Intégrale de Fresnel

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L'intégrale de Fresnel est une intégrale impropre introduite par le physicien français Augustin Fresnel.

[modifier] Formule de Fresnel

\int_{0}^{+\infty} \cos(x^2)\;\mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} \sin(x^2)\;\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}

On en déduit l'intégrale de Fresnel complexe :

\int_{0}^{+\infty} e^{\pm i x^2} \mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} \cos(x^2)\mathrm{d}x \pm i \int_{0}^{+\infty} \sin(x^2)\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}( 1 \pm i ) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{\pm i\frac{\pi}{4}}

[modifier] Calcul de l'intégrale de Fresnel

Considérons pour tout réel t la fonction de ℝ+ dans ℂ définie par

u\mapsto {\exp \bigl(-(u^2+i)\,t^2\bigr)\over u^2+i}.

Cette fonction est intégrable puisqu'étant continue sur ℝ+ et, avec Re( − (u2 + i)) < 0, négligeable au voisinage de +∞ devant u\mapsto\tfrac{1}{u^2}.

Il est donc possible de poser f, la fonction définie pour tout t par l'intégrale à paramètre suivante :

f(t)=\int_0^{+\infty}\frac{\exp\bigl(-(u^2+i)\,t^2\bigr)}{u^2+i}\,\mathrm{d}u

On montre que f est de classe C1 sur ℝ+* et que

\forall t\in\R^{+*},\,f'(t)=-2t\mathrm{e}^{-it^2}\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-u^2\,t^2}\mathrm{d}u

Démonstration
  • Pour tout t > 0, la fonction
    \R^+\rightarrow\mathbb C,\ u\mapsto {\exp \bigl(-(u^2+i)\,t^2\bigr)\over u^2+i}
    est continue par morceaux et intégrable.
  • Pour tout {{math|u ∈ ℝ+}}, la fonction
    \R^{+*}\rightarrow\mathbb C,\ t\mapsto {\exp \bigl(-(u^2+i)\,t^2\bigr)\over u^2+i}
    est dérivable et de dérivée f'(t) = − 2texp( − (u2 + i)t2)
  • Pour tout {{math|u ∈ ℝ+}}, la fonction
    \R^{+*}\rightarrow\mathbb C,\ t\mapsto {-2\,t}\exp {[-(u^2+i)\,t^2]}
    est continue par morceaux et intégrable
  • Pour tout {{math|t ∈ ℝ+*}}, la fonction
    \R^{+*}\rightarrow\mathbb C,\ u\mapsto {-2\,t}\exp {[-(u^2+i)\,t^2]}
    est continue
  • Condition de domination : confinons le paramètre u au compact {{math|[a,b] ⊂ ℝ+*}} (donc a > 0). Exhibons \varphi, une fonction continue par morceaux et intégrable sur ℝ+ vérifiant
    \forall (t,u)\in\R^{+*}\times\R,\,\left|{-2\,t}\mathrm{e}^{-(u^2+i)\,t^2}\right|\le \varphi(t).
    \varphi(t)= 2\,t\mathrm{e}^{-(a^2+i)\,t^2} convient.

Conclusion : f est de classe C1 sur {{math|ℝ+*}} et

\forall t\in\R^{+*},\,f'(t)=-2t\mathrm{e}^{-it^2}\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-u^2\,t^2}\mathrm{d}u

En opérant un changement de variable linéaire par la fonction ℝ+ → ℝ+, u ↦ u·t = v, on aboutit immédiatement à, pour tout t ∈ ℝ+* :

f'(t)=-2\mathrm{e}^{-it^2}\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-v^2}\,\mathrm{d}v

L'intégrale définie est ici bien connue (voir l'article sur l'intégrale de Gauss) et vaut \tfrac{\sqrt{\pi}}{2}. Ainsi, on a une expression plus simple de la dérivée de f : f'(t)=-\sqrt{\pi}\mathrm{e}^{-it^2}.

L'application du théorème de convergence dominée permet de montrer que \textstyle\lim_{t\to+\infty}f(t)=0 Considérons la suite de fonctions (fn) définie par :

\forall n\in\N,\,f_n:\R^+\rightarrow\mathbb C,\ u\mapsto {\exp \bigl(-(u^2+i)\,\lambda_n^2\bigr)\over u^2+i}

où (λn) est une suite réelle croissante de limite +∞. Montrons que

\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{0}^{+\infty}f_n(u)\,\mathrm{d}u=0

c'est-à-dire que, d'après la caractérisation séquentielle des limites :

\lim_{t\rightarrow +\infty}f(t)=0.

Nous savons d'ores et déjà que (fn) converge simplement vers

g:\R^+\rightarrow\mathbb C,\ u\mapsto 0.

Par conséquent, de l'expression de f', on déduit en intégrant sur ℝ+ (fonctions intégrables) :

\sqrt{\pi}\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-it^2}\,\mathrm{d}t = f(0)

D'autre part,

f(0)=\int_0^{+\infty}{1\over u^2+i}\,\mathrm{d}u.

On se sert alors d'une intégrale classique :

\int_0^{+\infty}{1\over u^4+1}\,\mathrm{d}u=\int_0^{+\infty}{u^2\over u^4+1}\,\mathrm{d}u

et de l'expression \tfrac1{u^2+i} sous la forme \tfrac{u^2-i}{u^4+1} pour en déduire que

\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-it^2}\,\mathrm{d}t = {\sqrt{2\pi}\over 4}\,(1-i).

Il reste à prendre la partie réelle (respectivement la partie imaginaire) pour conclure que :

\Re \mathfrak{e}\left(\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-it^2}\,\mathrm{d}t\right) = \int_{0}^{+\infty}\cos(-x^2)\,\mathrm{d}x=\Re \mathfrak{e}\left({\sqrt{2\pi}\over 4}\,(1-i) \right)= {\sqrt{2\pi}\over 4} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}

(respectivement que

\Im \mathfrak{m}\left(\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-it^2}\,\mathrm{d}t\right) = \int_{0}^{+\infty}\sin(-x^2)\,\mathrm{d}x=-\int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)\,\mathrm{d}x=\Im \mathfrak{m}\left({\sqrt{2\pi}\over 4}\,(1-i) \right)= -{\sqrt{2\pi}\over 4} = -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}

).

[modifier] Autre calcul possible

Il est aussi possible d'intégrer f(x) = exp( − z2) sur les bornes du triangle TR de sommets 0, ~R, ~(1+i)~ R puis de faire tendre R vers l'infini.