Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert

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Le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert est un théorème d'analyse fonctionnelle.

[modifier] Énoncé

Si $H$ est un espace de Hilbert, et $F$ un sous-espace vectoriel fermé de $H$ , alors l'orthogonal de $F$ est un sous-espace supplémentaire de $F$ , c'est-à-dire que $H = F \oplus F^\bot$

[modifier] Démonstration

$F$ est un espace vectoriel, donc convexe, et fermé par hypothèse. On peut donc appliquer le théorème de projection sur un convexe fermé :

$\forall z \in H, \exists! x \in F, \|z-x\|=\inf_{u\in F} \|z-u\|$

Notons $y = z - x$ . Par definition de $x$ , on a:

$\forall u \in F, \|y\|^2 = \|z-x\|^2 \le \|z-u\|^2 = \|y+x-u\|^2 =\|y\|^2+\|x-u\|^2+2\langle y,x-u\rangle$

d'où $\forall u \in F, \|x-u\|^2 + 2\langle y,x-u\rangle \ge 0$ .

Prenons $v$ et posons $u = x + ε v$ . L'inéquation devient alors

$\forall v \in F, \forall \epsilon \in R, \epsilon^2 \|v\|^2-2\epsilon \langle y,v\rangle \ge 0$

D'où, en choisissant d'abord un $ε$ puis son opposé dans l'expression ci-dessus :

$\forall v \in F, \forall \epsilon \in R,\begin{cases}\epsilon ^2\|v\|^2+2\epsilon\langle y,v\rangle \ge 0 \\ \epsilon ^2\|v\|^2-2\epsilon\langle y,v\rangle \ge 0\end{cases}$

d'où, en se restreignant à $R +$ et en simplifiant par $ε$ :

$\forall v \in F, \forall \epsilon \in R^+,\begin{cases}\epsilon \|v\|^2+2\langle y,v\rangle \ge 0 \\ \epsilon \|v\|^2-2\langle y,v\rangle \ge 0\end{cases}$

d'où, en faisant tendre $ε$ vers 0,

$\forall v \in F, \langle y,v\rangle =0$

c'est-à-dire $y \in F^\bot$ .

Et donc on peut décomposer $z$ en

$z=x+ y, x \in F, y \in F^\bot$

Comme on a toujours $F \cap F^\bot = 0$ ,

on peut donc enfin conclure

$H = F \oplus F^\bot$

[modifier] Conséquences

L'application $p F$ qui a $z$ associait $x$ , ci-dessus, définie en minimisant une distance, s'appelle le projecteur sur $F$ .

Il a bien la particularité d'un projecteur au sens classique (bien que défini topologiquement, et non algébriquement), i.e. $p_F\circ p_F=p_F$ .

Lorsque, comme dans notre cas, $H = F \oplus F^\bot$ on appelle ce projecteur le projecteur orthogonal sur $F$ , et on peut préciser de noyau $F^\bot$ et d'image $F$ .

On peut alors montrer que $p F$ est linéaire.

En effet, par unicité de la décomposition dans deux sous-espaces vectoriels orthogonaux et supplémentaires, si $z=x+ y, x \in F, y \in F^\bot$ , alors $p F (z) = x$ .

Du coup, soient $z = x + y, z' = x' + y'$ les décompositions de deux vecteurs, on en déduit la décomposition $z + λ z' = (x + λ x') + (y + λ y')$ et donc $p F (z + λ z') = x + λ x' = p F (z) + λ p F (z')$ .