natures, l'une classique et l'autre quantique :

1. classique : dû à l'estimation du ket par une distribution statistique des différents kets possibles,
2. quantique : incertitude quantique fondamentale même si le système est parfaitement déterminé.

Les éléments de la matrice densité valent :

\hat \rho_{pn} = \sum_i p_i \langle u_p^{(i)} | \hat \rho_i | u_n^{(i)} \rangle = \sum_i p_i c_n^{(i)*} c_p^{(i)}


Démonstration
\hat \rho_{pn} = \sum_i p_i \langle u_p^{(i)} |\hat \rho | u_n^{(i)} \rangle = \langle u_p^{(i)} | (\sum_i p_i |\psi_i \rangle \langle \psi_i| )| u_n^{(i)} \rangle
\hat \rho_{pn} = \sum_i p_i \langle u_p^{(i)} | (\sum_{p'} c_{p'}^{(i)} |u_{p'}^{(i)} \rangle) (\sum_{n'} c_{n'}^{(i)*}\langle u_{n'}^{(i)}| )| u_n^{(i)} \rangle

où \langle u_{n'}^{(i)} | u_n^{(i)} \rangle = \begin{cases} 1 & n'=n\\ 0 & sinon \end{cases} d'où \hat \rho = \sum_i p_i |\psi_i \rangle \langle \psi_i |

[modifier] Propriété

La matrice obtenue a les propriétés suivantes :

  • Elle est hermitienne, \hat \rho =\hat \rho^{\dagger}, elle peut donc être diagonalisée, et ses valeurs propres sont positives.
  • Sa trace est égale à 1, Tr(\hat A) =1, conservation de la probabilité totale.
  • Elle doit être définie positive ou nulle.
  • Dans le cas d'un état pur, l'opérateur densité est alors un projecteur : \hat \rho^2 = \hat \rho .
  • Tr(\rho^2) \le 1, avec égalité si et seulement si le système physique est dans un état pur (c'est-à-dire que tous les pi sont nuls sauf un).

[modifier] Valeur moyenne

On peut calculer la valeur moyenne d'une observable A à partir de la formule :

\langle \hat A \rangle = \langle \Psi |\hat A | \Psi \rangle = Tr(\hat A \hat \rho) = Tr(\hat \rho \hat A)

avec \hat \rho = \sum_i^N p_i \hat \rho_i est la matrice densité d'un mélange statistique d'états.


Démonstration

On considère un mélange statistique d'états :

| \Psi_i \rangle = \sum_{n,i} c_n^{(i)} |u_n^{(i)} \rangle
\langle \hat A \rangle = \sum_i p_i \langle \Psi_i | \hat A | \Psi_i \rangle = \sum_i p_i \sum_{n,p} c_n^{(i)*} c_p^{(i)} \langle u_n^{(i)} |\hat A| u_p^{(i)} \rangle
\langle \hat A \rangle = \sum_i p_i \sum_{n,p} \hat \rho_{pn} \langle u_n^{(i)} | \hat A| u_p^{(i)} \rangle
\langle \hat A \rangle = \sum_i p_i \sum_{n,p} \langle u_p^{(i)} | \hat \rho | u_n^{(i)}\rangle \langle u_n^{(i)} | \hat A| u_p^{(i)} \rangle
\langle \hat A \rangle = \sum_i p_i Tr(\hat \rho_i \hat A)
d'où : \langle \hat A \rangle = Tr(\hat A \hat \rho) = Tr(\hat \rho \hat A)

[modifier] Evolution avec le temps

Icône de détail Article détaillé : Opérateur d'évolution.

L'évolution temporelle de l'opérateur d'état est donné par l'équation de Schrödinger dépendante du temps :

\hat H \left| \Psi (t)\right\rangle = i \hbar {d\over dt} \left| \Psi (t) \right\rangle

[modifier] Lien avec l'entropie

Enfin, on peut définir l'entropie de Von Neumann :

S=-k_B Tr(\hat \rho\ln(\hat \rho))

où kB est la constante de Boltzmann.

L'entropie d'un état pur est nul, car il y a aucune incertitude sur l'état du système. On peut aussi trouver une base où la matrice est diagonale, avec des 0, et un 1 sur la diagonale, ce qui donne bien une entropie égal à 0.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Bibliographie