Théorèmes de Picard

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Les théorèmes de Picard, du mathématicien Émile Picard, sont au nombre de deux :

Le petit théorème de Picard dit qu'une fonction entière non constante prend tout nombre complexe comme valeur, sauf peut-être un.

Le grand théorème de Picard dit qu'une fonction ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un.

[modifier] Remarques

• Le « sauf peut-être un » dans ces énoncés est nécessaire, comme le montrent les exemples de la fonction entière e^z et de la singularité essentielle e^{1 / z}.

• Le petit théorème se déduit immédiatement du grand, car toute fonction entière est soit polynôme soit elle possède une singularité essentielle à l'infini.

• Le grand théorème de Picard généralise le théorème de Weierstrass-Casorati.

• Une récente conjecture de Bernhard Elsner^[1] est liée au grand théorème de Picard : Soit D − {0} le disque unité épointé et U₁,U₂,...,U_n un recouvrement de D − {0} par des ouverts. Sur chaque ouvert U_j soit f_j une fonction holomorphe injective telle que df_j = df_k sur toutes les intersections . Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur le disque D. (Si le résidu est nul, la conjecture découle du grand théorème de Picard.)

[modifier] Voir aussi

• Théorème de Weierstrass-Casorati

[modifier] Références

• Portail des mathématiques