Intégrateur symplectique

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En mécanique hamiltonienne, qui est souvent le cas de la mécanique céleste, on a souvent intérêt à écrire le système à étudier sous la forme d'une action I et d'un angle φ, de manière à ce que le système différentiel se réduise à : x := (I, φ) et :

$\dot{x} = L x : = [H, x]$ ,

où l'on a noté :

[f, g] crochet de Poisson de f et g .

On voudrait connaître la solution formelle x(t) = exp{L t} x(0).

Le système est alors dit intégrable. cf discussion, provisoirement.

Le Théorème de Ramis-Morales a permis de faire de gros progrès dans cette direction.

On se contente souvent d'une approximation pour des temps "petits" : on a alors affaire à un intégrateur symplectique.

Sommaire

1 Traitement perturbatif
2 Un cas simple : l'oscillateur harmonique
3 Pendule simple
4 Autre méthode
5 Voir aussi
6 Références

[modifier] Traitement perturbatif

Souvent H = A + ε B , où A est intégrable et B est une perturbation intégrable souvent aussi, et ε un réel très petit. Appelons L l'opérateur de Liouville de A et M l'opérateur de Liouville de B :

Alors le problème est de calculer exp{L + ε M} t qui hélas est différent de exp{L t} .(exp Mt)^ε

Le cas classique en mécanique céleste est la perturbation de Saturne par Jupiter. Mais on peut aussi bien tester la méthode sur une particule dans un puits de potentiel.

Évidemment, il y a deux possibilités : la formule de Trotter ou la formule de Campbell-Hausdorff.

Ou bien des formes raffinées de combinaison des deux adéquates.

L'idée forte est la suivante: t est petit; faire une théorie au énième ordre , conduit à une erreur O( tⁿ ε) ou plus exactement O(tⁿ ε +t² ε²): on a intérêt à pousser la méthode jusqu'à l'ordre n tel que :

t^(n-2) = ε

Dans certains cas , dits symétriques, on peut l'améliorer en t^(n-4) = ε.

[modifier] Un cas simple : l'oscillateur harmonique

On peut commencer par tester la méthode sur l'oscillateur harmonique, qui, on le sait, est le test usuel.

On continuera avec le pendule simple.

[modifier] Pendule simple

Cette fois , en coordonnées réduites , A = p²/2 et B = 1 - cos q . Le système est intégrable exactement,via les fonctions de Jacobi, mais nous préférons prendre A = p²/2 + ε q²/2 et B = 1 - cos q - q²/2

L'opérateur A est donc celui d'un oscillateur harmonique, et B joue le rôle de perturbation, si les oscillations sont pendulaires. Dans le cas de tournoiement , le problème de la "séparatrice" ne peut se règler simplement , car l'intégrateur simplectique ne conserve pas rigoureusement l'énergie. Il vaut mieux alors se tourner vers la solution du pendule simple discret.

[modifier] Autre méthode

Quand le système possède une certaine symétrie temporelle, un dernier terme correcteur permet d'atteindre le résultat à O( tⁿ ε + t⁴ ε²). On gagne alors en précision.