Discuter:Théorème de Weierstrass-Casorati

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[modifier] Un point peu clair

Dans l'article il est écrit :

(c'est-à-dire que f n'est pas bornée sur un voisinage de a sans pour autant que lim_{z -> a}|f(z)| existe

? si f n'est pas bornée auvoisinage de a, la limite de |f(z)|ne peut de toute façon pas exister... Pas clair. Claudeh5 20 juin 2006 à 14:52 (CEST)

La formulation est effectivement un peu lourde, mais il est très possible que limite en a de |f(z)| existe alors même que la fonction n'est pas bornée en a : il suffit que cette limite soit + \infty. (il s'agit de la limite du module de f(z)). Lorsque la limite en a de |f(z)| est + \infty on dit que a est un pole, sinon, on dit que a est une singularité essentielleHB 20 juin 2006 à 17:00 (CEST)

[modifier] Proposition d'amélioration

Bonjour, je trouve l'introduction très bien mais l'article un peu court. Je propose de créer les paragraphes suivants :

1) énoncé

2) exemples

3) preuves

4) voir aussi

5) références

Qu'en dites vous ?


Cordialement Tize 14 mai 2008 à 18:52 (CEST)


Bon, j'ai effectué les modifications en ajoutant une source et un lien dans voir aussi, preuve et exemple à compléter...

Cordialement Tize 17 mai 2008 à 10:51 (CEST)

Bonjour, suite à ton message sur le bistro, je suis venue voir, c'est très bien, les exemples sont très clairs ! J'ai juste dû relire plusieurs fois la phrase de la section 'application' (Bien que ce ne soit pas la seule méthode, on peut montrer grâce au théorème de Weierstrass-Casorati, etc..). Je pense que ce serait plus clair de dire : 'L'utilisation du théorème de Weierstrass-Casorati est l'une des voies (ou l'une des méthodes) pour montrer etc..'. Amitiés, --Cgolds (d) 18 mai 2008 à 01:36 (CEST)
il manque cruellement la définition d'un point singulier essentiel ! Je la rajoute.Claudeh5 (d) 18 mai 2008 à 03:42 (CEST)
j'aime pas trop l'intro: "On dit de l'ensemble des nombres rationnels qu'il est dense dans l'ensemble des nombres réels. On entend par là que tout nombre réel peut être approché avec autant de précision que l'on souhaite par une suite de rationnels. Par exemple, (1+1/N)^n est d'autant plus proche de e(exponentielle) que n est grand."
  1. la densité dans le théorème de weierstrass-casorati est sur les complexes et non sur les rationnels,
  2. que vient faire e ici ? doit-on supposer que le lecteur ne sait pas la notion de limite ? alors on va avoir du mal à lui expliquer la notion de densité, celle de singularité essentielle, ...

Claudeh5 (d) 18 mai 2008 à 04:20 (CEST)


Tout d'abord bonjour et merci,

J'ai pris en compte ta remarque Cgolds et j'ai modifié ma phrase alambiquée, merci.

Pour Claudeh5 : merci aussi pour le point sur la définition de la singularité essentielle, comme il y avait un lien sur la page Singularité (mathématiques) j'ai pensé que ça n'était pas nécessaire mais tu as raison cela complète l'article et le rend plus clair.

En ce qui concerne l'introduction, elle n'est pas de moi mais je la trouve intéressante (on fait le lien avec quelque chose de 'plus simple') mais à bien la relire il est vrai qu'il subsiste un léger doute sur sa pertinence, on y parle d'un ensemble dense qui n'est pas à priori l'image d'une boule par une application continue ce qui du coup n'a plus trop de rapport avec Weierstrass-Casorati.

Peut être serait-il plus judicieux de prendre l'exemple d'une fonction réelle ne vérifiant pas Weierstrass-Casorati ?

Sinon le mot "dense" dans l'introduction ne me dérange pas (on peut éventuellement changer en : "approcher d'aussi près que l'on veut par...") dans la mesure où le lecteur qui ne connait pas la définition ne connait pas à mon avis non plus la définition du développement en série de Laurent, d'autant qu'il y a un lien dans cet article vers une autre page Wikipédia pour chacun de ces mots.

Cordialement Tize 18 mai 2008 à 09:42 (CEST)


Je n'ai pas tout lu mais il y a l'air d'avoir de bonnes choses et j'ai deux commentaires : 1) il me semble important de bien identifier à quel(s) niveau(x) se situe l'article et qui est susceptible de le lire. Je n'arrive pas à concevoir qu'on puisse vouloir lire cet article sans comprendre l'énoncé du théorème, en particulier le mot dense. Le paragraphe de baratin sur la densité me paraît donc déplacé. 2) je pense qu'il vaudrait mieux écrire un article « singularité des fonctions holomorphes ». Je pense qu'on peut réunir la définition des trois type de singularité, l'énoncé et la démonstration du théorème d'éffaçabilité de Riemann (mentionnée de façon un peu obscure dans la démonstration ici), l'énoncé et la démonstration de Casaroti-Weierstrass et l'énoncé du théorème de Picard sans que l'article devienne trop gros. Un tel article serait plus facile à lire et à maintenir (corriger et faire évoluer). Pmassot (d) 18 mai 2008 à 22:11 (CEST)

Bonjour Pmassot,d'accord pour le 1) mais je ne suis pas sur d'avoir compris le 2), il existe déjà un article sur les singularités contenant un paragraphe sur les singularités en analyse complexe. A moins que tu veuilles réunir tout (singularité des fonctions holomorphes, théorème d'effaçabilité , Weierstrass-Casorati) dans le même article, c'est ça ? [edit] à bien relire ce que tu as écris je pense que c'est ce que tu veux dire...je vais voir ce que je peux faire ce soir... Cordialement Tize 19 mai 2008 à 10:38 (CEST)
L'article singularité est, à l'heure actuelle, un fourre-tout contredisant à chaque paragraphe à partir du deuxième la « définition » proposée en exergue, je ne pense pas qu'il faille s'appuyer dessus.Pmassot (d) 19 mai 2008 à 21:19 (CEST)

Sur tes conseils Pmassot et en gardant un certain ordre, un sommaire comme celui-ci te semble-t-il plus judicieux ?

   * 1 Singularité des fonctions holomorphes
   * 2 Théorème d'effaçabilité 
   * 3 Énoncé du Théorème de Weierstrass-Casorati
   * 4 Remarques - Grand théorème de Picard
   * 5 Exemples
   * 6 Une application
   * 7 Voir aussi
   * 8 Référence
   * 9 Lien externe

Cordialement Tize 19 mai 2008 à 11:34 (CEST)

Oui c'est très bien. Quelques remarques : 1) le nom théorème d'effaçabilité (que j'ai moi-même employé) n'est peut-être pas complètement standard, il faudrait enquêter un peu pour trouver le nom usuel. 2) Pourquoi seulement l'énoncé de CW dans ton plan ? 3) Ton exemple avec les lemniscates est sympathique par la présence des lemniscates mais il me semble qu'un élève de terminale peut vérifier le théorème de Picard (et a fortiori celui de CW) sur z \mapsto e^{1/z} qui paraît un exemple plus naturel. 4) Pour les applications il me semble que la classification des anneaux (ronds) à biholomorphisme près est aussi un grand classique.Pmassot (d) 19 mai 2008 à 21:05 (CEST)
OK, je vais faire des modifications sur ma page de discussion et enregistrer ici quand ce sera plus propre... par contre j'ai une petite question au sujet de ton application : "la classification des anneaux (ronds)", de quels anneaux parles tu ? Je ne suis pas sur de comprendre...
José. Cordialement Tize 20 mai 2008 à 12:39 (CEST)
J'avais fait la même erreur d'utiliser une page de discussion pour ce genre de choses l'an dernier. Il vaut mieux créer une page de brouillon (comme Utilisateur:Pmassot/Brouillon, cela permet d'avoir une mise en page normale et de pouvoir discuter sur la page de discussion afférente. Pour les anneaux ronds je faisais allusion au théorème suivant : deux anneaux A_1 et A_2 avec A_i=\{z ;\; r_i < z < R_i \} sont biholomorphiquement équivalents si et seulement si R1 / r1 = R2 / r2. Il s'agit du premier exemple qui montre que, contrairement à ce que le théorème représentation conforme de Riemann suggère à un esprit optimiste, la topologie d'un ouvert de C ne suffit pas à comprendre sa nature holomorphe. Le mot rond dans ma phrase insiste sur le fait que je ne faisais pas allusion à la classification des ouverts homémorphes à un anneau (qui sont tous biholomorphiquement équivalents à un anneau rond mais c'est beaucoup plus difficile à montrer). Pmassot (d) 20 mai 2008 à 18:05 (CEST)
OK, merci pour le conseil, j'ai créé Utilisateur:Tize/Brouillon. Cordialement Tize 21 mai 2008 à 13:45 (CEST)
Est-ce que vous comptez faire plus de modifications ou bien attendez-vous que j'en fasse sur cette page ?Pmassot (d) 21 mai 2008 à 20:29 (CEST)


Je comptais développer la partie "Prolongement pour les singularités apparentes" qui est incomplète et ajouter dans la partie "exemple" la fonction z->e^(1/z) mais je n'ai pas vraiment le temps en ce moment...donc si vous voulez apporter des modifications c'est avec grand plaisir, sinon de mon côté il faudra attendre un peu... Cordialement Tize 21 mai 2008 à 21:43 (CEST)