Discuter:Arithmétique modulaire

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J'ai remis la même importance que celle qu'avait l'article maintenant nommé congruence sur les entiers et qui portait à l'époque le nom de arithmétique modulaire.Jean-Luc W 8 septembre 2007 à 11:34 (CEST)

L'importance est modifiée en fonction de la proposition d'Ambigraphe (cf liste proposée d'articles d'importance maximum). Jean-Luc W 18 septembre 2007 à 10:41 (CEST)

Je ne sais pas où tu en es dans ton projet de rédaction de cet article mais ça commence fort à resssembler à un AdQ ! N'hésite pas à le présenter lorsque tu estimeras le moment venu. Sans doute faudra-t-il une relecture par les plus matheux d'entre nous (pas moi Sourire). Félicitation donc pour la rigueur de l'ensemble : des sources, des notes, des liens, des illustrations... De la bel ouvrage --Yelkrokoyade 19 août 2007 à 09:22 (CEST)

Je pense que l'article est maintenant prêt pour une procédure AdQ. Les modifications qui me semblaient indispensables sont maintenant réalisées et la lecture par les spécialistes bien avancée. Il est temps, à mon avis, de proposer l'article aux non spécialistes, qui préciseront le niveau de technicité acceptable pour un article de cette nature. Jean-Luc W 13 septembre 2007 à 11:25 (CEST)
Je veux relire les parties 6 et 7 : je pense que je proposerai d'autres modifs comme je l'ai fait sur es tests de primalité. Sur la structure d'ensemble, je n'ai pas trop de réserve. Donc, je pense que c'est bien de lancer une procédure AdQ pour voir ce que le public des wikipédiens aura à dire. Salle 12 septembre 2007 à 14:58 (CEST)
Comme je l'ai signalé sur la page de discussion de Kirikou : Globalement, l'article est excellent et mériterait largement d'obtenir le label, en comparaison aux articles qui ont déjà obtenu le label AdQ. Cependant, j'ai des réserves quant à l'organisation du plan et des informations. Voyant la réponse de Salle, je me demande si finalement mon opinion n'est pas isolée. Ekto - Plastor 13 septembre 2007 à 15:01 (CEST)
Et bien, détaille les réserves, et on en discutera. Salle 13 septembre 2007 à 15:11 (CEST)
D'accord (ça va prendre un peu de temps) Ekto - Plastor 13 septembre 2007 à 15:41 (CEST)

En réponse à ton message : ADQ, je ne suis pas assez au courant mais je fais confiance à Salle. En tout cas ce genre d'article me semble très utile. Je pense également que la partie 6 est améliorable. Proz 13 septembre 2007 à 22:06 (CEST)

Ah te répondre aussi puisque tu m'as interpelé sur ma page de discussions juste avant que je ne partisse faire un peu de tourisme. Oui tout à fait convaincant, il est vraiment très bien cet article (que je n'ai que survolé évidemment). Bonne continuation. Touriste ✉ 13 septembre 2007 à 22:25 (CEST)

Sommaire

[modifier] Justification de la création de l'article

[modifier] Décalage entre l'article Arithmétique modulaire et sa catégorie

L'article principal de la catégorie, c'est à dire Arithmétique modulaire laisse penser que ce vocable ne couvre qu' un petit sujet traitant simplement la congruence sur les entiers et sa compatibilité avec les deux opérations. Le contenu de la catégorie laisse au contraire penser à un vaste sujet nécessitant des dizaines d'articles pour pouvoir être décrit. Voilà deux logiques différentes et incompatibles. Cet article a pour vocation la suppression de cette incohérence.

L'objectif est un article qui éclaire le contenu de la catégorie sous ses différents aspects, qui selon cette approche, devrait devenir l'article principal de la catégorie.

PS: L'article est maintenant renommé Congruence sur les entiers Jean-Luc W 13 septembre 2007 à 16:36 (CEST)

[modifier] Vers une définition

L'arithmétique modulaire couvre une partie de la théorie algébrique des nombres. Elle contient l'analyse de l'anneau Z/nZ ainsi que ses conséquences directes en théorie des nombres, à savoir essentiellement la résolution de quelques équations diophantiennes et les premières lois de réciprocités. Ce champs couvre essentiellement les recherches arithmétiques de Gauss de 1801 et ses conséquences directes. Selon cette logique, les entiers de Gauss de Dirichlet ou d'Eisenstein font partie de l'arithmétique modulaire, en revanche l'analyse systématique des extensions ou des entiers algébriques entre dans la catégorie de la théorie algébrique des nombres.

Cette définition possède une faiblesse, elle est un peu artificielle. Ce coté artificiel me semble inévitable, à moins de réduire l'arithmétique modulaire à sa portion congrue ou à l'identifier avec la théorie algébrique des nombres. Elle possède en revanche deux forces : elle semble celle utilisée implicitement par les contributeurs de WP et a l'avantage d'être validée par Google.

Google met en évidence au moins une exception notable : les applications du XXe siècle. La majorité des articles sur l'arithmétique modulaire traite des deux grandes applications du siècle dernier, à savoir la cryptologie et l'implémentation des calculs sur un ordinateur. L'article de synthèse dvrait, amha, exposer ces deux grandes applications.

[modifier] Contenu de l'article

Je propose un contenu du type suivant :

Un aspect historique, largement développé, doit présenter les travaux qui sont la raison d'être de l'arithmétique modulaire ainsi que les grands acteurs du sujet. Idéalement ce paragraphe doit permettre de comprendre les objectifs des mathématiciens à l'origine de cette branche des mathématiques et replacer leurs travaux dans son contexte.

Un paragraphe outils doit contenir des liens vers une partie non négligeable des articles de la catégorie non pointé dans la partie historique. Je l'imagine proposer une analyse vulgarisée des mécanismes sous-jacents explicitant suffisamment la nature des outils pour servir d'introduction.

Un paragraphe applications, permettant de comprendre à la fois comment sont utilisés les outils de l'arithmétique modulaire et quel est leur rôle dans les diverses applications. Jean-Luc W 12 août 2007 à 12:53 (CEST)

[modifier] Merci pour ton évaluation

Je pense que le reste à faire contient :

Evaluation du titre : l'arithmétique modulaire est définie différemment dans l'article arithmétique modulaire. Personnellement j'ai mon opinion, mais si elle n'est pas confortée par des membres compétents du projet mathématiques, je ne suis pas à l'aise.
Représentation des groupes et arithmétique pour l'informatique : ces sujets méritent-ils un paragraphe ou sommes nous trop loin du titre de l'article? Mon opinion n'est pas faite pour l'arithmétique au service de l'informatique et j'attend une prise de position de contributeurs plus neutres que moi sur le sujet.
Le rôle de l'Inde : est clairement manquant dans la partie historique, je suis encore en phase d'analyse sur ce sujet.
Les références : pour les sujets connexes. Elles sont dans les articles détaillées (je n'ai pas encore tout vérifié) je n'imagine pas utile de les répéter, mais ma position est-elle la meilleure?

Il sera alors temps de passer aux finitions et de demander des relectures de la part des matheux et des non matheux (la validation est différente dans les deux cas). Merci encore pour ton évaluation Jean-Luc W 19 août 2007 à 14:45 (CEST)

[modifier] Cryptographie

Il me semble que, dans l'état actuel, l'introduction de cette section induit une confusion entre deux choses tout à fait différentes : le fait que la sécurité ne repose pas sur la non divulgation de la méthode de cryptage (Principe de Kerckhoffs vers 1900) et la cryptographie à clef publique (annéees 1970). Il me semble tout à fait faux de dire que les concepteurs d'Enigma méconnaissent le premier : si les allemands ont tenté de garder secret les plans de leurs machines (en vain ceuc des premiers modèles étaient connus des français, anglais, polonais avant guerre), la sécurité reposait aussi et peut-être surtout sur les clefs de cryptage. Il a fallu bien plus que la connaissance des machines pour décrypter les communications allemandes. Par ailleurs, je ne crois pas que les alliés aient exploité quelquechose ayant à voir avec la cryptographie à clef publique (distribution des clefs ?). Si on se concentre sur le sujet : l'irruption de l'arithmétique dans les techniques cryptographiques, je crois qu'il faudrait laisser tomber enigma, et commencer plus tard, années 1960 ou 1970, parler un peu de cryptographie symétrique (Registre à décalage LFSR, comparaison intéressante de ce point de vue entre DES et AES) et bien-sûr la cryptographie à clef publique en donnant quelques mots sur les motivations puis en gros comme actuellement (en complétant).Proz 22 août 2007 à 01:07 (CEST)

Cryptographie et enigma Je crains qu'il y ait du vrai dans les critiques de Proz. Supposer que la prise de conscience de la nécessité de l'application du principe de Kerckhoffs est lié aux déboires d'Enigma est à la fois très difficilement sourcable et probablement inexact. Mon objectif est la présentation de la nécessité de l'application du principe de Kerckhoffs et de l'élégance des solutions que présentent l'arithmétique modulaire. Autant ma solution n'est pas bonne, autant je ne suis pas trop convaincu par la solution préconnisée, elle me semble trop technique. Jean-Luc W 22 août 2007 à 17:27 (CEST)

Le livre de Simon Singh, Histoire des codes secrets (paru en poche), se lit très facilement et permet de se faire une idée assez précise au sujet d'Enigma, mais pourrait aussi donner des pistes pour des approches "moins techniques". Je ne crois pas que la "nécessité de l'application du principe de Kerckhoffs" soit très liée à l'utilisation de l'arithmétique modulaire. Par contre la cryptographie à clefs publiques, oui. Le point de départ pourrait être les problèmes de distribution de clefs (qui posaient d'ailleurs je crois des problèmes pendant la seconde guerre mondiale, voir le livre de Singh que je n'ai pas sous la main). Le premier exemple historique (1976) l'échange de clés Diffie-Hellman (cf. Singh), constitution d'un secret partagé, mériterait peut-être de figurer. Proz 26 août 2007 à 00:55 (CEST)

[modifier] Précisions et prise en compte des remarques

J'ai l'impression que l'objectif de l'utilisation de l'arithmétique modulaire est justement de trouver des solutions de type clé publique, serions nous en désaccord sur ce point ? Jean-Luc W 27 août 2007 à 18:36 (CEST)

Je suis d'accord, et sur le fait que ce soit la bonne façon d'introduire le sujet. Il y a quand même des utilisations en cryptographie symétrique mais moins riches : suites définies par récurrence sur des corps finis pour les LFSR (des genres de suites pseudo-aléatoires pour la cryptographie, d'ailleurs il me semble que les générateurs pseudo-aléatoires usuels utilisent aussi du modulo), c'est ce qu'il y a de plus mathématique, tu trouves un article d'encyclopédie d'Anne Canteaut sur sa page http://www-rocq.inria.fr/codes/Anne.Canteaut . Le dernier standard de cryptographie par bloc, AES, utilise aussi une représentation d'un corps fini à 2^8 éléments, un anneau quotient de l'anneau des polynômes sur ce corps. Il s'agit essentiellement de définir des permutations de façon à pouvoir prouver plus facilement certaines bonnes propriétés. C'est plus superficiel mais intéressant à mentionner en passant.

Tu as clairement raison en indiquant l'existence d'une clé représentant un blocage pour enigma. L'aspect secret de la machine à coder n'est donc pas l'unique sécurité. Cette imprécision doit donc être corrigée. Si le livre de Sing contient un meilleur exemple, alors je partage ton opinion (je vais le lire me faire une opinion). Mais je pense que c'est une bonne chose de faire référence à un sujet déjà traité dans WP, ainsi le lecteur peut approfondir. L'exemple d'enigma n'est pas 100% probant, mais la connaissance de la machine rend le problème infiniment plus facile, le code ne contient alors plus qu'une centaine de milliers (je dois vérifier le chiffre exact) de combinaisons contre des centaines de milliards.

Il n'y a pas eu d'attaque par force brute d'Enigma. Elles utilisent par exemple une redondance dans le protocole (première attaque des polonais), des erreurs de manipulation ou dans le respect des protocoles ensuite, il me semble. Mes connaissances sur enigma sont très minces (quand je vois la somme accumulée sur wikipedia, en particulier la version anglaise, je suis impressionné). Je comprends sur http://en.wikipedia.org/wiki/Enigma_machine § Procedures for using the Enigma, qu'il reste 10^23 possibilités, même les caractéristiques de la machine étant connues. Ca doit être à la limite de ce que l'on est capable aujourd'hui de monter comme attaque force brute (le DES utilisé encore il n'y a pas si longtemps a des clefs de 56 bits). Il y a des calculs qui ont l'air assez précis sur la version allemande de l'article (je lis malheureusement très mal l'allemand).

Non seulement les alliés n'utilisaient pas le principe de Kerckhoffs, mais il n'est appliqué de manière industriel que dans les années 70. Il est donc nécessaire de le préciser dans l'article et d'éviter toute ambigüité. Aurais tu par hasard une référence sur la mise en place des premières solutions à vocation industrielle sur ce sujet ?

Tu voudras bien m'excuser si je me trompe, mais j'ai l'impression que tu confonds principe de Kerckhoffs et cryptographie à clef publique qui sont deux choses distinctes. Le principe de Kerkhoffs, c'est de ne pas faire reposer la sécurité simplement sur le secret des algorithmes (ou mécanismes) utilisés, mais sur l'espace des clefs. Il me semble au contraire qu'il est connu et appliqué dès avant la seconde guerre mondiale. Ce qui est nouveau de ce point de vue depuis une vingtaine d'années et que la recherche universitaire prend peut-être progressivement le pas sur celle des organismes militaires ou gouvernementaux, c'est que l'on pense que les algorithmes sont même plus sûrs s'ils sont publics, car plus étudiés. Tout ça est assez loin de l'usage de l'arithmétique.

La cryptographie à clef publique, tu sais ce que c'est, asymétrie, la clef de chiffrement est publique. Cela évite par exemple le codebook que l'on voit en image dans l'article anglais sur enigma, même §, (peut-être la soudure que tu cherches avec enigma ?). Mais pour des raisons d'efficacité, ça ne remplace pas la cryptographie symétrique qui est toujours utilisée, développée, et bien-sûr plus personne n'envisagerait de faire reposer sa sécurité du chiffrement sur le secret de l'algorithme utilisé (ce serait même considéré comme de l'escroquerie). Sinon c'est son apparition qui date des années 70 (76 diffie-hellman). Pour les premières applications industrielles, désolé, je ne saurais pas dire ce qu'elles sont exactement, ni donner de date, ni de références. je peux chercher. Peut-être Singh (je ne l'ai pas en ce moment). Il y a un gros ouvrage de référence en ligne http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/hac/ , découpé par chapitres, mais je ne sais pas si ça s'y trouve. Proz 28 août 2007 à 11:44 (CEST)

Merci pour tes remarques, je comprend maintenant précisément le sens de tes propos. Tu ne te trompes pas sur ma confusion. Il s'agit maintenant d'écrire un paragraphe introductif simple et précis sans s'éloigner de l'arithmétique modulaire. La tâche n'est pas aisée. Jean-Luc W 28 août 2007 à 13:00 (CEST)

[modifier] Autres remarques

Tu as résolu le problème que je soulevais. J'ai quelques remarques plus de détail, pour certaines je pourrai plus simplement modifier moi même le texte (tu pourras toujours reprendre). Ca me semble un peu arbitraire de dire du principe de Kerckhoffs "Cette approche finira par donner à cette science le rang de branche des mathématiques appliquées", mais comme cela marque de toute façon un moment important pour la cryptographie ...

Autre remarque mineure : tu mets deux références notes 7 et 45 sur des choses qui semblent assez prospectives (d'après la fin du texte cité note 7, je n'y connais rien). Si j'ai bien compris ce dont il s'agit, sur le même sujet on a introduit depuis au moins 20 ans les courbes elliptiques sur un corps fini, et c'est utilisé commercialement aujourd'hui.

Le paragraphe cryptographie : ta présentation ne parle pas de clef que tu as cachée dans la fonction f, et ne fonctionne que pour la cryptographie à clef publique. Ca aiderais d'introduire les deux (clefs privée, publique), ce qui demande d'introduire la clef en argument et un couple de fontions (codage / décodage), Mais peut-être cela fait-il partie des précisions que tu comptes apporter ?

Sinon bravo également pour le travail de recueil de références (c'est bien qu'un article soit aussi une invitation à poursuivre la lecture). J'ai l'impression que ce qui fait l'intérêt et la cohérence de l'article c'est une "coupe" à travers divers sujets, du point de vue des structures d'anneaux quotients sur les entiers et polynômes à coeff. entiers, plutôt que la définition d'un domaine des mathématiques. Proz 3 septembre 2007 à 10:54 (CEST)

[modifier] Réponse du 3 Septembre

Merci Proz,

Comme première remarque, je dirais que tu es le bienvenu pour toutes les modifications que tu juges nécessaire. Cela correspond à la fois à l'esprit de WP et de plus la collaboration m'a toujours semblé plus profitable.

Ca me semble un peu arbitraire de dire du principe de Kerckhoffs "Cette approche finira par donner à cette science le rang de branche des mathématiques appliquées".

Nous sommes d'accord. Mouais, c'est en effet douteux de parler de causalité entre le principe de Kerckhoffs et le passage à la sphère mathématique, c'est insourçable et dans le fond très approximatif. Bien d'autres éléments entrent alors en ligne de compte et choisir celui là est arbitraire.

des choses qui semblent assez prospectives

Accord à 50%. Le mot prospectif pour ces références est délicat. La multiplication des polynômes est plus rapide que celles des entiers (car tu n'as pas de retenues). En conséquence, la recherche pour la cryptanalyse utilise cette approche à tour de bras. L'utilisation des quotients de polynômes pour le calcul rapide est utilisé depuis déjà un certain temps (sans aller jusqu'aux subtilités de la thèse de Plantard). Maintenant, tu as raison, c'est un sujet de recherche actif à la différence de presque tout le reste de l'article, ce qui n'est pas indiqué. Oui les courbes elliptiques sont introduites en cryptographie et en théorie des codes, mais je n'ai pas trouvé de références à l'arithmétique modulaire sur ce sujet.

Ca aiderais d'introduire les deux (clefs privée, publique)

Nous sommes d'accord. Le choix de ne présenter précisément uniquement les codes à clé publiques est parfaitement arbitraire.

l'intérêt et la cohérence de l'article c'est une "coupe" à travers divers sujets

C'est le charme de l'article. Arithmétique modulaire est maintenant associé à 2200 ans de résultats de mathématiques pures, comme le théorème chinois ou le petit théorème de Fermat, devient un sujet mort pour la recherche en maths pures pendant un siècle et réapparait comme un sujet actif pour l'industrie et la recherche en maths appliquées.
Cet article est conçu pour être une introduction à la catégorie, l'objectif est donc d'éclairer par une synthèse les connexions aux différents sujets (surtout ceux déjà bien traités dans WP).
Touriste, HB insiste pour une véritable justification du titre, je ne peux pas leur donner tort. Cependant, comme le sujet est vivant, il n'existe pas de contour précis pour le domaine, selon les auteurs on ajoute la transformée de Fourier (50% du temps de calcul à l'heure actuelle essentiellement pour multiplier des polynômes), les algo de primalités, les polynômes sur les corps finis au gré des besoins.

Merci encore pour tes remarques. Jean-Luc W 3 septembre 2007 à 12:45 (CEST)

[modifier] Remarques du 5 Septembre

En réponse à ton message d'aujourd'hui, j'ai fait quelques modifications. Peut-être les précisions que j'ai introduites dans le paragraphe "Code DES" ne sont-elles pas à leur place (elles parlent plus de crypto. asymétrique que de DES, mais d'un autre côté, il faut bien comparer) ? Mais pour la cohérence de l'article je préfère que tu restes "maître d'oeuvre" pour des modifications plus structurelles.

Le vrai problème me semble plutôt le titre du paragraphe que tes modifications, n'est-il pas plus judicieux de renommer code RSA en cryptographie asymétrique et Code DES et AES en Cryptographie symétrique ? J'ai modifié le style pour une question de cohérence mais suis en parfaite ligne avec tes remarques.

d'accord pour moi.

Pour "Analyse harmonique sur un groupe abélien fini", "corps fini" il me semble que tu mêles la cryptographie à flot (LFSR) et par bloc. Le DES n'utilise pas les LFSR (je pourrai corriger avec un autre exemple, l'algo de chiffrement utilisé pour les téléphones cellulaires, il me semble, sinon plutôt des applications militaires).

Tu as indéniablement raison, pris par les contraintes de cohérence de l'article, j'ai cafouillé. Trouves tu la nouvelle version plus cohérente ?

Il n'est pas toujours clair si les techniques arithmétiques sont utilisées pour analyser les chiffrements, ou pour les construire. Paragraphe "cryptographie", la mise au point du DES c'est faite sur des bases tenues en partie secrètes à l'époque, mais utilisait-on déjà pour l'analyse les transformations de Walsh etc. ? Proz 5 septembre 2007 à 21:34 (CEST)

Je n'ai pas de sources pour affirmer que la logique de Walsh est utilisée pour mettre au point l' architecture DES. A cette époque James Massey avait publié son article sur l'algorithme Belerkamp-Massey 1968. Il est vrai que la généralisation de ce type d'outils date, en théorie des codes de la deuxième partie des années 70, 1977 pour les travaux de Mac Williams par exemple. Les sources que j'ai lu montrent que ces différentes techniques sont utilisées pour mesurer la résistance des chiffres à certaines techniques de cryptanalyse. Par exemple la clé utilisée par un LFSR est optimale au sens de la complexité linéaire si et seulement si le polynôme de rétroaction est primitif (cf crypto page 20). De même, ces techniques permettent d'optimiser la complexité linéaire de la fonction booléenne (cf crypto page 28). Mon interprétation est que ces différents outils offrent une mesure de la résistance à certaines attaques et présentent des théorèmes pour l'optimisation des paramètres.

Petit détail : pour les LFSR uniquement (je ne parle pas des fonctions booléennes de composition), Berlekamp -Massey, polynôme de rétro-action c'est juste de l'algèbre linéaire, du moins ce que je connais). Mais je ne crois pas que cette remarque ait d'incidence sur l'article.

J'ai parfaitement conscience que, par exemple, la cryptanalyse linéaire date de 1993. Mais l'article a pour objectif de décrire l'arithmétique modulaire, je cherche donc à décrire surtout l'aspect mathématiques des outils utilisés sans trop entrer dans les détails applicatifs, pour éviter un article trop long, difficile et finalement un peu indigeste. Trouves tu cette logique défendable ? Jean-Luc W 6 septembre 2007 à 10:53 (CEST)

Tout à fait d'accord avec le principe. Je pensais à la modification mineure que je viens de faire, et ne voulais pas faire à tort. Proz 6 septembre 2007 à 12:30 (CEST)

[modifier] Titre

Sur l'article, mon premier souci est de comprendre les frontières de l'arithmétique modulaire. Bien sûr tout concept n'a pas de frontières précises, mais celui-ci est pour moi extrêmement flou (en fait je ne connaissais pas l'expression avant de voir l'article, elle me semble assez peu usitée - j'aurais imaginé que l'arithmétique modulaire se rattachait aux formes modulaires, pas du tout au "modulo"). Comment justifier par exemple que la théorie de Dirichlet est (ou n'est pas) de l'arithmétique modulaire. J'ai vu que l'article est essentiellement sourcé par des documents historiques originaux, mais ce qui manque pour moi en urgence, c'est une source du plan : par exemple il est clair qu'on dit "arithmétique des polynômes" mais sais-tu citer un livre qui dise "arithmétique modulaire" pour parler des polynômes ? Touriste ✉ 19 août 2007 à 19:23 (CEST)

Par ailleurs je trouve un tel article de synthèse très utile et intéressant, mais pourquoi "arithmétique modulaire" et pas simplement "arithmétique" (d'autant que l'article arithmétique actuel n'est pas terrible) ? Je ne suis pas arithméticien mais il me semble qu'il faut tordre un peu les choses pour faire tout rentrer sous le titre actuel. Proz 22 août 2007 à 01:07 (CEST)
Parce que l'arithmétique est beaucoup plus vaste que ça : voir la discussion de la catégorie:théorie des nombres. Salle 22 août 2007 à 13:43 (CEST)
... Cependant je partage une question qui t'a déjà été faire : sur quel document te bases-tu pour élargir la notion d'arithmétique modulaire à autre chose que les congruences ? Remarque de l'utilisatrice HB
Arithmétique ou arithmétique modulaire?. Les frontières du champs couvert par l'arithmétique modulaire sont absents dans l'article, c'est un tort. En revanche, je ne pense pas avoir fait une erreur dans sa définition. Le terme d'arithmétique modulaire provient des mathématiques appliquées, essentiellement dans le domaine de la cryptographie l'arithmétique pour l'informatique et la théorie des codes. Les techniques décrites dans l'articles sont toutes utilisées par ces domaines, de nombreux textes font référence au vocable d'arithmétique modulaire pour couvrir partiellement ou intégralement ces sujets. Arithmétique est un terme beaucoup plus vaste, décrivant une multitude d'autres techniques, et qui ne sont pas traitées par l'article. Jean-Luc W 22 août 2007 à 17:27 (CEST)

Je me suis permis de redistribuer l'échange : je n'aurai pas dû aborder deux sujets sous le même chapeau. J'aurai dû préciser "en complétant". La partie historique (jusqu'au 19ème siècle) aurait aussi sa place dans un article plus général. Mais d'une part je n'avais pas vu l'article théorie des nombres, d'autre part, les choses sont maintenant bien plus claires avec l'ajout du paragraphe "définition". Proz 26 août 2007 à 00:55 (CEST)

[modifier] chaises musicales pour les titres

ne serait-il pas judicieux de faire de cet article le véritable Arithmétique modulaire, et de transformer l'actuel Arithmétique modulaire en congruence (mathématiques) (et alléger les redites avec Anneau Z/nZ) ? Peps 26 août 2007 à 16:02 (CEST)

Je préfère congruence sur les entiers car la congruence existe aussi sur les polynômes à coefficients dans un corps. Jean-Luc W 6 septembre 2007 à 11:58 (CEST)

[modifier] Dirichlet

Il me semble qu'il y a une constance dans les présentations de Jean-Luc pour dire que le grand apport de Dirichlet, c'est les caractères. Soit, mais dans la preuve que je connais de son théorème de progression arithmétique, un autre élément est important, c'est la fonction L (donc la théorie analytique). Sachant qu'on parle de série de Dirichlet, j'imagine que sa preuve devait déjà reposer sur ça, et il me semble que partant de là, on devrait changer : Dirichlet trouve une démonstration du théorème de la progression arithmétique en développant le concept des caractères. en : Dirichlet trouve une démonstration du théorème de la progression arithmétique en développant le concept des caractères, et en utilisant des outils analytiques. Salle 8 septembre 2007 à 01:08 (CEST)

Merci pour ta relecture Salle, je corrige. En général, j'essaie de faire attention. Dans l'article théorème de la progression arithmétique je parle exactement autant de l'aspect analytique et algébrique, je crois. Dans cet article j'écris aussi Pour finaliser sa démonstration, Dirichlet utilise de nombreuses techniques analytiques, comme les séries entières et l'analyse complexe. Il développe des outils propres comme les séries L de Dirichlet ou des produits eulériens. L'une de ses séries correspond à une célèbre fonction qui prendra le nom de ζ de Riemann. Jean-Luc W 8 septembre 2007 à 11:24 (CEST)

OK, c'était effectivement présent plus loin, mais ça manquait ici.

Indéniable.

Bon, maintenant, on va attaquer les choses qui fâchent : je n'arrive vraiment pas à voir quel parti est pris dans la section outils de l'arithmétique modulaire concernant les connaissances supposées du lecteur, et je n'arrive pas non plus à déterminer ce qu'on souhaite lui dire.

Hum, je ne dirais pas que ces choses fâchent, en revanche elles mettent en évidence une difficulté.

  • Encore pour la partie congruence et les entiers, j'ai l'impression que le fond du message, c'est identifier les restes de la division euclidienne par le modulo considéré + compatibilité avec les opérations. Il me semble qu'on y gagnerait à le dire en quatre lignes, donc à changer complètement cette sous-section.

Ma difficulté est la suivante. Les chinois, les indiens, Fermat ou Euler savaient ce que tu indiques. La révolution modulaire est d'attaquer cette question avec une approche structurelle, le petit théorème de Fermat se démontre alors en trois lignes avec Lagrange au lieu d'une demi page avec Euler. Et il est possible d'aller beaucoup plus loin. Comment expliquer simplement qu'une approche structurelle remplace si puissamment les logiques de transformations algébriques de Fermat et d'Euler ?

  • Sur les polynômes, si on a été bien clairs sur les entiers, je pense que ça ira, sans trop de modif.

Espérons.

  • Le cas des entiers de Gauss est un peu différent : il me semble que dans les premiers cas, quand le modulo est irréductible, on tombe sur un corps ; là sur un anneau euclidien. Je trouve que la différence ne saute pas aux yeux dans le texte. Le polynôme proposé n'est pas le bon ?

Ma difficulté est la suivante, en cryptologie le quotient est en général sur un idéal maximal, pour les codes cycliques ce n'est pas le cas. J'ai tenté une espèce de simplicité en évitant le détail. J'évite une question, qui pourtant est logiquement essentielle.

j'ai refondu les articles théorème de Wilson et démonstrations du petit théorème de Fermat et ajouté des liens pour être plus explicite.Jean-Luc W 10 septembre 2007 à 12:01 (CEST)

  • Pour caractère de Dirichlet, je rendrais peut-être plus compact, mais globalement, ça va.

La compacité n'est généralement pas mon point fort.

En gros, si j'ai l'accord de Jean-Luc pour remanier complètement la première sous-section (éventuellement en proposant une première version au brouillon), les autres devraient aller. Salle 8 septembre 2007 à 12:16 (CEST)

Salle dispose évidemment mon accord plein et entier sur une telle modification. Je propose juste ci-dessous un paragraphe pour expliciter les difficultés auquelles m'ont confronté les différentes lectures des contributeurs. Jean-Luc W 8 septembre 2007 à 12:43 (CEST)

Je propose une version de cette section sur une page de brouillon. Salle 8 septembre 2007 à 23:27 (CEST)

Sans aucun doute, nos qualités sont complémentaires, ta version est clairement mieux. Elle est maintenant intégré dans l'article. Jean-Luc W 9 septembre 2007 à 09:42 (CEST)

[modifier] Difficulté de l'article

Comment définir le domaine d'un ou d'une famille d'outils en mathématiques, particulièrement quand l'histoire passe d'un champ théorique à appliqué ? Prenons quelques exemples :

L'analyse harmonique sur un groupe fini est-il l'unique clé du théorème de la progression arithmétique ? De manière plus générale, quel est le domaine de l'arithmétique modulaire ? On retrouve cette question sous différentes formes.

Certains partent de l'a priori qu'elle ne couvre que l'arithmétique de l'horloge.
Pour d'autres, ce serait plutôt l'arithmétique des formes modulaires.
On voit aussi l'identification de l'arithmétique modulaire avec la théorie algébrique des nombres.
Certains remettent en question l'appartenance du théorème fondamental de l'arithmétique à l'arithmétique modulaire.
Enfin, malgré une analyse de la question, je ne suis pas exempt d'a priori non plus.

Si des lecteurs et lectrices intelligentes partent de ces a priori, que penseront les lecteurs non contributeurs ?

Après analyse des sources, l'arithmétique modulaire est utilisé 1) à 80% pour la théorie de l'information, 2) comme introduction un peu naïve à l'arithmétique dans les ouvrages de vulgarisation et 3) parfois mais rarement dans les livres de mathématiques pour un cours de licence maitrise en théorie algébrique des nombres. L'objectif est de justifier précisément les contours de ce domaine.

On trouve trois idées clé communes à tous les textes :

La logique de structure (groupes et anneau) sous-jacente aux quotient de l'anneau Z avec le cas particulier du corps si p est premier. La structure clé étant généralement le groupe des unités.
La généralisation de la logique aux anneaux euclidiens, en général un quotient d'anneau de polynômes sur un corps fini avec encore le cas particulier de la structure de corps.
L'analyse harmonique sur un groupe abélien fini.

Les limites du champs apparaissent quand :

L'anneau n'est plus euclidien avec la théorie générale des anneaux et celle de Galois.
On passe à la théorie analytique des nombres.
On utilise d'autres outils comme les formes modulaires ou les courbes elliptiques.

C'est pour cela que j'ai choisi l'exemple le théorème de la progression arithmétique. J'ai écrit une vingtaine de pages dans des articles comme le théorème de la progression arithmétique, produit eulérien Série L de Dirichlet ou caractère de Dirichlet pour pouvoir présenter simplement l'apparition de la théorie analytique des nombres. Il illustre magnifiquement une limite du domaine d'application du champs.

Il faudra bien un jour développer la théorie de Kummer pour montrer la limite de la logique modulaire et la nécessaire apparition des anneaux et le rôle de la théorie de Galois en arithmétique qui pour l'instant est absente de WP.

Une idée qui me trotte dans la tête sont les extensions du théorème de la progression arithmétique, pour déterminer la densité des répartitions, il faut développer les idées d'Hadamard et la théorie de Galois, ce qui donne le passionnant Théorème de densité de Chebotarev, une belle illustration de l'ajout de nouvelles idées, hélas un peu complexe.

Sur les applications j'ai insisté sur les trois aspects de l'arithmétique modulaire et non pas uniquement la première, classique mais réductrice. Jean-Luc W 8 septembre 2007 à 13:17 (CEST)

[modifier] Test de primalité

Encore une petite remarque : "test de primalité", ta formulation me semble à nouveau laisser penser qu'il y aurait des nombres non premiers qui résisteraient à tous les tests de Rabin-Miller ou Solovay-Strassen (comme les nombres de Carmichael pour le petit théorème de Fermat). C'est la seule raison pour laquelle je l'avais reprise (au fait, ceci, et plus généralement une partie du contenu de l'article est couverte par le livre de Michel Demazure Cours d'algèbre. Primalité. Divisibilité. Codes. Cassini 1997, qui pourrait être en référence, mais il n'y a pas le terme "arithmétique modulaire" ...). Proz 11 septembre 2007 à 19:16 (CEST)

Oui, la version que je connais du test de Rabin-Miller laisse passer les nombres pseudo-premiers de Rabin-Miller. En pratique et à ma connaissance le test est généralement réalisé pour 6 valeurs. Il existe effectivement des bases de données pour les pseudo-premiers les plus flagrants (par exemple les nombres de Carmichaël) mais la base est très largement incomplète. Il existe deux conséquences :

  • La probabilité de pouvoir casser la clé en un temps plus faible que l'age de l'univers avec les algorithmes actuels est inférieur à 10-l'age de ma grand-mère, mais non nulle[réf. nécessaire].
  • Le déchiffrement est identique pour RSA d'après les propriétés des nombres pseudo-premiers, en effet a(p-1)(q-1) est toujours congru à un.

Voilà pourquoi j'ai retiré le détail de la base de donnée. Elle engendrait une certaine incohérence, d'un coté on indiquait qu'on les retire et de l'autre on parlait de cette faiblesse. T'ai je convaincu ?

Pour tout te dire, quand j'avais lu la première version, j'avais cru comprendre qu'il pouvait y avoir l'équivalent des nombres de Carmichael pour le test de Rabin-Miller (résistant aux tests dans toutes les bases). Ca m'avait conduit à vérifier (je ne vis pas là dedans). Je pense donc que ça pouvait tromper le lecteur (qui a compris ce qu'étaient les nombres de Carmichael et qui connait mal ou a un peu oublié le test de Rabin-Miller). Il est vrai que tu as reformulé d'une façon un peu différente. Je ne suis pas sûr que l'ambiguïté soit levée. Il faut convenir que les conséquences pratiques sont faibles. Proz 11 septembre 2007 à 21:28 (CEST)

Il semble que tu ne soit pas le seul à partager cette opinion sur les tests de primalités. Salle propose une nouvelle version, te semble-t-elle satisfaisante ? Jean-Luc W 13 septembre 2007 à 10:52 (CEST)~

plus précise et claire, très bien pour moi. Proz 13 septembre 2007 à 21:29 (CEST)

[modifier] Le plan

[modifier] Commentaires sur le plan

Le plan me semble un peu confus, et j'ai du mal à m'y retrouver, et au terme de l'article, j'ai vraiment du mal à avoir une idée claire de ce qu'est l'arithmétique modulaire. Quelle est la différence entre la partie Histoire et le reste de l'article ? Dans l'ensemble de l'article, des informations historiques sont données à l'occasion, si bien qu'on ne comprend plus l'utilité d'une partie dédiée à l'histoire des mathématiques. Dans un article aussi général que celui-ci, il ne me semble pas choquant de ne pas mentionner de partie consacrée à l'histoire étant entendu que la présentation des résultats nécessite automatiquement une contextualisation. Introduire une partie Histoire permet de faciliter l'amorce de la rédaction d'un article sur un domaine ; mais à terme ?

Quelle est la différence entre les parties Outils de l'arithmétique modulaire et Développements théoriques ? Je trouve que l'expression développement théorique est un pléonasme en mathématiques. Selon moi, la congruence sur les entiers, la mention des entiers de Gauss et les caractères de Dirichlet feraient partie des développements théoriques. Euh ? Cependant, l'arithmétique modulaire est définie comme un ensemble de méthodes qui sont utilisées en vue d'application, et en ce sens, j'imagine que tout ce qui est présenté dans cet article sert d'outils et peut être considéré comme tel. Les structures quotient, l'application de la théorie de Galois et les méthodes relevant de la théorie analytique des nombres apparaitrait comme des outils. Re-Euh ? Je ne comprends pas la nuance et sauf erreur de ma part (qu'on m'excuse dans ce cas) la différence conceptuelle entre la partie 4 et la partie 5 n'est pas bien expliquée.

On lit dès l'introduction que l'arithmétique modulaire est un ensemble de méthodes permettant la résolution de problèmes sur les nombres entiers. Cette phrase est assez imprécise ; j'imagine que la question de l'infinité de nombres premiers jumaux ne relève pas de l'arithmétique modulaire. Les deux questions qui me viennent immédiatement à l'esprit : quels sont les problèmes concernés par l'arithmétique modulaire ? Et quelles sont les méthodes relevant de l'arithmétique modulaire ? Le premier regret que j'ai est de constater que ces informations sont diluées dans le texte et réparties entre plusieurs parties. Ne serait-il pas souhaitable de disposer de deux parties permettant chacune de répondre à ces questions ?

Je regarde les parties 6 et 7. La partie 6 présente la cryptographie et renvoie à l'"article détaillé" Cryptographie. Cependant, il y a plus d'informations dans cet article que dans l'article détaillé. (Mais évidemment, ce n'est pas là une critique de cet article.) Le lien entre cryptographie, codes correcteurs, et arithmétique modulaire ne me semble pas à la lecture évident. Je ne vois pas non plus le lien entre les parties 6 et 7 et les parties précédentes : à la lecture, ces parties ne me semblent pas faire une mention explicite de l'arihtmétique modulaire.

Enfin, les parties usages et apparition de la locution arithmétique modulaire ne sont-elles pas redondantes ? Ne serait-il pas souhaitable de les réunir en une partie commune ?

Ekto - Plastor 13 septembre 2007 à 16:46 (CEST) En me relisant, je me rends compte que toutes les remarques que j'ai formulées sont des critiques négatives ; désolé, mais il me semblait inutile de faire des critiques positives.

Je réponds à certains points tout de suite, je demande un peu de temps pour que les modifs que je t'accorde soient effectives.
  • pour la partie histoire, tu as raison sur l'analyse que les éléments historiques sont à la fois dans la section histoire et disséminés. Il faut un relecture soignée pour éviter qu'il y ait de vrais doublons ; cela dit, je crois que le principe général est bon pour un article de cette nature qui se veut très généraliste : mettre une partie histoire permet d'essayer d'accrocher un public un peu réfractaire aux maths pendant au moins quelques lignes ; et avoir le reste du texte avec quelques remarques historiques le rend moins sec pour ce même public.

Nous sommes d'accord. Pour être précis, les éléments historiques disséminés ne doivent pas couvrir le corpus de l'arithmétique modulaire au sens strict mais uniquement les développements soit théoriques soit applicatifs.

  • Le principe est le suivant : une partie concerne l'arithmétique modulaire stricto sensu, l'autre ce qu'il y a après qui utilise des outils analogues, mais qui n'est plus qualifié d'arithmétique modulaire. Voir la discussion avec Touriste pour savoir si c'est justifié. Si les titres choisis ne sont pas clairs on peut essayer de les changer (j'y réfléchirai, mais plus tard).

Cela semble une faiblesse de la rédaction actuelle. Elle semble ouvrir une ambiguité : la théorie de Galois serait donc de l'arithmétique modulaire ?. J'ai précisé ma pensée qui semble celle des différents intervenants dans Réponse de JL. Elle ne semble pas clairement apparaitre à la lecture de l'article. J'attend la réponse de Touriste, qui me semble à l'heure actuelle trop drastique, mais il faut trouver une solution qui ne se limite peut-être pas uniquement aux titres de paragraphe.

  • « ensemble de méthodes permettant la résolution de problèmes sur les nombres entiers », bah oui c'est un peu imprécis, mais le reste de l'article va aller plus loin. En revanche, ton objection sur les nombres premiers jumeaux ne tient pas, il n'y a pas écrit : « ensemble des méthodes permettant la résolution de tous les problèmes sur les nombres entiers » .

J'ai repris la définition de l'arithmétique transcendante de Gauss dans son introduction, elle possède l'avantage d'être simple, au détriment de la précision. La précision vient plus tard, pour permettre une compréhension graduelle.

  • Crypto et codes : je ne l'ai pas encore lu sérieusement, plus tard.
  • Usages et apparition de la locution. A première vue, je suis d'accord avec toi. Plus précisément, il me semble qu'en fait une grande partie de ce qu'il y a dans Apparition de la locution devrait figurer dans la partie histoire, et ce qui concerne vraiment apparition de la locution pourrait être mis dans usage. Je te propose de laisser Jean-Luc me répondre sur ce dernier point. Salle 14 septembre 2007 à 11:19 (CEST)

J'ai longuement hésité sur le statut de ce paragraphe. La décision de couper en deux la définition précise du terme provient des remarques des différents interlocuteurs. Il existe à priori une confusion importante sur le terme arithmétique modulaire. Pour éviter un début de lecture difficile à cause d'un quiproquo, je me suis dit que le mieux est de définir dès le début en des termes le moins complexe possible, pour permettre à un maximum de lecteurs une première compréhension. Après avoir développé les premières idées dans la partie historique, il me semble alors bon d'être précis. Je reste convaincu de la pertinence de cette division pour garder une lecture aisée.

Il est évidemment possible de regrouper le paragraphe Apparition de la locution dans la partie historique. Ce choix mélange dans la partie historique le développement des concepts stricto sensus de l'arithmétique modulaire avec les applications, et rend moins cohérent la division historique décrite précédemment. Mais, est-ce le bon argument et surtout le bon choix ? Jean-Luc W 14 septembre 2007 à 11:59 (CEST)

[modifier] Imbrication des articles d'arithmétique

Je reste un peu perplexe, en le regardant de plus près, sur l'adéquation titre/contenu. Notamment en allant consulter pour voir ce qu'on y a mis les articles Arithmétique (indigent) et Théorie des nombres (surtout historique). J'ai l'impression en lisant Arithmétique modulaire de tomber sur un fort bon article d'introduction à la théorie des nombres, qui fait volontairement l'impasse sur certaines directions qui en tout état de cause n'apparaissent pas naturellement dans des cours d'initiation (théorie analytique, théorie combinatoire). Donc on pourrait presque dire un article Théorie algébrique des nombres (ouille il existe aussi, encore une quasi-ébauche). qui choisirait de fournir un bon exposé d'introduction plutôt qu'un survol total (à supposer que ce soit possible...). Ce qui est délicat dans l'article actuel, c'est le glissement qu'est la partie 5 ; si je suis raisonnablement convaincu que la partie 4 est bien de l'arithmétique modulaire, la partie 5 c'est souvent un glissement vers "description sommaire des chapitres suivants à paraître de ce cours" mais est-ce bien dans le sujet ? Certes savoir parler de modulo entraîne qu'on comprenne les structures-quotients, donc les idéaux, or il y a des idéaux dans le Nullstellensatz, mais le mot "Nullstellensatz" n'est-il pas à la fin hors sujet dans l'article ? Certes les extensions qu'étudiera la théorie de Galois peuvent être décrites comme des anneaux-quotients, mais cela légitime-t-il pour autant de mettre le mot « Théorie de Galois » dans un article limité à l'arithmétique modulaire ?

Si je reprends tout ça, je me dis que finalement le 5) -qui est intéressant- aurait plus sa place détaché d'ici pour aller se recoller dans Théorie algébrique des nombres qui se retrouverait une ébauche où se glisse une section de qualité isolée, c'est sûr que c'est pas très beau... et ça ampute ton potentiel article de qualité. Mais n'est-ce pas quand même plus honnête ?

Deuxième problème, où je n'ai pas d'idées très claires (je cherche mentalement des exemples et bof bof) : ne faudrait-il pas compenser cette restriction de l'étendue des notions admises dans l'article par une énumération plus longue de résultats (avec renvoi à sous-pages en tant que de besoin, en les regroupant en tant que de besoin) qui tournent autour de la notion d'"anneau euclidien" (si je comprends bien - mieux après avoir tapé ce commentaire, "arithmétique modulaire" voudrait dire "arithmétique tant que tous les anneaux où on travaille sont euclidiens" ?). Mmouais mmouais guère de pistes à suggérer, mais c'est pas possible qu'il n'y ait que les choses que nous savons déjà sur le sujet, qu'il n'y ait pas des pépites dans les bibliothèques.

Voilà, c'étaient quelques réflexions puisque la relecture de l'article est d'actualité. Touriste ✉ 13 septembre 2007 à 23:54 (CEST)

[modifier] Réponse de JL

Oh, mon bon maitre,

Oserais-je rappeler à tes augustes oreilles une critique que tu fis jadis, sur polynôme cyclotomique. En terme métaphorique, il te rappelait le supplice du pal. C'est à dire qu'il commençait fort bien pour terminer douloureusement. Hélas, je ne peux que m'inscrire en juste sur une telle critique. Wikipédia est encore trop faible pour permettre un article complet.

Un bon article de théorie algébrique des nombres commencerait, à mon humble avis, essentiellement par les nombres algébriques pour continuer sur la théorie de Galois les courbes elliptiques et autres formes modulaires. En bref, la théorie algébrique des nombres commence là où Gauss et l'arithmétique modulaire s'arrète. Hélas, Wikipédia est encore trop parcellaire pour supporter une telle synthèse.

Un jour, que je n'imagine pas si lointain, les théories algébrique et analytique des nombres seront suffisamment développées sur WP pour supporter des articles de synthèses solides. Ce n'est pour l'instant pas le cas et donc pas mon objectif. Néanmoins, les outils de l'arithmétique modulaire irriguent ces deux théories. Peut-on légitimement laisser sous silence cet aspect des choses ? C'est dans cet objectif qu'est écrit la partie 5. L'imbrication imposera la transformation d'un petit paragraphe de 12 lignes en un bel article d'une quinzaine de pages, comme c'est le cas par exemple pour la théorie de Galois. Je ne comprend pas pourquoi des développements si vastes et importants de l'arithmétique modulaire devraient rester sous silence. Ton argument (pardonnes moi, grand maitre si je déforme ta pensée) réside sur le fait que les articles associés ne sont pas assez développés. Soit j'ai mal compris (très probablement) soit je ne suis pas totalement convaincu. Dans ma pensée, le 5 couvre les différents développements de mathématiques pures utilisant l'arithmétique modulaire (mais sans être de l'arithmétique modulaire). On y trouve la technique du quotient en algèbre générale, la théorie de Galois dépassant largement la théorie algébrique des nombres, la théorie algébrique des nombres et la théorie analytique des nombres. Tout mettre dans la théorie algébrique des nombres ne représente-t-il pas un léger contre sens ? Mais je ne crains pas l'amputation, si un tel paragraphe n'est pas justifié, alors tu as raison.

PS: Si d'aventure il s'avérait nécessaire d'enrichir par une énumération plus longue de résultats le premier candidat serait à mon gout les résidus quadratiques avec les travaux de Lagrange et Legendre, utilisés pour les algorithmes de décompositions en facteurs premiers, les moins mauvais à l'heure actuelle. Jean-Luc W 14 septembre 2007 à 12:00 (CEST)

Dans mon esprit, et peut-être n'ai-je pas été clair, le 5 ne couvre pas l'arithmétique modulaire mais les diverses utilisations dans d'autres théories. Ainsi, je n'ai jamais vu la théorie de Galois être qualifiée de modulaire, même si elle utilise des modulo de polynômes. Si l'article laisse planer une ambigüité, elle est à corriger. Si nous parvenons à la conclusion que le développement du 5 est maladroit ou dangereux et qu'il faille l'ôter, je ne suis pas sur de la nécessité d'un remplissage. Ce n'est pas qu'il est difficile, une centaine d'articles sont là pour nous aider à une telle tâche, mais serais-ce raisonnable? Jean-Luc W 14 septembre 2007 à 10:09 (CEST)

[modifier] Histoire

[modifier] Histoire et théorie des nombres

Bonjour Claudeh5 Je contribue à un article de synthèse arithmétique modulaire. Il comporte un paragraphe Histoire. Aurais tu la gentillesse de le relire ? Tu sembles un des meilleurs connaisseurs de l'histoire des mathématiques sur WP. Merci Jean-Luc W 7 septembre 2007 à 12:12 (CEST)

Merci pour ta relecture. Jean-Luc W 15 septembre 2007 à 21:54 (CEST)
Bonjour,

J'ai lu avec grande attention l'article et je ne vois rien à redire. L'article est absolument remarquable. Peut-être pourrait-on insister un peu plus sur le rôle des arabes en tant que conservateurs des textes antiques et collectionneurs de manuscripts. Ce rôle est essentiel dans l'histoire des mathématiques. Peut-être pourrait-on parler aussi des notations qui jouent leur rôle dans la découverte de nouvelles propriétés. Quant à dire que je suis "l'un des meilleurs connaisseurs de l'histoire des mathématiques sur WP", j'en doute ... Mais j'apprends tous les jours ! Claudeh5 15 septembre 2007 à 22:02 (CEST)

[modifier] Mathématiques arabes : une piste supplémentaire ?

Dans l’âge d’or des sciences arabes, à propos des développements importants de la géométrie arabe, il est écrit :

« […] une seconde extension a été favorisée par la reformulation de la notion de rapport du livre V des Eléments. L’une des contributions les plus originales dans ce domaine a été réalisée par ‘Umar al-Khayyâm (m 1131) »

Peut-être est-ce hors sujet mais ça ne coûte rien Sourire --Yelkrokoyade 16 septembre 2007 à 20:20 (CEST)

[modifier] Crypto

J'ai l'impression, à la lecture, que le paragraphe crypto symétrique est assez éloigné du sujet. Faut-il le garder ? Salle 20 septembre 2007 à 09:32 (CEST)

Voilà une bonne question ! Elle fut introduite suite aux remarques de Proz sur la crypto. Je propose de résumer les arguments et de demander l'opinion de Proz.

J'avais vu que vous aviez eu une discussion là-dessus, mais j'ai eu la flemme d'essayer d'en démêler la nature. Plus précisément, voilà ce que j'ai envie de répondre à tes deux arguments pour : 1) c'est vrai, que puisqu'on parle de RSA, c'est bien de mentionner au moins ces deux aspects. Mais si le rapport avec arithmétique modulaire n'est pas clair, on peut le mentionner en une ligne, avec le bon lien, et ça suffit. 2) la crypto symétrique permet d'illustrer d'autres parties de l'article : tel que c'est rédigé, cela ne me semble pas apparaître. Par ailleurs, j'ai du mal à comprendre les deux principes de Shannon (en fait, je ne les comprends pas). Et je suis d'accord pour attendre l'avis de Proz, bien sûr. Salle 20 septembre 2007 à 10:22 (CEST)

La question que tu soulèves n'est pas simple. Au moins si la relation entre les méthodes et la crypto symétrique n'est pas limpide, cela demande une amélioration. La confusion consiste à modifier les lettres, l'exemple le plus simple est le code de César. En décalant chaque lettre de ton pseudo, Salle devient TBMMF. La diffusion consiste à modifier l'ordre des lettres. Ainsi, si les lettres sont prise une fois sur deux, ton pseudo devient SLEAL, l'exemple le plus simple est dénommé Scytale. Jean-Luc W 20 septembre 2007 à 10:37 (CEST)

[modifier] Arguments pour

  • La crypto comporte deux grandes parties symétrique et asymétrique, il est donc nécessaire d'introduire les deux aspects.

[modifier] Arguments contre

  • L'article concerne l'arithmétique modulaire, il est inutile de présenter de manière exhaustive la cryptographie.
  • Il existe d'autres exemples, comme les codes correcteurs, pour présenter les deux outils.
  • L'article est un peu long, le raccourcir permet un meilleur équilibre entre les parties. Jean-Luc W 20 septembre 2007 à 09:59 (CEST)

Je crois qu'il faut quand même mentionner la crypto symétrique, parce que, même si l'apport de l'arithmétique est plus superficiel, c'est quand même utile (voir aussi en plus de ce que mentionne Jean-Luc W dans en:Advanced Encryption Standard, les explications des procédures SubBytes, et MixColumns), et que de plus ça donne une image fausse de la réalité des applications de la crypto. de parler juste de crypto asymétrique. Je pense qu'il faut reformuler un peu l'introduction, pour faire apparaître la clef et montrer la différence sym./asym. (retour d'une ancienne suggestion qui n'emballait pas Jean-Luc, mais je pense que ça peut se faire plus précisément en restant "léger"), redistribuer un peu entre l'intro et les 2 § suivants, reformuler, et alléger éventuellement, le § sur la crypto. symétrique. Je peux proposer quelquechose en brouillon (pas ce soir). Proz 21 septembre 2007 à 01:12 (CEST)

Ma position est la suivante. Il me semble que la cryptologie doit être abordé uniquement pour éclairer l'arithmétique modulaire, il s'agit donc d'être léger. L'objectif est de continuer à viser un vaste public. Enfin, la concision doit rester une contrainte majeure. Mon absence d'emballement n'était que la crainte d'une complexité dangereuse ou d'un allongement néfaste. Je reconnais bien volontiers que les initiatives de Proz ont toujours dirigé l'article dans le bon sens. Je suis donc très preneur. Merci Proz. Jean-Luc W 22 septembre 2007 à 18:29 (CEST)

Oui, c'est bien ce que j'avais compris (je parle de ta position). Je propose ceci Discussion Utilisateur:Proz/brouillon. J'ai

  • introduit les clefs dans la description du chiffrement (pour pouvoir faire la différence plus facilement entre chiffrement sym. et asym.), laissé tomber l'injectivité (ça devenait moins facile à dire, j'ai espéré que ça allait de soi)
  • déplacé dans le paragraphe d'introduction ce qui n'était pas spécifique au chiffrement symétrique.
  • Le paragraphe sur le chiffrement asymétrique n'a presque pas changé (juste la première phrase pour tenir compte du changement)
  • Réécrit le paragraphe sur le chiffrement symétrique en essayant de focaliser sur l'AES, et le rapport à l'arithmétique. J'ai donc laissé tomber les principes de Shannon, mais on peut très bien les remettre. Idem pour la longueur des clefs du DES.

Je n'ai pas mesuré, mais je crains de n'avoir pas été plus concis. Il n'est pas facile de savoir où s'arrêter. Il s'agit juste d'une proposition. Ça me gênerait moins de supprimer le paragraphe sur la crypto symétrique dans ma version que dans la version actuelle. Proz 23 septembre 2007 à 18:12 (CEST)

Voilà, je l'ai intégralement intégré. Sans conteste, il représente une amélioration par rapport à ma prose. Je pense que nous pêchons encore par manque de concision. J'attend les remarques de Salle avant de proposer quelques raccourcis, si j'y arrive. Bravo Jean-Luc W 23 septembre 2007 à 19:00 (CEST)

[modifier] Deux remarques mineures

1. Paragraphe 2 :Al-Hajjaj traduit à la même époque les Éléments d'Euclide[26] ; son collègue al-Khuwārizmī (env 783 - env 850) écrit un livre sur la numération indienne : était-ce vraiment son collègue (sous-entendu ils travaillaient ensemble) ou bien sagit-il d'un abus de language, d'une forme un peu triviale ? Il faudrait peut-être mettre un synonyme type contemporain

Ils travaillent tout deux dans le même bâtiment, la maison de la sagesse, le CNRS de l'époque. Le terme de collègue ne me semble pas abusif. T'ai-je convaincu ?

Oui et ça va mieux en le disant. --Yelkrokoyade 21 septembre 2007 à 06:13 (CEST)
2. Dans la biblio, pourquoi certains N°ISBN n'apparaissent-ils pas sous forme de liens bleus ? --Yelkrokoyade 20 septembre 2007 à 19:45 (CEST)

Certains ISBN ont une longueur de 10 d'autres de 13, ce qui explique la modification des couleurs. Jean-Luc W 20 septembre 2007 à 20:10 (CEST)

[modifier] Lumière sur...

Si vous souhaitez mettre l'article en valeur en page d'accueil, il faudrait se positionner car il n'y a pas de place avant janvier 2008. Il me semble néanmoins que Racine carrée de deux a déjà été présenté et qu'il figure encore le 11 octobre 2007 : peut-être peut-on le remplacer par arithmétique modulaire ? Reste à rédiger un résumé qui donne envie de lire l'article. --Yelkrokoyade 23 septembre 2007 à 20:50 (CEST)

[modifier] Une relecture externe par un spécialiste

 Un émissaire a contacté Paul Zimmermann, ce dernier étant un spécialiste du sujet. Après relecture de l'article, cela a abouti à cette version.
Contacter yugiz (d · c · b) pour plus d'information.

« tout d'abord je dois dire que je suis très impressionné par cet article. J'ai mis une heure à le lire, j'imagine qu'il a fallu plusieurs jours voire des semaines pour l'écrire ! Mises à part de petites incohérences signalées ci-dessous, la qualité du texte est bonne, voire très bonne pour un texte de vulgarisation. Tout d'abord merci du temps que vous avez la gentillesse d'accorder à Wikipédia. Ce texte correspond de fait à des semaines d'écriture et déjà de nombreuses et pertinentes relectures.

Ensuite une question naïve : comment se fait la synchronisation entre les différentes versions (langues) de wikipedia ? Sont-elles toutes indépendantes ? Oui, les versions dans les différentes langues sont indépendantes. Le savoir reste encore à bien des égards empreint par la culture locale. La vision anglaise de l'article ne me semble par exemple pas satisfaisante. Voici quelques commentaires :

  • je suis totalement incompétent sur les aspects historiques
  • "Cette branche est maintenant surtout considérée comme des mathématiques

appliquées." -> le terme "math. app." est (au moins dans mon domaine) considéré plutôt comme la branche des mathématiques traitant de données inexactes (nombre flottants) : analyse numérique, ... Je ne suis donc pas certain que cette phrase soit pertinente. (idem plus loin et dans le paragraphe sur la cryptologie)

Indéniable, si un spécialiste ne se reconnait pas dans ce vocable, il ne peut être pertinent. L'objectif était d'indiquer que les mathématiques associées ne sont pas celles d'un Wiles et que le champs de l'étude théorique de l'arithmétique n'utilise pratiquement pas le terme d'arithmétique modulaire. Quel terme serait le plus pertinent ?

  • les modulo -> les moduli ? Fait
  • de tout les temps -> tous ? Fait
  • nombres amiables -> nombres amicaux Fait
  • il y a une césure malencontreuse entre 65 et 537 Fait
  • Gauss et dáutres mathématicien*s* Fait
  • mais ne parvient pas -> ne parviennent pas Fait
  • au cours de temps -> au cours du temps Fait
  • des modulo de Gauss -> moduli (idem plus loin et dans tout l'article) Fait
  • apparait -> apparaît Fait
  • il existe des diviseurs de zéro, ce sont des nombres qui... -> des nombres non nuls (modulo n) fait
  • Le nombre d'éléments inversibles est en général donné par la fonction indicatrice d'Euler -> pourquoi "en général" ? Fait
  • caractère de Dirichlet : je ne suis pas compétent là dessus (idem théorie de Galois, entier algébrique, théorie analytique des nombres)
  • pour certaines valeur*s* Fait
  • La recherche de la position des racines, initié*e* Fait
  • confidentialité et authentification ne sont que 2 problématiques (il est vrai majeures) de la cryptographie. On peut citer la non-répudiation, ou des protocoles plus complexe comme le vote électronique. Corrigé
  • crypotographe -> cryptographie Fait
  • en cryptographie asymétrique, une clé différente s'avère nécessaire pour chaque couple d'intervenants, alors qu'en cryptographie symétrique chaque correspondant dispose d'une clef qu'il garde secrète, et d'une clef qu'il rend publique -> c'est le contraire !!! Oups fait
  • plus rapide*s*
  • relai*s*
  • le paragraphe Cryptographie asymétrique peut faire penser que RSA est le seul procédé de crypto asymétrique. Il serait bon d'en citer d'autres pour information (El Gamal, courbes elliptiques, ...)
  • dans le paragraphe précédent, c'est Alice qui envoie un message à Bob, alors qu'ici c'est Alice qui reçoit... Cela peut induire le lecteur en erreur.
  • Elle doit calculer le logarithme discret de f(m) -> non, ici le problème est de calculer la racine e-ieme de c, où c = m^e, et e est connu. Le logarithme discret correspond au cas où m est connu, et e inconnu.
  • Si n est grand, il néxiste pas, en 2007, d'algorithme efficace pour résoudre cette question. -> tout dépend ce qu'on appelle "grand"... Est-ce qu'un nombre de 50 chiffres est grand ? Il vaut mieux indiquer le record actuel, soit 200 chiffres (http://www.loria.fr/~zimmerma/records/rsa200)
  • décryptage -> déchiffrement Fait'
  • cryptograpie -> cryptographie fait
  • donnt -> dont fait
  • n'existerait pas sans les méthodes issues de l'arithmétique modulaire, ce qui, pour des raisons historiques évidentes, n'est pas le cas de la cryptographie symétrique -> à nuancer, en effet les nouveaux systèmes symétriques comme AES reposent de plus en plus sur des structures mathématiques comme les corps finis Reformulé
  • du paragraphe précédent -> 2 paragraphes plus haut
  • La majorité des tests de líndustrie se fondent -> fonde
  • Un concours appelé, compétition de factorisation RSA est en permanence ouvert -> il est fermé maintenant...
  • la formule donnant R[X] est fausse : R[X] a degré n (il faut tenir compte du terme en u_j). La formule R[X] = 1 + c_1 X + ... + c_n X^n doit être correcte, du fait que + et - sont identiques sur F2, et qu'on peut considérer soit R[X] soit son polynôme réciproque. Fait
  • Analyse harmonique sur un groupe abélien fini -> je suis incompétent
  • La complexité totale est alors en n log(n) -> il faudrait ajouter un facteur log(log(n)) pour être rigoureux, au mieux avec le nouvel algorithme de Furer. Ceci dit 10^308 soit 1024 bits ne fait que 16 mots-machine sur une machine actuelle (64 bits par mot), et la méthode naïve, quoique quadratique, reste très compétitive pour cette plage.
  • Un mot du code est composée -> composé
  • sont largement présent*s*
  • renouvèlement -> renouvellement
  • concernant les références, plusieurs notes et références pourraient être remplacées par le chapitre 14 du "Handbook of Applied Cryptography" qui est disponible pour tous (http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/hac/about/chap14.pdf)

Cordialement, Paul Zimmermann »

Ensuite (parce que ca ne s'arrête pas là Mort de rire), il a fait transmettre à des collègues (je suppose), pour les aspects dont il se considère comme non compétent. Un d'eux répond ceci: commentaire de Yugiz

« Je regarderai ces aspects dans l'avion demain. Marion, tu peux regarder aussi les aspects analyse harmonique sur un groupe abelien fini (pourquoi faire abelien :-) ou fini :-) ?). Paul a raison, c'est un travail impressionnant. Bien a vous, Guillaume »

Comme l'ont supposé ces gentils relecteurs, leurs remarques sont et seront traités avec attention et diligence. Le contributeur pour l'instant principal de l'article Jean-Luc W (d) 5 décembre 2007 à 13:08 (CET)

[modifier] corps finis

Outre le problème signalé par Paul Zimmermann sur les suites récurrentes linéaires (R[X]), il y avait un autre petit problème qui est que la clé du LFSR est plus souvent l'initialisation que la suite des coefficients (polynôme de retro-action), qui doit être bien choisie, et est souvent fixée en hardware, comme dans l'exemple invoqué (A5/1, j'ai précisé). Je me suis permis de reprendre le paragraphe dans ce sens, en ajoutant une référence. J'ai pris la formule la plus simple à écrire pour le polynôme de retro-action R[X], qui est celle de la référence (Anne Canteaut), je crois bien que l'on trouve parfois sous le même nom le polynôme réciproque (polynôme caractéristique). Proz (d) 5 décembre 2007 à 23:45 (CET)

[modifier] désambiguation

polynôme minimal a besoin d'une désambiguation. De plus, élément primitif renvoie à groupe cyclique, est-ce correct? Randomblue (d) 13 décembre 2007 à 20:22 (CET)

la bonne information est dans le premier article, mais le titre n'est pas adéquat (peut-être qu'un article suffirait d'ailleurs, je laisserais le lien tel quel pour le moment). Pour élément primitif : c'est bien générateur d'un groupe cyclique. Proz (d) 14 décembre 2007 à 00:50 (CET)

[modifier] problème

Il y a un problème (grammatical ou autre) dans la phrase : "Il en existe φ(n), le produit de deux caractères est encore un caractère, et leur table de multiplication est exactement la même que celle du groupe des unités étudié." Randomblue (d) 13 décembre 2007 à 20:40 (CET)

[modifier] phrase trop complexe

A simplifier : "L'autre, celle des chiffrements par bloc, comprend entre autres le DES et son successeur, le standard de chiffrement avancé appelée AES pour Advanced Encryption Standard."

D'ailleurs, n'y a-t-il pas une faute à "appelée" ? Randomblue (d) 13 décembre 2007 à 21:22 (CET)

corrigé. Proz (d) 14 décembre 2007 à 00:38 (CET)

[modifier] petit problème grammatical

"Il est à noter que l'ensemble d'arrivée choisi n'est pas toujours celui les complexes mais parfois le corps F2." Randomblue (d) 13 décembre 2007 à 21:32 (CET)

typo (des/les) corrigée. Proz (d) 14 décembre 2007 à 00:56 (CET)

[modifier] ai-je mal compris?

Dans la phrase "Ainsi, si la clé est composée de 128 bits, il suffit d'un multiple de 128 x 128 = 16 384 étapes pour le décrypter, ce qui représente une sécurité insuffisante." Je pense qu'il y a un problème. En effet, 10^100*16 384 est un multiple de 16 384 mais c'est beaucoup d'étapes. Randomblue (d) 13 décembre 2007 à 21:36 (CET)

Il faudrait donner une idée de la constante, mais celle-ci est raisonnable, correction faite, mais quelqu'un pourra peut-être faire mieux. Proz (d) 14 décembre 2007 à 01:21 (CET)

[modifier] une meilleure formulation possible

pour la phrase "Pour un code RSA et à la fin du xxe siècle, la clé est souvent un nombre75 dépassant 10308."

[modifier] Légère prise de position?

"simplifie les démonstrations d'importants résultats, au prix d'une plus grande abstraction"

L'expression "au prix de" donne l'impression que l'abstraction est une chose qu'il faudrait mieux éviter (j'aurai plutôt tendance à mettre "grâce à" :)). Peut-être qu'une formulation du type "simplifie les démonstrations d'importants résultats par une plus grande abstraction" serait préférable (d'ailleurs ça enlève la virgule qui casse un peu le rithme). Randomblue (d) 14 décembre 2007 à 11:52 (CET) P.S. Merci Proz pour tes corrections.

absolument Jean-Luc W (d) 14 décembre 2007 à 16:48 (CET)

Je change donc par "par une plus grande abstraction". Si vous trouvez mieux, corrigez. Randomblue (d) 14 décembre 2007 à 17:04 (CET)

[modifier] manque de ponctuation ou autre

"Gauss utilise ces résultats pour trouver un nouveau polygone régulier constructible à la règle et au compas l'heptadécagone."

Il semblerait qu'il manque un : juste avant l'heptadécagone. Mais ce serait peut-être mieux de reformuler la phrase pour éviter ce signe qui apparaît déjà 80 fois dans l'article. Randomblue (d) 14 décembre 2007 à 12:25 (CET)

Nous sommes d'accord Jean-Luc W (d) 14 décembre 2007 à 16:48 (CET)

Fait. J'ai remplacé par "Gauss utilise ces résultats pour trouver une construction à la règle et au compas de l'heptadécagone, polygone régulier à 17 côtés." Randomblue (d) 14 décembre 2007 à 17:14 (CET)

[modifier] dates

Dans la section "histoire" je pense que les sous-sections méritent des dates dans leur titre, pour que le lecture puisse se repérer dans le temps plus facilement. Aussi, le titre "Méthodes utilisées" semble un peu bizarre dans la section "histoire". Randomblue (d) 14 décembre 2007 à 13:25 (CET)

[modifier] Petit détail

Dans

a \ = \ \sum_{i=0}^{n-1} a_i.2^i \quad et \quad P[X] \ = \ \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_i.X^i \quad , \quad a_i,\alpha_i \in \mathbb F_2

ne serait-ce pas plus juste d'écrire a_i\in\{0,1\} plutôt que a_i\in\mathbb F_2 car les éléments de \mathbb F_2 ne sont pas forcément des nombres. Randomblue (d) 14 décembre 2007 à 16:41 (CET)

Oui, mais c'est un abus de langage courant. --Cgolds (d) 26 janvier 2008 à 19:18 (CET)

[modifier] une seule technique?

"apparition de nouvelles techniques, différentes de celle de Gauss"

celle ou celles? Randomblue (d) 14 décembre 2007 à 16:48 (CET)

celles, à moins que Gauss soit devenu un spectre qui fasse une apparation (information peut être exact mais alors non sourcée). Jean-Luc W (d) 14 décembre 2007 à 16:50 (CET)

Ok, fait. Randomblue (d) 14 décembre 2007 à 17:02 (CET)

[modifier] Références nécessaires

  • "la protection des messages qu'utilise une armée pour empêcher une anticipation de l'ennemi" : à ce niveau de généralité n'importe quel bouquin historique, mais ajouter une référence précise risque de troubler plus qu'autre chose, par ex. de laisser entendre que la formulation est référencée, ou que ça veut dire quelque chose de plus précis que ça n'en a l'air ...
  • carte bleue : il faudrait trouver un article un peu détaillé pour expliquer le fonctionnement
  • "le protocole de communication cryptée SSL/TLS très utilisé sur Internet" : le lien interne suffit à mon avis. Proz (d) 16 décembre 2007 à 12:38 (CET)
  • RSA : Je proposerai une référence à un bouquin généraliste (Zémor, Stinson, ...). Proz (d) 16 décembre 2007 à 12:38 (CET)

[modifier] Conjecture ou théorème/résultat ?

"Sa nouvelle approche permet d'établir de célèbres conjectures". De nos jours, les conjectures dont tu parles, ne sont-elles plus à l'état de conjecture? Randomblue (d) 26 janvier 2008 à 15:35 (CET)

CorrigéJean-Luc W (d) 26 janvier 2008 à 19:23 (CET)

Constructibilité à la règle et au compas de l'heptagone, ok. Mais il est difficile de voir la loi de réciprocité comme une conjecture célèbre en 1801 (Gauss montre à la fois que la preuve de Legendre ne marche pas et comment en trouver une autre, enfin deux autres (enfin trois autres, enfin, etc...!). "Permet de résoudre un problème laissé en suspens depuis l'Antiquité<ref> note sur l'heptagone</ref> et d'établir rigoureusement de nouveaux théorèmes fondamentaux, comme la loi de réciprocité quadratique."--Cgolds (d) 26 janvier 2008 à 19:33 (CET)

Il n'y a pas que Legendre qui sèche sur la question. Si ma mémoire est bonne, les premières tentatives de démonstration date d'Euler. La conjecture commence au moins cinquante ans plus tôt et je ne crois pas dire de bêtise en remarquant que tous les grands arithméticiens depuis Euler se cassent les dents dessus. Le nom : théorème d'or n'est pas usurpé. Jean-Luc W (d) 26 janvier 2008 à 21:41 (CET)

Legendre ne sèche pas (enfin croit que...). Quant aux autres... ? Il y a dans de nombreux articles d'Euler des énoncés pour nous liés, comme : si f et g sont des entiers premiers entre eux sans facteurs carrés et si h et h' sont des premiers tels que 4fg divise h-h' alors l'équation fx²+gy²=sz² est résoluble pour s=h si et seulement si elle l'est pour s=h'. Ou encore sa liste posthume d'énoncés comme : si p un nombre premier est de la forme 4ns+(2x+1)² alors s et -s sont des résidus quadratiques de p. Etc...Cela n'a rien de facile (bon, pour moi, admettant que j'ignore tout de la loi de réciprocité, cela ne semble pas facile) d'extraire de tout ceci la loi de réciprocité sous la forme de Legendre (et encore j'isole déjà là les articles autour d'un énoncé que nous avons appris à chercher dans tous les coins, en l'occurrence dans les centaines d'articles et d'énoncés variés laissés par Euler, autour de tes sujets favoris de l'arithmétique modulaire). Ni Dickson dans les années 1920 (History of the Theory of Numbers, suite par Cresse listant tous les articles sur la loi de réciprocité), ni plus récemment Franz Lemmermeyer, Reciprocity Laws from Euler to Eisenstein, ne cite aucun autre auteur après Euler et avant Legendre sur ce sujet. Cela devient vraiment célèbre plus tard (j'ai une doctorante qui travaille là-dessus, on en saura plus dans deux ou trois ans, patience, patience,Clin d'œil). --Cgolds (d) 26 janvier 2008 à 22:24 (CET)

La démonstration de Legendre s'appuie sur le théorème de la progression arithmétique (cf par exemple Histoire de la loi de réciprocité quadratique de Gauss à Tate). Je n'imagine pas que Legendre ait l'impression que la démonstration de ce lemme était à ses yeux aisé, il en parle comme d'une véritable difficulté qu'il ne sait pas résoudre. Euler présente l'exacte conjecture dans un papier de 1742 (tu le trouves dans son Opusculum analyticum). En fait, il démontre aussi certaines propriétés, du style en notation de Legendre:

\left(\frac{n}{p}\right)\equiv n^{\frac {p-1}2}\; [p]

Il montre un peu plus loin le caractère morphique du symbole (même si bien évidemment le symbole est de Legendre). Il n'est pas loin de la démontrer non plus selon l'analyse même de Gauss. Certain lui attribue même le théorème (cf lire, ce qui, au vue du papier de l'Opusculum analyticum et des propos de Gauss est clairement vrai pour la conjecture mais exagéré sur la démonstration : le trou est comparable à celui de Legendre). Il ne faudrait pas non plus oublier le bide de Lagrange qui s'y frotte aussi pour l'étude des formes quadratiques.

Fermat propose plusieurs résultats dérivant de la loi, mais même s'il sent l'existence d'un théorème sous-jacent, il n'est pas capable de trouver la conjecture, il est déjà au stade ou tu places Euler. Jean-Luc W (d) 28 janvier 2008 à 16:51 (CET)

PS : La date de la démonstration de Gauss en général avancée est 1796 (lire) Jean-Luc W (d) 28 janvier 2008 à 16:55 (CET)

[modifier] clarification

"Ils résolvent essentiellement des questions soulevées par la théorie de l'information."

Est-ce que "ils" fait référence aux algorithmes? Peut-être qu'il faudrait être plus clair sur ce que veut vraiment dire cette phrase. Randomblue (d) 27 janvier 2008 à 23:08 (CET)