Théorème de Heine
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Le théorème de Heine, nommé ainsi en l'honneur de Édouard Heine, s'énonce ainsi : Soit deux espaces métriques X et Y, tel que X soit également compact. Alors toute application continue de X dans Y est uniformément continue. Cela implique notamment que toute fonction continue de I = [a,b] dans est uniformément continue sur I.
Sommaire |
[modifier] Enoncé et démonstration pour les fonctions numériques
[modifier] Enoncé
Soit f une fonction continue de [a,b] dans R. Elle est continue en tout point x, et nous savons donc que
tel que
Le theoreme de Heine exprime que la fonction est alors uniformement continue en x sur [a,b], c'est à dire que le α peut etre choisi independamment de x, ce qui nous permet d'inverser les deux quantificateurs en .
La propriété d'uniforme continuité s'exprime alors :
[modifier] Démonstration
En prenant les definition de αxε, on considere . c'est un recouvrement de [a,b], et d'apres le Théorème de Borel-Lebesgue on peut en selectionner un nombre fini I qui recouvre aussi [a,b].
Alors, si l'on prend il existe un et et donc
| f(x) − f(y) | < | f(x) − f(xi) | + | f(xi) − f(y) | < ε + ε
la valeur trouvée etant bien independante de x, l'unniforme continuité est demontrée.
[modifier] Démonstration dans le cas général en utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass
On se place dans le cas général de deux espaces métriques X et Y avec X compact. On note d la distance sur X et d' la distance sur Y. Le théorème de Heine nous dit alors toute application continue de X dans Y est uniformément continue, ce qui s'exprime par :
tel que
Pour montrer cela, on raisonne par l'absurde en considérant f continue sur X mais non uniformément continue. Alors, on sait qu'il existe ε > 0 tel que pour chaque , on peut trouver deux points an et bn de X avec :
et .
La suite (an) est à valeurs dans le compact X donc on peut en extraire une sous-suite convergente. On note l'extraction et la limite de la sous-suite. La relation montre que (bφ(n)) est aussi convergente de limite .
Il s'en suit, en faisant tendre n vers et en utilisant la continuité de f et de la distance d' :
.
On obtient là une contradiction. Donc f est uniformément continue sur X.