Classe de régularité

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Les différentes classes de régularité sont définies à partir des dérivées itérées des fonctions, et de la continuité éventuelle de ces dérivées.

Si I \,\! est un intervalle de \R \,\!, et k \geq 1 un entier on note \mathcal{D}^k(I,\R) \,\! l'ensemble des fonctions de I \,\! vers \R \,\! qui sont k \,\! fois dérivables. On note \mathcal{C}^k(I,\R) \,\! le sous-ensemble de \mathcal{D}^k(I,\R) \,\! formé par les fonctions dont la k \,\!-ième dérivée est continue, et on note \mathcal{C}^0(I,\R) \,\! l'ensemble des fonctions continues de I \,\! vers \R \,\!. Enfin on note \mathcal{C}^{\infty}(I,\R) \,\! l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables de I \,\! vers \R \,\!.

Ces ensembles sont des algebres sur \R \,\! et on a la suite d'inclusions :

\mathcal{C}^0(I,\R) \supset \mathcal{D}^1(I,\R) \supset \mathcal{C}^1(I,\R) \supset \mathcal{D}^2(I,\R) \supset \mathcal{C}^2(I,\R) \supset \cdot\cdot\cdot \supset \mathcal{D}^k(I,\R) \supset \mathcal{C}^k(I,\R) \supset \mathcal{D}^{k+1}(I,\R) \supset \mathcal{C}^{k+1}(I,\R) \supset \cdot\cdot\cdot \supset \mathcal{C}^{\infty}(I,\R) \,\!.

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