Élément absorbant

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En mathématiques, un élément absorbant (ou élément permis) d'un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui transforme tous les autres éléments en l'élément absorbant lorsqu'il est combiné avec eux par cette loi.

[modifier] Définition

Soit $(E,\top)$ un magma. Soit $a\in E$ .

a est dit élément absorbant à gauche si $\forall x \in E,\quad a \top x = a$ ;
a est dit élément absorbant à droite si $\forall x \in E,\quad x \top a = a$ ;
a est dit élément absorbant s'il est absorbant à droite et à gauche.

[modifier] Propriétés

Dans un magma donné, l'élément absorbant, s'il existe, est unique. En effet, si $a 1$ et $a 2$ sont deux éléments absorbants, $a_1 = a_1 \top a_2 = a_2$ .
En revanche, plusieurs éléments absorbants à gauche ou à droite peuvent exister dans un magma donné, mais s'il existe plus d'un élément absorbant à gauche, il n'en existe aucun à droite, et réciproquement. En effet, supposons $a 1$ et $a 2$ deux éléments absorbants à gauche, et $b$ un élément absorbant à droite: $a_1 = a_1 \top b = b = a_2 \top b = a_2$ .
Si un magma a un élément absorbant à gauche et un élément absorbant à droite, ces deux éléments sont égaux et le magma a un élément asorbant. En effet, si $a 1$ est absorbant à gauche et $a 2$ absorbant à droite, $a_1 = a_1 \top a_2 = a_2$ .
L'élément absorbant d'une loi de composition interne est idempotent par cette loi : $a\top a = a$ .

[modifier] Exemples

L'élément absorbant de la multiplication entre des nombres réels est le zéro : $a\cdot 0 = 0\cdot a = 0$ . De façon analogue, le vecteur nul est élément absorbant pour le produit vectoriel et l'ensemble vide est élément absorbant pour l'intersection d'ensembles.
Pour tout ensemble E, sur l'ensemble des parties P(E), E est élément absorbant pour la réunion d'ensembles.
Le seul groupe possédant un élément absorbant est le groupe trivial.
Dans un anneau (A, +, ×), l'élément neutre de + est élément absorbant de ×.
En considèrant l'ensemble des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ à valeur dans $\mathbb{R}$ , doté de la loi $\top : (f,g) \to f \circ g$ , les éléments absorbants à gauche sont les fonctions constantes. Et il n'existe pas d'élément absorbant à droite.