Discuter:Espace préhilbertien

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Je me suis permise de préciser l'exemple, en ajoutant les conditions d'intégrabilité sur l'intervalle et que ce sont des fonctions réelles (sinon on n'a pas de produit scalaire). Léna 12 mai 2006 à 08:21 (CEST)

Je me suis permis de remodifier parce que si on veut un produit scalaire, il ne faut pas travailler avec des fonctions intégrables stricto sensu, mais faire le quotient par les fonctions nulles presque partout. Comme ça complique les choses, j'ai remplacé par continue sur [a,b] qui est un exemple suffisant. Je pense que c'est à ça que pensait le premier rédacteur (sinon quel intérêt de se mettre sur un segment ?), et ça a l'avantage dedemander le minimum d'analyse Peps 12 mai 2006 à 09:54 (CEST)

On a encore un problème de compatibilité réel / complexe : on ne parle pas vraiment de produit scalaire dans le cas complexe (même si on parle bien d'espace préhilbertien)

Pourtant dans mes cours de spéciale j'ai comme définition "le produit scalaire complexe est une forme sesqui-linéaire à symétrie hermiticienne définie positive". D'accord avec les modifications de Peps.Léna 19 mai 2006 à 13:42 (CEST)

il est effectivement d'usage de parler de produit scalaire, sans préciser réel, avant la 2e année post bac, et produit scalaire, sans préciser complexe ou hermitien, dans les années suivantes. Pour respecter le principe de moindre surprise du lecteur, je suggère
  • utiliser le corps R par défaut dans les articles traitant de produit scalaire (c'est par exemple le choix fait pour l'article sur les déterminants).
  • de faire un article synthétisant la déf et les particularités des produits scalaires hermitiens : notamment plus de polarisation, plus de réciproque à Pythagore, et des fléchages vers les notions d'application ou matrice hermitiennes, unitaires,... Peps 20 mai 2006 à 10:50 (CEST)

Plus de polarisation ? On m'aurait menti ?!! Es-tu sûr de ce que tu avances je suis presque certain d'avoir d'en mon cours une formule du genre x|y = somme de 0 à 3 de H (x+i^k*y) ou quelque chose d'approchant...--Thomas g

tu as raison de protester ! ce que je voulais dire c'est que les formules de polarisation qui servent en réel ne redonnent pas le produit scalaire, mais seulement un morceau (partie réelle). Il existe une formule de polarisation avec combinaisons complexes, en 4 morceaux, qui, elle fonctionne. Bref, c'est pas pareil. Peps 21 mai 2006 à 20:54 (CEST)

Sommaire

[modifier] Refonte de l'article

L'objectif principal des préhilbertiens et de préparer les hilberts. En conséquence, je ne partage pas le point de vue de la discussion précédente :

  • Par défaut, on dispose uniquement d'une semi-norme. En conséquence, il est nécessaire de quotienter, tel est l'objet de l'article à mon sens. J'ajoute donc un exemple illustrant cette nécessité.
  • Une personne s'intéressant aux préhilbertiens se dirige vers l'analyse fonctionnelle. Il est supposé avoir un niveau minimal, maitriser le cas complexe me semble donc un acquis maitrisé. Si tel n'est pas le cas, les articles espace euclidien ou hermitien, voir produit scalaire sont à la disposition du lecteur. Je propose donc de déplacer les remarques sur la subtilité des formes polaires dans le cas complexe vers l'article hermitien (bien pauvre à l'heure actuelle). Dans le cas de l'analyse fonctionnelle, les complexes, c'est tout de même plus simple, je propose donc d'utiliser par défaut le corps K. Le terme produit scalaire est dans ce contexte toujours utilisé pour décrire le cas hermitien (en analyse fonctionnelle). Pour référence, on peut prendre le Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions] ou le Lang Analyse Réelle, qui n'a pas de complexe sur le sujet, ou encore le Aubin Analyse fonctionnelle appliquée (qui cherche à être raz des paquerettes).
  • Les éléments clés d'un préhilbertiens à mon sens (ainsi qu'à celui des auteurs précités) sont : Le bon quotient pour obtenir un produit scalaire au lieu de semi-produit scalaire, l'existence d'une base hilbertienne (avec les bonnes hypothèses), la structure hilbertienne du dual, les bonnes topologies (avec sa topologie faible naturelle et abstraite) et enfin la complétude. Une fois ces éléments traités, il devient possible d'attaquer les Hilbert tranquilement. Jean-Luc W (d) 14 décembre 2007 à 11:09 (CET)

[modifier] désambiguation

complet et dual ont besoin d'une désambiguation Randomblue (d) 14 décembre 2007 à 13:53 (CET)

Pour complet, c'est fait. Pour dual, j'utilise le lien deux fois la première fois, je prend la remarque en compte, la deuxième je ne suis pas sur car je précise ensuite topologique (avec le lien vers dual topologique). Merci pour la remarque. Jean-Luc W (d) 14 décembre 2007 à 15:19 (CET)

[modifier] Quels cas précédents?

Est-ce que le lecteur est supposé connaître ces "cas précédents" dans "L'hypothèse de la dimension finie des cas précédents est volontairement omise." Randomblue (d) 14 décembre 2007 à 17:19 (CET)

A mon humble avis, le lecteur fait ce qu'il veut. Il est néanmoins prévenu que cet article n'est presque pas une redite des articles cités. Il va donc rapidement se coltiner la spécificité de la dimension infinie. S'il souhaite aborder ce sujet, sans un minimum de connaissances préalables il risque d'avoir à suivre de nombreux liens, pour trouver le savoir nécessaire à la compréhension. Jean-Luc W (d) 15 décembre 2007 à 14:00 (CET)

[modifier] problème

Je pense que

(2) \quad \forall y \in C \quad < x - t(x) \, , \, y - t(x) > \; \le \; 0

ne veut pas dire grand chose. :) Randomblue (d) 14 décembre 2007 à 17:33 (CET)

Est-ce plus clair ? Jean-Luc W (d) 15 décembre 2007 à 13:49 (CET)

Beaucoup! :) Randomblue (d) 15 décembre 2007 à 23:17 (CET)

[modifier] Commentaires

  1. L'importance me semble moyenne. Je ne sais pas noter l'avancement selon l'échelle de Wikipédia 1.0.
    Nous sommes d'accord
  2. Il est dommage de parler d'entrée de définition sachant qu'il y a le syntagme espace préhilbertien non séparé. Il vaut mieux dire qu'un espace préhilbertien est un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire. On pourrait d'ailleurs couper la phrase à cet endroit pour poursuivre avec « Cette structure étend ainsi les notions d'espace euclidien et d'espace hermitien à des espaces de dimension quelconque, non nécessairement finie. » Le reste du paragraphe peut alors sauter, ou plutôt être remplacé par la phrase suivante : « Le produit scalaire induit une norme qui fait de l'espace préhilbertien un espace normé donc topologique. »
    Je réfléchis dessus
    Je ne vois pas pourquoi il faudrait dire que « les documents [lesquels ?] traitant de ce sujet s'intéressent essentiellement à une dimension non finie. » Les résultats énoncés dans l'article restent vrais en dimension finie, il ne me semble pas qu'il y ait lieu d'écarter ce cas. Simplement, on ne va pas y parler des propriétés qui ne sont vraies que dans le cas de dimension finie.
  3. Il est curieux de parler d'objectif pour une structure. Soit elle a été introduite dans l'objectif d'étudier [certains] espaces de fonction, auquel cas il faut une référence, soit elle est utilisée principalement dans cette optique.
    Il y en a pourtant bien une. A la fois il est possible de le référencer (ce qui me semble une bonne idée) et d'expliciter brievement le contenu de quelques grands livre sur la question.
    Je ne niais pas que les espaces préhilbertiens aient été introduits dans l'objectif d'étudier les espaces de fonction et je pense bien qu'il y a des références à l'appui de ce fait, mais je voulais dire que ce n'est pas l'objectif de la structure, c'est celui de ceux qui l'ont définie.

Très juste, une relecture m'a été nécessaire pour comprendre la pertinence de cette remarque.

  1. L'expression est maladroite dans ce deuxième alinéa, car la phrase « le produit scalaire n'est plus toujours défini » (au sens de non dégénéré) risque d'être comprise comme « le produit scalaire a un domaine de définition restreint. » Je propose comme reformulation à partir de la deuxième phrase : « La généralisation du produit scalaire hermitien canonique pour deux fonctions (de carré intégrable) est alors définie par l'intégrale du produit de l'une avec la conjuguée de l'autre. Cette forme sesquilinéaire définit bien un produit scalaire pour les espaces de fonctions continues, mais est dégénérée sur des espaces de fonctions plus généraux. Dans ce cas, elle est appelée semi-produit scalaire et l'espace est dit préhilbertien non séparé. L'existence d'un produit scalaire compatible avec une structure d'espace vectoriel topologique est en effet équivalente à la propriété de séparabilité, c'est-à-dire l'existence d'une famille dénombrable et dense de vecteurs. »
    Hum, autant ma formulation est maladroite et la remarque est pertinente, autant je n'adhère pas avec la correction. Attention séparable et séparé sont très différents : séparable indique l'existence d'une famille dénombrable dense, séparé indique que quelque soit deux points distincts il existe deux ouverts d'intersection vide et tel que chacun des ouverts contient un point. De plus il n'y a pas équivalence, il existe des espaces séparables ou séparés qui ne sont pas équivalent à des normes euclidiennes.
    Tu as bien raison de rappeler que ces deux notions ne s'impliquent pas ni dans un sens ni dans un autre. L'insertion de la locution « en effet » est fautive dans ma formulation. Mais déjà dans la formulation actuelle la précision donnée de la séparabilité est mal expliquée.

Je dis juste : l'espace est séparable, c'est à dire qu'il existe une famille de vecteurs dénombrable et dense dans l'espace. Je n'imagine pas beaucoup plus m'expliquer, il existe un article pour cela. En fait je n'ai pas bien compris la remarque, je crois.

  1. Le troisième alinéa mentionne à deux reprises « la théorie » sans que cette théorie soit identifiée pour le lecteur lambda. Je propose donc la reformulation suivante : « De nombreux résultats d'analyse fonctionnelle s'appuient sur une hypothèse supplémentaire : la complétude. Cette hypothèse n'est pas satisfaite par exemple par les espaces de fonctions continues de carré intégrable. Il existe cependant une procédure de complétion permettant d'étendre un espace préhilbertien de manière unique en un espace de Hilbert. »

Bonne remarque La suite bientôt, Ambigraphe, le 14 décembre 2007 à 21:46 (CET)

Merci Ambigraphe Jean-Luc W (d) 15 décembre 2007 à 10:11 (CET) J'ai réagi à tes réponses plus haut et je continue.

  1. Les définitions n'ont pas besoin d'être écrites en italique alors que les titres des articles donnés en lien explicite si.
    Bof, c'est une convention comme une autre. Comment le justifier ?
    Un titre se met en italique ou entre guillemets, c'est une règle typographique.
  2. Il n'est pas besoin de préciser que les vecteurs d'une base hilbertienne sont libres puisque l'hypothèse d'orthonormalité y pourvoit. J'aurais plutôt écrit qu'une base hilbertienne est une famille orthonormée de vecteurs engendrant un sous-espace dense.
    Absolument d'accord.
  3. Le terme de base orthogonale n'est pas utilisé ailleurs dans l'article. On peut simplement l'indiquer comme synonyme en ajoutant la référence (les notes ne sont pas encore renvoyées en fin d'article).
    Ma formulation est maladroite. Je souhaite simplement indiquer au lecteur que s'il tombe dans ce contexte sur l'expression base orthonormale son sens a changé. Dans l'article, et pour éviter toute ambigüité, j'évite de parler de base orthonormale. L'ambigüité n'existe pas dans les livres sur la question car ils sont centrés sur l'analyse fonctionnelle, ils ne prennent donc pas de gant inutile.
  4. Je ne comprends pas en quoi il est important de préciser que les propriétés élémentaires « ne font pas appel au caractère fini de la dimension de l'espace. » En outre, l'obtention d'une norme est fausse en général pour un semi-produit scalaire.
    Les démonstrations sont données dans le contextes des espaces euclidiens et hermitiens dans WP. Je précise donc au lecteur qui souhaite les consulter la raison qui fait qu'elles sont encore valables. L'obtention d'une norme n'est pas vraie dans le cas du semi-produit scalaire est en effet faux, c'est pour cela que je le précise.
    Je crois que je comprends. Ces propriétés sont démontrées dans les articles en dimension finie et tu veux dire que les mêmes démonstrations fonctionnent en dimension infinie. Ça ira mieux en le disant explicitement.
  5. Les phrases du type « tel espace muni de tel produit produit scalaire est un espace préhilbertien » sont un peu curieuses, car si la forme présentée est effectivement un produit scalaire (ce qui n'est pas toujours évident), l'espace est évidemment un préhilbertien. Il vaudrait mieux donc dire : « telle forme confère à tel espace une structure d'espace préhilbertien » ou « tel espace est préhilbertien pour le produit scalaire défini de telle manière ».
    Nous sommes d'accord.
  6. Je n'ai pas compris l'intérêt du fait que le domaine Ω soit un ouvert d'un espace euclidien ou hermitien. Il suffit qu'il soit mesuré.
    Sur un ouvert, la différentiabilité prend un sens plus opérationnel. Voilà pourquoi cet exemple est celui des livres de référence que j'utilise. Le développement de la notion, avec les indispensables exemples pour comprendre de quoi il en retourne serait pauvres dans le cas d'un espace mesurable. Parler d'une edp sur un espace mesurable semble difficile et n'est pas traité dans mes livres de références. Ta remarque est donc juste, mais bien théorique.
    Les livres de référence dont tu parles sont-ils consacrés aux espaces préhilbertiens ou aux espaces de fonctions ? Je ne nie pas l'importance de ces derniers, mais dans le présent article, ils ont valeur d'exemple (majeur). Ça n'empêche pas d'en mettre et de soulever certains problèmes reliés à cette occasion, mais le fait qu'il n'y ait pas d'edp sur un espace mesurable n'a a priori aucun rapport avec l'article sur les espaces préhilbertiens.
  7. Soit on considère qu'un espace préhilbertien est toujours séparé et que le syntagme espace préhilbertien non séparé en est une version affaiblie, soit on considère qu'un espace préhilbertien peut être non séparé mais il faut alors changer les définitions placées plus haut. Dans le premier cas, qui me semble plus raisonnable, il faut modifier le troisième exemple pour écrire que « cette forme sesquilinéaire s'étend en un semi-produit scalaire sur l'espace des fonctions de carré intégrable de Ω dans K. »
    En pratique, que ce passe-t-il ? La même chose pour toutes les références que j'utilise. Le problème initial est donné dans un préhilbertien non séparé. C'est par exemple le très classique espace des fonctions à support compact dans Ω ou encore celui des fonctions de Classe C infini à valeurs réelles pour les différents W (avec pour norme l'intégrale de f.g + f'.g'). L'objectif est de passer à un compact au prix de deux manipulations le quotient puis la complétude, quinze pages plus loin, nous sommes dans un bon Hilbert séparable. La littérature n'est pas fixe sur la question (de savoir si un préhilbertien est séparé ou non). En revanche, tout le monde quotiente et indique alors la phrase clé, sous une forme ou sous une autre : à partir de maintenant préhilbertien signifie espace séparable. Je n'ai donc pas jugé bon de trancher dans WP pour préciser si un préhilbertien était ou non séparé par définition.
    Je ne te demande pas de trancher mais si la littérature n'est pas fixe, il faut que ça soit clair au moment de la définition. Pour l'instant, le paragraphe de définitions donne une version univoque et cette version est démentie par la suite.
  8. Le paragraphe Espace préhilbertien#Semi-norme et norme ne me semble pas à sa place dans cet article et devrait se trouver dans l'article sur les espaces fonctionnels.
    Je ne suis pas vraiment d'accord, toutes les présentations que j'ai vu sur les préhilbertiens un peu sérieuse couvrent cet enjeu. C'est même l'un des deux enjeux du concept avec la complétude. Dans la littérature pré signifie que tu n'as pas encore quotienter et compléter. Cette approche est trop générale, à mon gout, pour mériter une exception sur WP. Comme tu t'en ai rendu compte, je ne prend pas comme référence les livres qui parlent de préhilbertien avant de parler d'espace euclidien ou hermitien et qui n'indiquent que quelques plates vérités sur quelques démonstrations qui n'utilisent pas les bases avant de continuer en dimension finie. On se retrouve alors avec un outil sans aucun caractère opérationnel.

Je reviendrai plus tard lorsque tu jugeras l'article acceptable. Ambigraphe, le 16 décembre 2007 à 15:08 (CET)

[modifier] pas complet

dans l'article figure : "Par exemple l'espace des fonctions continues sur un bornée ou de carré intégrable n'est pas complet.". Ce n'est pas vrai il me semble (dans le premier cas savoir de quoi on parle demande de préciser le borné et le prod scalaire, dans le second cas c'est faux : L2, une fois définie par passage au quotient, est complet), mais je n'ai pas su par quoi la remplacer : qu'as-tu voulu dire ? non séparé ? ou donner un autre exemple ? Peps (d) 15 décembre 2007 à 12:02 (CET)

La phrase est manifestement ambigue, je parle de l'espace des fonctions continues qui n'est pas complet. Comme je n'ai pas précisé si Ω est borné, j'ai un souci, donc j'ajoute de carré intégrable (sans un petit ou, qui serait catastrophique). Un lecteur habitué ajoute illico un ou, pense à l'intégrale de Lebesgue et hop, l'affaire n'a plus de sens. Je propose de remplacer, si tu est d'accord, par l'espace des fonctions continues à support compact. Plus de souci, même le lecteur averti n'est pas dépaysé.

OK, effectivement, j'avais lu ça comme "fonctions (continues sur un bornée) ou (de carré intégrable)". J'ai fait le remplacement Peps (d) 15 décembre 2007 à 14:04 (CET)

Sinon pour le fond, je suis assez d'accord avec l'orientation globale de l'article donnée en intro. Ce n'est pas celle à laquelle je pensais auparavant (voir ci-dessus), mais cette nouvelle proposition d'articulation avec produit scalaire, espace euclidien et espace hermitien est sans doute meilleure. Peps (d) 15 décembre 2007 à 12:06 (CET)

Merci pour ton ouverture d'esprit. Il reste à nettoyer les hermitiens, pour ajouter les remarques qui vont bien. Un article sur les préhilbertiens qui ne prépare pas les hilberts et qui ne traite pas d'analyse fonctionnelle me semblait un non sens absolu. Jean-Luc W (d) 15 décembre 2007 à 12:48 (CET)

[modifier] base hilbertienne et base traditionnelle

"Une définition doit être modifiée pour tenir compte de l'absence d'hypothèses sur la dimension."

Cette présentation ne semble pas judicieuse : de nombreux espaces préhilbertiens ont des bases respectables ; je pense aux polynômes ou aux polynômes trigo, qui forment quand même des exemples non confidentiels. Je ne vois pas la base hilbertienne comme la modification d'une définition, mais comme un concept parallèle à celui de base. La cohabitation existe et il faut la gérer. Indéniable, j'étais pensais aux Banach, j'ai évidemment écrit une belle contre vérité.

Par ailleurs il faudrait introduire la topologie avant de parler de base hilbertienne. Peps (d) 15 décembre 2007 à 14:15 (CET) Oups, voilà un bel oubli, ne pas parler de topologie dans l'intro et dans le reste, une erreur impardonable! Je m'en vais réfléchir sur comment traiter la question habilement.Jean-Luc W (d) 15 décembre 2007 à 15:38 (CET)

Je propose de modifier légèrement l'ordre de présentation

1. Définitions
2. Prop élémentaires
3. les questions d'approximation : bases hilbertiennes et thm de projection (problèmes assez liés)

Peps (d) 15 décembre 2007 à 15:59 (CET) Clair comme l'eau cristalline des sources montagneuses. Jean-Luc W (d) 15 décembre 2007 à 16:49 (CET)