Utilisateur:Tize/Brouillon
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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, le théorème de Weierstrass-Casorati décrit une propriété topologique des voisinages d'une singularité essentielle d'une fonction holomorphe. Il est nommé ainsi en l'honneur des mathématiciens Karl Weierstrass et Felice Casorati.
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[modifier] Singularités des fonctions holomorphes
En analyse complexe, une singularité d'une fonction holomorphe est un point où la fonction n'est pas bien définie. On peut classer ces singularités en plusieurs catégories, si un point a appartient à un ouvert de et une fonction holomorphe f est définie sur alors on dit que a est :
- Une singularité apparente (ou singularité éliminable) de f si f peut être prolongée en une fonction holomorphe sur tout entier. C'est le cas si est bornée sur un voisinage de a.
- Un pôle de f lorsque
- Une singularité essentielle de f lorsque n'est pas bornée en a mais n'admet pas non plus de limite en a.
Il existe un quatrième type de singularité : le point de branchement (ou point de ramification) qui concerne les fonctions complexes multiformes telles que la fonction racine n-ième ou la fonction logarithme complexe.
[modifier] Prolongement pour les singularités apparentes
Dans le cas où f est définie sur le disque ouvert épointé , une des principales conséquences de la formule intégrale de Cauchy conduit à développer f en série de Laurent : avec en prenant pour γr le cercle de centre a et de rayon r > 0.
Si est bornée sur un voisinage de a on montre alors en faisant tendre r vers 0 que pour tout n < 0 l'intégrale curviligne précédente est nulle et donc que cn = 0 pour tout n < 0. Ainsi le développement en série de Laurent est en réalité un développement en série entière et f peut alors être prolongée en une fonction holomorphe sur en posant et si et la singularité est apparente.
[modifier] Énoncé et preuve du théorème de Weierstrass-Casorati
Théorème de Weierstrass-Casorati — Soit f une fonction holomorphe sur un disque D(a,r) épointé (c'est-à-dire privé de son centre) avec une singularité essentielle en a (c'est-à-dire que f n'est pas bornée sur un voisinage de a sans pour autant que existe).
Alors, pour tout k inclus dans ]0,r[, l'ensemble est dense dans .
Par l'absurde, si f a une singularité essentielle en a, supposons qu'il existe k > 0 tel que n'est pas dense dans . Il existe alors et ε > 0 tel que et la fonction est alors bornée sur , a est donc une singularité apparente de g qui peut se prolonger en une fonction holomorphe en a. La fonction est alors soit holomorphe en a si soit elle possède un pôle si mais dans tous les cas cela contredit l'hypothèse de singularité essentielle de f en a. est donc nécessairement dense dans .
[modifier] Remarques - Grand théorème de Picard
Ainsi pour tout k inclus dans ]0,r[ et pour tout c appartenant à , il existe une suite (zj) de telle que f(zj) tend vers c.
Il existe un autre type de singularité à ne pas confondre avec la singularité essentielle, le point de branchement: il existe alors dans le développement autour de a soit un terme logarithmique soit des puissances non entières.
Le grand théorème de Picard a complété le théorème de Weierstrass-Casorati en précisant qu'une telle application prend une infinité de fois toutes les valeurs de sauf peut être une. La démonstration du théorème de Picard est bien plus difficile que celle du théorème de Weierstrass-Casorati.
[modifier] Exemples
- La fonction définie sur possède une singularité qui n'est pas essentielle en 0 (c'est en fait un pôle d'ordre 1). On peut remarquer que quand et la fonction g ne vérifie donc pas le théorème de Weierstrass-Casorati.
- La fonction définie sur par possède une singularité essentielle en 0 et vérifie donc le théorème de Weierstrass-Casorati, on peut même vérifier dans ce cas précis le grand théorème de Picard.
- La fonction définie pour tout par :
possède une singularité essentielle en 0.
En posant z = x + iy on a les courbes de niveaux de vérifient donc des équations du type où c est une constante, les courbes de niveaux de sont donc des lemniscates de Bernoulli.
[modifier] Applications
- L'utilisation du théorème de Weierstrass-Casorati est l'une des méthodes qui permet de montrer que les seules automorphismes biholomorphes de sont des applications f du type f(z) = az + b avec .
- Classification des couronnes de à biholomorphisme près.
[modifier] Voir aussi
- Théorèmes de Picard
- Lemniscate de Bernoulli
- Singularité (mathématiques)
- Formule intégrale de Cauchy
- Densité (mathématiques)
[modifier] Référence
- Serge Lang, Complex Analysis, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », New York, janvier 1999, 485 p. (ISBN 0-387-98592-1)
[modifier] Lien externe
- [1] Cours de Ernst Hairer de l'université de Genève au format PDF.