Système intégrable

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En mécanique hamiltonienne, un système intégrable au sens de Liouville est un système qui possède un nombre suffisant de constantes du mouvement indépendantes. Lorsque le mouvement est borné, la dynamique est alors périodique ou quasi-périodique.

[modifier] Définition

[modifier] Rappels de mécanique hamiltonienne

Soit un système à N degrés de liberté qui est décrit à l'instant $t$ par :

les N coordonnées généralisées $\{ q_i(t) \}_{i = 1, \dots, N}$

les N moments conjugués $\{ p_j(t) \}_{j = 1, \dots, N}$ .

A chaque instant, les 2N coordonnées $(q i (t), p j (t))$ définissent un point dans l'espace des phases $\Gamma = \mathbb{R}^{2N}$ . L'évolution dynamique du système sous le flot hamiltonien se traduit par une courbe continue appelée orbite dans cet espace des phases. Un système hamiltonien invariant par translation dans le temps satisfait toujours à la conservation de l'énergie :

$\quad H(q_i(t),p_j(t)) \ = \ E$

de telle sorte que sa dynamique est en fait restreinte à une hypersurface $S_E \subset \Gamma$ à $2 N - 1$ dimensions.

[modifier] Critère d'indépendance des constantes du mouvement

Considérons un système hamiltonien invariant par translation dans le temps qui possède N-1 autres constantes du mouvement en plus de l'énergie. Soient $\{ F_i \}_{i=1, \dots, N}$ ces N constantes du mouvement. Pour que le système soit intégrable au sens de Liouville, ces constantes doivent être en involution, c’est-à-dire que leurs crochets de Poisson vérifient :

$\forall \ (i,j) \ , \qquad \left\{ F_i, \ F_j \right\} \ = \ 0$

[modifier] Propriétés d'un système intégrable

Lorsque le mouvement est borné, on peut trouver une transformation canonique des 2N variables originales $(q i, p j)$ vers 2N nouvelles variables « actions-angles » $(I i,θ j)$ telles que l' Hamiltonien ne dépend plus que des N variables d'action $I i$ :

$H(q_i(t),p_j(t)) \ = \ \tilde{H}(I_i(t)) \ = \ E$

Dans ce cas, les équations canoniques de Hamilton pour les actions deviennent :

$\frac{dI_i(t)}{dt} \ = \ - \ \frac{\partial \tilde{H}}{\partial \theta^i} \ = \ 0$

donc les actions I sont toutes des constantes. Par ailleurs, on a également les équations canoniques de Hamilton pour les angles :

$\frac{d\theta^j(t)}{dt} \ = \ \frac{\partial \tilde{H}}{\partial I_j} \ = \ \omega^j(I_i)$

Les vitesses angulaires sont donc indépendantes du temps^[1], de telle sorte que les angles augmentent linéairement avec le temps, et le mouvement est alors quasi-périodique :

$\theta^j(t) \ = \ \omega^j(I_i) \ t \ + \ \theta^j(0)$

Ainsi, lorsque le mouvement est borné, la dynamique d'un système intégrable est-elle restreinte à un tore invariant $T_N \subset \Gamma$ à N dimensions dans l'espce des phases, au lieu d'explorer toute l'hypersurface d'énergie $S E$ a priori accessible. Ce tore invariant est caractérisé par la valeurs des N actions, et l'espace de phases $Γ$ est ainsi localement feuilleté par ces tores invariants, correspondants aux différentes valeurs possibles des actions.

[modifier] Articles liés

[modifier] Bibliographie

Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 1 : Mécanique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions]
T. W. B. Kibble & F.H. Berkshire ; Classical Mechanics, Prentice Hall (4^e édition-1997), ISBN 058225972X. Un excellent cours d'introduction à la mécanique, des fondements Newtoniens jusqu'au formalismes plus avancés de Lagrange et de Hamilton. Kibble est professeur émérite de Physique Théorique de l'Imperial College de Londres. Pour cette 4^e édition (avec un co-auteur), deux chapitres d'introduction aux idées de la théorie du chaos ont été inclus. Niveau : à partir du premier cycle universitaire. (N.B. : Il a existé une traduction française de l'édition précédente, publiée en son temps par Dunod.)

Herbert Goldstein, Charles P. Poole & John L. Safko ; Classical mechanics, Addison-Wesley (3^e édition-2001), ISBN . Cet ouvrage de Goldstein est une référence absolue concernant les aspects théoriques modernes de la mécanique - formulations Lagrangienne et Hamiltonienne. Cette troisième édition, réalisée en collaboration, est complétée par un chapitre (chap. 10) sur les développements récents de la théorie du chaos. Le chapitre 3, consacré au problème à 3 corps, a été également partiellement remanié. Niveau second cycle universitaire. (Il a existé autrefois une traduction française d'une édition précédente.)

Vladimir I. Arnold ; Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (2^e édition-1989) ISBN 0-387-96890-3. Une synthèse de l'état de l'art en mécanique analytique (formalismes Lagrangien & Hamiltonien) avec l'accent mis sur l'interprétation géométrique de ces formalismes, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine. A partir du second cycle universitaire.

Vladimir I. Arnold, V.V. Kozlov & A.I. Neishtadt ; Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag (2^e édition-1993).

Vladimir I. Arnold & André Avez ; Ergodic Problems of Classical Mechanics, Advanced Book Classics, Pearson Addison Wesley (Mai 1989) ASIN 0201094061.

R. Abraham & J.E. Marsden ; Foundations of mechanics, the Benjamin/Cummings Publishing Company (2^e édition-1978), ISBN . Un livre imposant qui présente un exposé axiomatique rigoureux de la mécanique « à la Bourbaki », à réserver aux esprits matheux. Niveau second cycle universitaire minimum.