Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables)

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Le théorème d'Euler, nommé d'après le mathématicien suisse Leonhard Euler, est un résultat d'analyse à plusieurs variables utile en thermodynamique et en économie. Il s'énonce comme suit.

Soient f une fonction de plusieurs variables x1,x2,...,xn, et V et W deux espaces vectoriels :

f: \begin{array}{rcl} V & \longrightarrow & W \\ \mathbf x = (x_1, x_2,\ldots, x_n) & \longmapsto & f(\mathbf x) \end{array}

Alors :

  1. Si f est homogène de degré k et différentiable en tout point x de V, alors la relation suivante, appelée identité d'Euler est vérifiée :
    \mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x}) \equiv \sum_{i=1}^n x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} (\mathbf{x}) = kf(\mathbf{x})
  2. Si f est différentiable en tout point x de V, et si l'identité d'Euler est vérifiée, alors f est homogène de degré k sur V.

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