Théorème de Borel-Lebesgue

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En Topologie de $\mathbb{R}^n$ , le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes d'un ensemble $A$ de vecteurs :

$A$ est fermé et borné ( $A$ est borné s'il existe une constante positive majorant la norme des tous les éléments de $A$ ) ;
$A$ vérifie la propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de $A$ par des ouverts de $\mathbb{R}^n$ on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Cette seconde propriété est en fait la définition générale d'un compact en topologie : un espace est compact si et seulement s'il est séparé et a cette propriété. Le théorème de Borel-Lebesgue peut donc se lire : un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$ est compact si et seulement s'il est fermé et borné.

Suite à ce théorème, beaucoup d'auteurs préfèrent définir les compacts de $\mathbb{R}^n$ comme les ensembles fermés et bornés de vecteurs. Dans ce cas le théorème se lit : un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$ est compact si et seulement il a la propriété de Borel-Lebesgue.

Le théorème se généralise à tout espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, mais n'est pas valable en dimension infinie. Il est traité dans l'article topologie d'un espace vectoriel de dimension finie.

[modifier] Démonstration

Le segment [a, b] est compact :

Soit Ω un recouvrement ouvert du segment et M le sous-ensemble du segment composé des éléments m tel que le segment [a, m] admet un sous-recouvrement fini extrait de Ω. L'objectif est de montrer que M est égal au segment.

M est non vide : En effet, il existe un ouvert ω de Ω contenant a car Ω est un recouvrement du segment. En conséquence, le sous-recouvrement fini composé uniquement de l'ouvert ω contient a, ce qui montre que a est élément de M.

M est un intervalle : En effet, soit m un élément de M et m' un élément de l'intervalle d'extrémité a et m. Alors le sous-recouvrement fini contenant le segment [a, m] est aussi un sous-recouvrement fini de [a, m' ], ce qui montre que m' est aussi élément de M et donc que M est un intervalle.

M est un ensemble ouvert : En effet, soit m un élément de M et Ω' un sous-recouvrement fini contenant le segment [a, m]. Il existe un ouvert ω' de Ω' contenant m. Si p est un élément de ω', alors le segment [a, p] est recouvert par le sous recouvrement fini Ω'. En conséquence tout point p de ω' est inclus dans M, ce qui montre que M est un ouvert.

M est un ensemble fermé : Il suffit, pour montrer cette propriété, de montrer qu'il contient sa borne supérieure β. Soit ω_β un ouvert de Ω contenant β. Il existe car Ω est un recouvrement ouvert de [a, b] et β un point de ce segment. Soit c un point strictement plus petit que β et élément de ω_β. Il existe un sous-recouvrement fini Ω_c de l'intervalle [a, c] car c est élément de M, par définition de β. Le sous-recouvrement formé des ouverts de Ω_c et de ω_β est un sous-recouvrement fini de [a, β], ce qui montre que β est élément de M.

Le seul intervalle non vide de [a, b] à la fois ouvert et fermé est le segment [a, b] lui-même. Ceci montre que b est un élément de M. Il est possible d'extraire de Ω un sous-recouvrement fini de [a, b], ce qui montre la compacité du segment.

Un sous-ensemble de R non borné n'est pas compact.

Considérons le recouvrement Ω composé des intervalles ]-n, n[, où n décrit l'ensemble des entiers strictement positifs. Dire que le sous-ensemble S de R n'est pas bornée revient à dire qu'il n'est pas possible d'extraire un sous-recouvrement fini de Ω, et donc que S n'est pas compact.

Un compact de R est un fermé borné.

Soit C un compact de R, alors il est fermé car tout compact l'est et la proposition précédente montre qu'il est borné.

Réciproquement soit C est fermé borné de R, alors c'est un fermé d'un segment, donc d'un compact et C est compact.

Le produit de segments est compact dans Rⁿ.

Ce résultat est la conséquence du théorème de Tychonoff. Il stipule que tout produit de compact est compact.

Les compacts de Rⁿ sont les fermés bornés.

Soit C un compact de Rⁿ, la démonstration sur R sur le caractère borné d'un compact s'applique encore, C est donc borné. Il est de plus fermé car tout compact l'est.

Réciproquement soit C un fermé borné de Rⁿ, la démonstration précédente montre que c'est un fermé d'un compact, donc un compact.