Intégrale de Gauss

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Pour tout réel strictement positif α, la fonction (paire) \R \to \R, x \mapsto \mathrm{e}^{-\alpha x^2} est intégrable sur \R et :

\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} \mathrm dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}.

Cette intégrale est appelée intégrale de Gauss. Elle intervient dans la définition de la loi de probabilité appelée loi gaussienne, ou loi normale. La valeur de cette intégrale fut donnée pour la première fois par Pierre-Simon Laplace.

Sommaire

[modifier] Intégrabilité de la fonction

Comme l'intégrande est pair, il suffit, pour montrer qu'il est intégrable sur \R , de prouver qu'il est intégrable sur \R^+ . Cela résulte de ce qu'il est positif, continu, et négligeable à l'infini devant la fonction x \mapsto x^{-2} , intégrable par exemple sur [1,+\infty[.

[modifier] Calcul de l'intégrale de Gauss

L'intégrande de l'intégrale de Gauss n'admet aucune primitive s'exprimant à l'aide des fonctions usuelles (exponentielle, etc.). Ceci oblige pour calculer cette intégrale à recourir à des méthodes plus ou moins « détournées », dont la plus classique et directe est celle qui utilise des intégrales doubles ; d'autres méthodes classiques existent dont une élémentaire, mais nettement plus longue, qui fait appel aux intégrales de Wallis et une autre qui utilise une fonction définie par une intégrale.

[modifier] Cas particulier α = 1

[modifier] Méthode classique

La méthode classique de calcul utilise une intégrale double qu'on exprime en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées polaires.

Soient

G = \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm dx et H = \iint_{\R^+ \times \R^+} \mathrm{e}^{-(x^2 + y^2)}\, \mathrm dx\, \mathrm dy .

Compte tenu de ce que les variables x et y se séparent :

H = \iint_{\R^+ \times \R^+} \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{e}^{-y^2}\, \mathrm dx\, \mathrm dy = \left(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm dx\right) \left(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-y^2}\, \mathrm dy\right)= G^2

On passe en coordonnées polaires en posant x = rcosθ et y = rsinθ ; les variables r et θ se séparent elles aussi :

H = \iint_{\R^+ \times [0,\, \frac{\pi}{2}]} \mathrm{e}^{-r^2}\, r\, \mathrm dr\, \mathrm d\theta = \left(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-r^2}\, r\, \mathrm dr \right)\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\, \mathrm d\theta\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}

On en déduit :

G^2 = \frac{\pi}{4}, d'où G = \frac{1}{2}\sqrt{\pi} puisque G \geq 0, et enfin : \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm dx = 2\, G = \sqrt{\pi} par parité.

[modifier] Cas général

En effectuant dans l'intégrale de Gauss le changement de variable défini par x = \tfrac{t}{\sqrt{\alpha}}, on obtient :

\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} \mathrm dx =\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm dt = \frac{1}{\sqrt{\alpha}}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}.

[modifier] Corollaire

Le réel

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{\sqrt{t}}\, \mathrm dt

(une valeur de la fonction Gamma d'Euler) est égal à \sqrt{\pi}.

En effet, effectuant dans l'intégrale ci-dessus le changement de variable t = x2, où x > 0, on obtient :

\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{\sqrt{t}}\, \mathrm dt = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-x^2}}{x}\, 2\, x\, \mathrm dx = 2 \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm dx = \sqrt{\pi}.