Théorème de convergence dominée

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Le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Il s'énonce comme suit :

Soient $(E,\mathcal E,\mu)$ un espace mesuré, et $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions de $E$ dans $\mathbb C$ .

Hypothèses :

Pour tout entier $n$ , $f n$ est $\mathcal E$ mesurable.

La suite de fonctions $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge $μ$ presque partout sur vers une fonction $f$ (qui est donc mesurable).

(Hypothèse de domination) Il existe une fonction $\rho : E \rightarrow \mathbb{R}_{+}$ $μ$ intégrable telle que : pour tout entier $n$ , $|f_{n}|\leq\rho$ presque partout.

Conclusions :

La fonction $f$ est $μ$ intégrable, et on a la formule : $\lim_{n \to \infty} \int_E |f_n-f|d\mu= 0$

c’est-à-dire que la suite $(f n)$ converge vers $f$ au sens de l'espace $\mathbf L^1(\mu)$

De plus on a : $\lim_{n \to \infty}\, \int_{E}{\, f_{n}d\mu}= \int_{E}{\, f}d\mu$

Remarque :

Dans le cas d'une mesure de probabilité la deuxième hypothèse peut être affaiblie en

La suite de fonctions $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge en probabilité vers une fonction mesurable $f$ .

Démonstration

La preuve s'appuie principalement sur le lemme de Fatou. On commence par montrer que f est intégrable. Pour tout ε > 0, $\mu(|f|\geq |\rho|+\varepsilon) \leq \mu(|f-f_n|\geq\varepsilon) \rightarrow 0$ pour $n\rightarrow\infty$ . Donc $\mu(|f|\geq |\rho|+\varepsilon) =0$ pour tout ε. On obtient $\mu(|f|\leq |\rho|)=1$ . Donc f est intégrable.

Pour tout ε > 0, on a

$\int_E |f_n-f|d\mu = \int_E |f_n-f| I_{|f_n-f|>\varepsilon}d\mu + \int_E |f_n-f| I_{|f_n-f|\leq \varepsilon}d\mu \leq 3 \int_E |\rho| I_{|f_n-f|>\varepsilon}d\mu + \varepsilon.$

Soit $A_n = {|f_n-f|>\varepsilon}$ . L'intégrale précédente se décompose en

$\begin{matrix} \int_E |\rho| I_{|f_n-f|>\varepsilon}d\mu & = & \int_E |\rho| I_{|\rho|>u_n} I_{A_n}d\mu + \int_E |\rho| I_{|\rho|\leq u_n} I_{A_n}d\mu\\ & \leq & \int_E |\rho| I_{|\rho|>u_n} d\mu + u_n \mu(A_n), \end{matrix}$

où $u_n = [\mu(A_n)]^{-1/2} \rightarrow +\infty$ pour $n\rightarrow\infty$ .

Par le lemme de Fatou, cette dernière intégrale converge vers 0, ce qui permet de conclure à la convergence vers 0 de

∫	\| f_n − f \| dμ.
E

[modifier] Exemple d'application

Si $f\in L^1(\mathbf{R})$ , sa transformée de Fourier $\widehat{f}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ixy}dx$ est continue La vérification de l'hypothèse de domination est immédiate, puisque $\vert f(x)e^{-ixy}\vert=\vert f(x)\vert$ ; le théorème de convergence dominée permet de voir que $\widehat{f}\,$ est séquentiellement continue, donc continue.