Théorème de densité de Chebotarev

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Le théorème de Chebotarev généralise, en quelque sorte, le théorème de Dirichlet sur l'infinitude des nombres premiers en progressions arithmétiques. Ce dernier stipule que, si a,q \geq 1 sont deux entiers premiers entre eux, la densité naturelle de l'ensemble des nombres premiers p \equiv a \pmod q vaut 1/\varphi(q).

Le cadre du théorème de Chebotarev est le suivant : on considère une extension galoisienne \mathbb {L} / \mathbb {K} de corps de nombres, de groupe de Galois G. Pour tout idéal entier \mathfrak {a} de \mathbb {K}, on note \mathcal {N}(\mathfrak {a}) = \left | \mathcal {O}_{\mathbb {K}} / \mathfrak {a}\right | la norme de \mathfrak {a}.

Considérons un idéal premier \mathfrak {p} de \mathbb {K} non ramifié dans \mathbb {L}, et soit \mathfrak {P} \mid \mathfrak {p} un idéal premier de \mathbb {L} au-dessus de \mathfrak {p}.

On montre qu'il existe un unique élément \sigma_{\mathfrak {P}} \in G caractérisé par la relation suivante : pour tout élément \alpha \in \mathcal {O}_{\mathbb {L}}, on a

\sigma_{\mathfrak {P}} (\alpha) \equiv \alpha^{\mathcal {N}(\mathfrak {p})} \pmod {\mathfrak {P}}.

Si G n'est pas abélien, cela dépend du choix de \mathfrak {P} : en effet, si \mathfrak {P'} est un autre idéal premier au-dessus de \mathfrak {p}, il existe un élément \sigma \in G tel que \mathfrak {P'} = \sigma ( \mathfrak {P}), et alors \sigma_{\mathfrak {P'}} et \sigma_{\mathfrak {P}} sont conjugués dans G.

On considère alors la classe de conjugaison \{ \sigma_{\mathfrak {P}}, \, \mathfrak {P} \mid \mathfrak {p} \}, que l'on nomme symbole de Frobénius de \mathfrak {p} dans \mathbb {L} / \mathbb {K}, encore noté (par abus) \sigma_{\mathfrak {p}}. Remarquons que, si G est abélien, cette classe est réduite à un seul élément.

Nous pouvons alors énoncer le théorème de Chebotarev :

Thoérème de Chebotarev —  Soit C une classe de conjugaison dans G. Alors l'ensemble des idéaux premiers \mathfrak {p} de \mathbb {K}, non ramifiés dans \mathbb {L}, et tels que \sigma_{\mathfrak {p}} = C, a pour densité naturelle | C | / | G | .

Le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers en progression arithmétique en découle trivialement, en appliquant le théorème précédent à une extension cyclotomique de \mathbb{Q}.