Anneau topologique

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En mathématiques, un anneau topologique est un anneau (R,+, ×) muni d'une topologie telle que :

  • (x , y) \to x + y est continue
  • x \to - x est continue
  • (x , y) \to xy est continue

où R 2 est muni de la topologie produit.

[modifier] Exemples

L'ensemble des rationnels, des réels, des complexes, des nombres p-adiques sont des anneaux topologiques pour leur topologie classique (distance pour les 3 premiers, distance p-adique pour le dernier). Ce sont même des corps topologiques.

L'ensemble des fonctions continues d'un espace topologique E vers l'ensemble des réels est un anneau topologique pour la topologie de la convergence simple.

[modifier] Topologie I-adique

Si R est un anneau commutatif et I un idéal de R, alors R est un anneau topologique pour la topologie I-adique définie de la manière suivante: Un sous-ensemble U de R est ouvert si et seulement si , il existe un entier naturel n tel que

x + I^n \subseteq U

Si, de plus,

\bigcap_{n \in \mathbb{N}}I^n = \{0\}

alors R est un espace séparé ou espace de Hausdorff.

La topologie p-adique sur les entiers relatifs est une topologie I-adique avec I = p\Z

Si R est séparé, on peut induire sur R une distance :

d(x,y) = 2 − k où k est le premier entier tel que x-y \notin I^k
d(x,y)= 0 si x - y\in I^k pour tout entier k.

On peut alors parler de suites de Cauchy et rechercher le complété de l'anneau R