Théorème de la limite simple de Baire

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En mathématiques, le théorème de la limite simple de Baire est un surprenant résultat d'analyse sur la continuité d'une limite simple d'une suite de fonctions continues. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français René Baire. C'est une conséquence de la propriété de Baire.

[modifier] Énoncé

Soit $(f n)$ une suite de fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ . Si elle converge simplement vers une fonction f, alors f est continue sur un ensemble dense de réels.

Démonstration

Pour tous entiers positifs $n$ et $k$ , on pose

$F_{n,k} = \{x\in \R\ |\ \forall m\geq n,\ \forall p \geq n,_ |f_m(x) - f_p(x)|\leq 1/k\}$ .

On note $I n, k$ l'intérieur de $F n, k$ . On note

$O_k = \bigcup_{n\in \mathbb N}I_{n,k}\quad \mathrm{et}\quad O = \bigcap_{k \in \mathbb N*} O_k$ .

On va prouver que $O$ est dense dans $\R$ et que $f$ est continue en tout point de $O$ .

1) $F n, k$ est un fermé et $\bigcup_{n\in \mathbb N}F_{n,k}= \R$ .

Pour tous entiers $m$ , $p$ et $k$ , les fonctions $f m$ et $f p$ sont continues donc l'ensemble

$\{x\in \R /\ |f_m(x) - f_p(x)|\leq 1/k\}$

est un fermé et $F n, k$ est fermé comme intersection de fermés.

Pour tout réel $x$ , la suite $(f n (x))$ converge simplement vers $f (x)$ . C'est donc une suite de Cauchy et il existe un entier n tel que

$\forall m\geq n, \forall p \geq n, |f_m(x) - f_p(x)|\leq 1/k\}$ .

Ceci assure qu'il existe un entier $n$ tel que $x$ appartient à $F n, k$ .

2) Pour tout entier k, $O k$ est un ouvert dense dans $\R$ .

L'ensemble $O k$ est un ouvert car c'est une union d'ouverts. Pour montrer que $O k$ est dense dans $\R$ , il suffit de prouver que pour tout réel $x$ et pour tout réel positif $h$ , l'intervalle $[x - h; x + h]$ rencontre $O k$ .

On considère la suite dénombrable de fermés $F_{n,k} \cap [x - h; x + h]$ . Son union sur $n$ donne l'intervalle $[x - h; x + h]$ dont l'intérieur est non vide. Par la contraposée du théorème de Baire, on en déduit qu'il existe un entier $n$ tel que $F_{n,k} \cap [x - h; x + h]$ soit d'intérieur non vide.

En effet, soit un voisinage ouvert $V \in [x - h; x + h]$ alors $V = R \cap V = \cup_n F_n \cap V$ . Les $F_n \cap V$ sont fermés pour la topologie induite $\tau \cap V$ . Leur réunion est d'intérieur non vide pour cette topologie, car ils contiennent $V$ ouvert de cette topologie. D'après le théorème de Baire, il existe donc un $F_n \cap V$ d'intérieur non vide pour cette topologie. L'ensemble $V$ étant ouvert, les ouverts de la topologie induites sont aussi des ouverts de la topologie initiale, et $F_n \cap V$ est aussi d'intérieur non vide pour la topologie initiale. Cela signifie que $[x - h, x + h]$ rencontre $I n, k$ donc rencontre $O k$ .

3) $O\,$ est dense dans $\R$ .

Par application immédiate du théorème de Baire, une intersection dénombrable d'ouverts denses dans $\R$ est dense dans $\R$ .

4) Pour tout réel $x$ de $O$ , $f$ est continue en $x$ .

Pour tout $x$ de $O$ , $x$ appartient à $O k$ pour tout entier $k$ . Donc pour tout entier $k$ , il existe un entier $n$ tel que $x$ appartient à $I n, k$ .

Pour tout $y$ de $I n, k$ et tout entier $p$ supérieur ou égal à $n$ , on a

$|f_n(y) - f_p(y)| \leq 1/k$ .

Par passage à la limite, on obtient

$|f_n(y) - f(y)| \leq 1/k$ .

La fonction $f n$ étant continue en $x$ , il existe un ouvert $U$ contenant $x$ tel que, pour tout réel $y$ de $U$ , on ait

$|f_n(x) - f_n(y)|\leq 1/k$ .

Donc, pour tout réel $y$ de l'ouvert $U \cap I_{n,k}$ , on a

$|f_n(x) - f(x)| \leq 1/k$

d'où

$|f_n(y) - f(y)| \leq 1/k$

et enfin

$|f_n(x) - f_n(y)| \leq 1/k$ .

Par sommation, on obtient

$|f(x) - f(y)| \leq 3/k$

ce qui assure la continuité de $f$ en $x$ .

[modifier] Exemple d'utilisation

Si une fonction $f:\R\to \R$ est une dérivée, c'est-à-dire qu'il existe $g:\R\to \R$ dérivable telle que $g' = f$ , alors $f$ est la limite simple de la suite de fonction $(g n)$ définie par