Théorème de Weierstrass-Casorati

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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, le théorème de Weierstrass-Casorati décrit une propriété topologique des voisinages d'une singularité essentielle d'une fonction holomorphe. Il est nommé ainsi en l'honneur des mathématiciens Karl Weierstrass et Felice Casorati.

[modifier] Énoncé

Théorème de Weierstrass-Casorati — Soit $f$ une fonction holomorphe sur un disque $D (a, r)$ épointé (c'est-à-dire privé de son centre) avec une singularité essentielle en $a$ (c'est-à-dire que $f$ n'est pas bornée sur un voisinage de $a$ sans pour autant que $\lim_{z\to a} |f(z)|$ existe).

Alors, pour tout $k$ inclus dans $]0, r [$ , l'ensemble $f(D(a,k)\backslash\{a\})$ est dense dans $\Complex$ .

Démonstration

Par l'absurde, si $f$ a une singularité essentielle en $a$ , supposons qu'il existe $k > 0$ tel que $f\left(D(a,k)\backslash\{a\}\right)$ n'est pas dense dans $\mathbb{C}$ . Il existe alors $b\in\mathbb{C}$ et $ε > 0$ tel que $\left|f(z)-b\right|>\epsilon$ et la fonction $g:z\mapsto 1/(f(z)-b)$ est alors bornée sur $D(a,k)\backslash\{a\}$ , une conséquence de la formule intégrale de Cauchy nous permet donc d'affirmer que $a$ est une singularité apparente de $g$ qui peut se prolonger en une fonction $\tilde{g}$ holomorphe en $a$ . La fonction $1/\tilde{g}$ est alors soit holomorphe en $a$ si $\tilde{g}(a)\neq 0$ soit elle possède un pôle si $\tilde{g}(a)=0$ mais dans tous les cas cela contredit l'hypothèse de singularité essentielle de $f$ en $a$ . $f\left(D(a,k)\backslash\{a\}\right)$ est donc nécessairement dense dans $\mathbb{C}$ .

Ainsi pour tout $k$ inclus dans $]0, r [$ et pour tout $c$ appartenant à $\Complex$ , il existe une suite $(z j)$ de $D(a,k)\backslash\{a\}$ telle que $f (z j)$ tend vers $c$ .

Remarque: on dit qu'une fonction analytique complexe admet un point singulier essentiel en $a$ lorsque le développement en Série de Laurent admet une infinité de termes de la forme $a - n / (s - a) n$ . Si le développement n'a qu'un nombre fini de termes de cette forme, le point a est un pôle de degré égal à la plus grande puissance de $1 / (s - a)$ (cas le plus fréquent). Il existe un autre type de singularité à ne pas confondre avec la singularité essentielle, le point de branchement: il existe alors dans le développement autour de a soit un terme logarithmique soit des puissances non entières.

Le grand théorème de Picard a complété le théorème de Weierstrass-Casorati en précisant qu'une telle application prend une infinité de fois toutes les valeurs de $\mathbb{C}$ sauf peut être une. La démonstration du théorème de Picard est bien plus difficile que celle du théorème de Weierstrass-Casorati.

[modifier] Exemples

Tracé du module de la fonction . La fonction possède une singularité essentielle en 0. On peut observer que même en étant très près de 0 le module peut prendre toutes les valeurs positives excepté 0

Tracé du module de la fonction $z \mapsto \exp\left(z^{-2}\right)$ . La fonction possède une singularité essentielle en

0

. On peut observer que même en étant très près de 0 le module peut prendre toutes les valeurs positives excepté 0

La fonction $g:z\mapsto 1/z$ définie sur $\mathbb{C}^*$ possède une singularité qui n'est pas essentielle en $0$ (c'est en fait un pôle d'ordre 1). On peut remarquer que $\left|g(z)\right|\to\infty$ quand $z\to 0$ et la fonction $g$ ne vérifie donc pas le théorème de Weierstrass-Casorati.

La fonction définie pour tout $z \in \mathbb{C}^*$ par :

$f(z)=\exp\left(\frac{1}{z^2}\right)=1+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{2z^4}+\frac{1}{6z^6}+\frac{1}{24z^8}+...$

possède une singularité essentielle en $0$ .

En posant $z = x + i y$ on a $\left|f(z)\right|=\exp\left(\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right)$ les courbes de niveaux de $\left|f(z)\right|$ vérifient donc des équations du type $x^2-y^2=c\left(x^2+y^2\right)^2$ où $c$ est une constante, les courbes de niveaux de $\left|f(z)\right|$ sont donc des lemniscates de Bernoulli.

[modifier] Une application

L'utilisation du théorème de Weierstrass-Casorati est l'une des méthodes qui permet de montrer que les seules automorphismes biholomorphes de $\mathbb{C}$ sont des applications $f$ du type $f (z) = a z + b$ avec $a\neq 0$ .