Espace T1
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En topologie et dans d'autres branches des mathématiques, un espace accessible (ou espace T1) est un cas particulier d'espace topologique. Il s'agit d'un exemple d'axiome de séparation.
Sommaire |
[modifier] Définition
Soit E un espace topologique. E est un espace T1 si pour tout couple d'éléments distincts x et y de E, il existe un ouvert contenant x et pas y et un ouvert contenant y et pas x.
[modifier] Propriétés
Soit E un espace topologique. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
- E est un espace T1.
- E est un espace T0 et un espace R0.
- Pour tout x de E, {x} est fermé (tous les singletons de E sont fermés).
- Tout sous-ensemble fini de E est fermé.
- Tout sous-ensemble cofini de E est ouvert.
- L'ultrafiltre principal en x converge seulement vers x.
- Pout tout point x de E et tout sous-ensemble S de E, x est une valeur d'adhérence de S si et seulement si tout voisinage ouvert de x contient un nombre infini de points de S.
[modifier] Exemples
- La topologie cofinie sur un ensemble infini est T1, mais pas T2.
