Flux (mathématiques)

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Article d'analyse vectorielle

Objets d'étude
Champ vectoriel	Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace	de Poisson
Opérateurs
Nabla	Gradient
Rotationnel	Divergence
Laplacien scalaire	Bilaplacien
Laplacien vectoriel	D'alembertien
Théorèmes
de Green	de Stokes
de Helmholtz	de flux-divergence
du gradient	du rotationnel

En analyse vectorielle, on appelle flux d'un champ vectoriel deux quantités scalaires analogues, selon qu'on le calcule à travers une surface ou une courbe.

[modifier] Flux à travers une surface

On appelle flux (ou intégrale de surface) du champ vectoriel $\mathbf{F}$ de $\R^3$ à travers la surface orientée $Σ$ la quantité scalaire

$\Phi\equiv\int_{\Sigma}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$

où $\mathrm{d}\mathbf{S}$ représente un vecteur normal élémentaire et $\cdot$ le produit scalaire. Si la surface est donnée par le paramétrage $σ(u, v)$ (où $u$ et $v$ varient dans un ouvert $Ω$ ), ce vecteur est fourni par

$\mathrm d\mathbf S = \left[\frac{\partial\sigma}{\partial u}\times\frac{\partial\sigma}{\partial v} \right] \mathrm du\,\mathrm dv$

et le flux est alors

$\Phi = \iint_\Omega \mathbf F\bigl(\sigma(u,v)\bigr) \cdot \left[\frac{\partial\sigma}{\partial u}\times\frac{\partial\sigma}{\partial v} \right] \mathrm du\,\mathrm dv = \iint_\Omega \det\left(\mathbf F,\tfrac{\partial\sigma}{\partial u},\tfrac{\partial\sigma}{\partial v} \right) \mathrm du\,\mathrm dv$

Si $Σ$ est une surface fermée (on dit aussi sans bord) entourant un volume^[1] $V$ alors le flux peut être déterminé d'une autre manière, en invoquant le théorème de flux-divergence :

$\Phi=\oint_{\Sigma}\mathbf{F}\cdot{\rm d}\mathbf{S}=\iiint_{\mathcal{V}}\operatorname{div}\,\mathbf{F}\;{\rm d}^3V$

[modifier] Flux à travers une courbe

De la même manière, on définit le flux du champ $\mathbf F=(P,Q)$ de $\R^2$ à travers la courbe $Γ$ la quantité

$\Psi = \int_{\Gamma} \mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf n = \iint_\Gamma (P\,\mathrm dy-Q\,\mathrm dx)$

où $\mathrm d\mathbf n = (\mathrm dy, -\mathrm dx)$ représente un vecteur normal élémentaire. Cela revient à définir le flux de $\mathbf F$ comme la circulation (ou intégrale curviligne) du champ orthogonal $\mathbf G=(-Q,P)$ :

$\Psi = \int_\Gamma \mathbf G\cdot \mathrm d\mathbf r$

avec $\mathrm d\mathbf r = (\mathrm dx,\mathrm dy)$ . Le flux d'un champ à travers une courbe, à l'inverse de sa circulation, ne dépend que de sa composante normale à la courbe.