Discuter:Intégrateur symplectique

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[modifier] idéologie

On sait que le traitement perturbatif est commun en mécanique quantique. Assez curieusement, il est moins enseigné en mécanique classique. Or, les deux traitements se calquent l'un sur l'autre et l'algèbre est la même : formule de Trotter et formule de Campbell-Hausdorff.

Donc , ici proposition de remédier à cette carence , déjà dénoncée par nombre d'auteurs dont Gallavotti : son traité de mécanique est par ailleurs remarquable.

Wikialement sylvie --Guerinsylvie 13 mars 2006 à 22:30 (CET)

[modifier] Système intégrable

Excuses ; en attendant que les administrateurs aient modifié la méprise entre "système intégrable et théorie de l'intégration , casons ici qq mots sur l'histoire des systèmes intégrables.

[modifier] Histoire des sciences

Le premier système intégrable connu est celui du puits de potentiel de la cycloïde par Huygens ( 1659(?), publié dans Horologium en 1673).

Hooke propose sa loi en 1660 et l'intègre vers 1679 (?), mais "sans mathématiques" , juste en analyse graphique.

Newton publie en 1684 l'intégration du mouvement keplerien ;

Il généralise à toute Force centrale en 1687 dans les Principia ( cf mouvement à force centrale).

Euler généralise au cas de deux centres d'attraction coulombiens (1736).

Jacobi trouve les géodésiques sur un ellipsoïde.

Neumann trouve le mouvement sur la sphère dans le cadre d'un potentiel quadratique centré.

Jacobi trouve le mouvement sur la droite de 3 charges électriques positives .

Par ailleurs , dans le cas du mouvement d'un solide autour d'un point , on sait faire mouvement du solide d'Euler , puis mouvement de Lagrange et mouvement de Kovalewskia. Et si on rajoute un fluide, mouvement de Kirchhoff, mouvement de Alfred Clebsch et mouvement de Stelkov.

Le renouveau a lieu sous l'impulsion de Lax en 1968 , après suggestion de Kruskal et Miura : c'est la méthode de la déformation isospectrale. Zakharov et Fadeev en 1971 montrent que l'équation de Korteweg - de Vries est un Hamiltonien avec une infinité d'intégrales premières.

La recherche reprend sur les équations différentielles et aboutit au théorème de Jean-pierre Ramis-Morales vers 1998, ouvrant la voie à nombre d'applications où s'illustrent Michèle Audin , Alain Connes, etc.

On constate dans ces systèmes intégrables qu'ils jouissent souvent d'une symétrie cachée ( l'exemple type en est l'invariant de Runge Lenz dans le mouvement keplerien ), et souvent qu'ils sont simplement la coupe d'un système plus symétrique dans une dimension supérieure ( méthode suggérée par le quasi-cristal).

Il faut rajouter que l'application systématique du théorème d'Emmy Noether et du groupe de symétrie le plus large du système intégrable [ cf Ibragimov ,Olver, Ratiu, Marsden, etc.] a permis ce remouveau extraordinaire après un quasi-sommeil de 200 ans.