Sous-espace vectoriel engendré

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Étant donnés un espace vectoriel sur un corps commutatif $\mathbb{K}$ , des vecteurs $v_1, \ldots, v_n$ de $E$ , le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs est l'ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs. C'est un sous-espace vectoriel de $E$ appelé sous-espace vectoriel engendré par le système de vecteurs $\{v_1,\ldots, v_n\}$ , c'est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant $\{v_1,\ldots, v_n\}$ .

Sommaire

1 Définitions
- 1.1 Sous espace vectoriel engendré par une famille finie de E
- 1.2 Sous espace vectoriel engendré par une partie de E
2 Remarques
3 Exemples
4 Théorèmes
5 Propriétés

[modifier] Définitions

[modifier] Sous espace vectoriel engendré par une famille finie de $E$

Étant donnés un espace vectoriel sur un corps commutatif $\mathbb{K}$ , un entier naturel non nul $n$ , et une famille de $n$ vecteurs $v_1, \ldots, v_n$ de $E$ , le sous-espace vectoriel engendré par la famille, noté ${\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n)$ , est l'ensemble :

${\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n) = \left\{\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_n v_n | \lambda_1,\ldots, \lambda_n\in \mathbb{K}\right\}$

C'est un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ appelé sous-espace vectoriel engendré par la famille $(v_1,\ldots, v_n)$ . On dit que la famille $(v_1, \ldots, v_n)$ est une famille génératrice ou qu'elle « engendre » $F$ .

On peut dire aussi que l'ensemble $\{v_1, v_2,\ldots, v_n\}$ est un système générateur de $F$ ou un système de générateurs de $F$ .

[modifier] Sous espace vectoriel engendré par une partie de $E$

La notion se généralise à une famille quelconque $(v_i)_{i\in I}$ de vecteurs de $E$ . Le sous-espace vectoriel engendré par la famille est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires finies de vecteurs de la famille, noté ${\rm Vect}\left((v_i)_{i\in I}\right)$ , est :

${\rm Vect}\left((v_i)_{i\in I}\right) = \left\{ \lambda_{i_1} v_{i_1} + \cdots + \lambda_{i_k} v_{i_k} | k \in \mathbb{N}, i_1, \ldots, i_k \in I, \lambda_{i_1} ,\ldots, \lambda_{i_k} \in \mathbb{K} \right\}$

où $\mathbb{N}$ est l'ensemble des entiers naturels.

Une famille quelconque de vecteurs de $E$ peut-être considérée comme un sous-ensemble $A$ de l'espace vectoriel $E$ . Le sous-espace vectoriel engendré par $A$ est donc l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires (finies) d'éléments de $A$ . Il est noté $Vect(A)$ ou parfois $< A >$ :

$\mathrm{Vect}(A) = \left\{ \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_k v_k | k \in \mathbb{N}, \lambda_1 ,\ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}, v_1 ,\ldots, v_k \in A \right\}$

Remarquez que le nombre de vecteurs intervenant dans la combinaison linéaire peut varier, de zéro à un certain entier, mais pas jusqu'à l'infini. La partie $A$ est appelée partie génératrice de $Vect(A)$ .

[modifier] Remarques

L'ensemble engendrant un sous-espace vectoriel n'est pas nécessairement une partie basique (c'est-à-dire une base) de $F$ de même que les vecteurs de l'ensemble n'ont pas besoin d'être linéairement indépendants. D'autre part, un ensemble minimal engendrant le sous-espace vectoriel $F$ est une base de $F$ . Autrement dit un ensemble engendrant un espace vectoriel $F$ est une base de celui-ci si et seulement si tout vecteur de $F$ peut être écrit de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de l'ensemble.

[modifier] Exemples

L'espace vectoriel réel $\mathbb{R}^3$ admet ${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ comme ensemble générateur, qui est aussi une base. Un autre ensemble générateur est ${(1,2,3),(0,1,2),( - 1,1 / 2,3),(1,1,1)}$ mais celui-ci n'est pas une base de $\mathbb{R}^3$ parce que les vecteurs sont linéairement dépendants. L'ensemble ${(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)}$ n'engendre pas $\mathbb{R}^3$ ; au lieu de cela il engendre le sous-espace vectoriel constitué de tous les vecteurs de $\mathbb{R}^3$ dont la dernière composante est nulle.
Dans l'espace vectoriel usuel, $\mathbb{R}^3$ , considérons les vecteurs $u 1 = (1,0,0)$ et $u 2 = (1,1,0)$ . On a

${\rm Vect}(u_1, u_2)=\{(\lambda+\mu,\mu,0)/(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2\}=\{(x,y,0)/(x,y)\in\mathbb{R}^2\}$

Soit $P=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3/x+y-z=0\}$ . On a

$P=\{x(1,0,1)+y(0,1,1)/(x,y)\in\mathbb{R}^2\}={\rm Vect}((1,0,1),(0,1,1))$ .

[modifier] Théorèmes

Théorème 1: ${\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ . De plus, cet espace vectoriel est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant les vecteurs $v_1, \ldots, v_n$ .

Ce résultat (qui est démontré un peu plus loin dans cette section) est une des raisons pour lesquelles la notion de sous-espace vectoriel engendré est importante.

Théorème 2: $Vect(A)$ est aussi un sous-espace vectoriel de $E$ . De plus, cet espace vectoriel est le plus petit sous espace-vectoriel de $E$ , contenant $A$ .

Nous n'allons démontrer que le théorème 1. La démonstration du théorème 2 est très similaire, mais un peu plus malaisée à rédiger, puisque les vecteurs de toute combinaison linéaire donnée peuvent être différents.

Démonstration du théorème 1:

Stabilité pour la somme:

Les formes les plus générales possibles pour deux éléments de ${\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n)$ sont $x=a_1.v_1+\cdots+a_n.v_n$ et $y=b_1.v_1+\ldots+b_n.v_n$ .

Nous avons à montrer que $x + y$ est aussi une combinaison linéaire de ces vecteurs. En utilisant l'associativité et la commutativité de l'addition ainsi que la distributivité, nous pouvons écrire:

$x + y = ( a_1 + b_1 ) v_1 + \cdots + ( a_n + b_n ) v_n \,$

et puisque pour tout $i$ , $a i + b i$ est un scalaire de $K$ , nous voyons que $x + y$ est effectivement une combinaison linéaire des vecteurs donnés.

Stabilité pour la multiplication par un scalaire:

Soit $c$ un scalaire et à nouveau considérons une combinaison linéaire de la forme: $x=a_1.v_1+\ldots+a_n.v_n$ .

Nous avons à montrer que $c . x$ est aussi une combinaison linéaire de ces vecteurs.

Nous avons

$c x = ( c a_1 ) v_1 + \cdots + ( c a_n ) v_n \,$

et puisque pour tout $i$ , $c . a i$ est aussi un scalaire le résultat est acquis.

${\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n)$ est non vide.

Le vecteur nul de $E$ , $0 E$ est une combinaison linéaire de $v_1, \ldots, v_n$ puisque nous pouvons écrire:

$0_E=0_Kv_1+0_Kv_2+\cdots+0_Kv_n\,$

(Ici, $0 K$ est l'élément neutre additif du corps $K$ .)

Cette dernière relation est bien vraie, parce que dans tout espace vectoriel nous avons $\forall v\in E,\quad 0_K.v=0_E$ .

Minimalité:

Supposons que $F$ soit un autre sous-espace vectoriel de $E$ contenant les vecteurs $v_1, \ldots, v_n$ .

Alors $F$ est stable pour la multiplication et l'addition des vecteurs, ainsi nous pouvons démontrer par une récurrence finie sur le nombre de vecteurs que pour tous scalaires $a_1, \ldots, a_n$ , $a_1.v_1+\cdots+a_n.v_n$ est un élément de $F$ . Ainsi, ${\rm Vect}(v_1, \ldots, v_n)$ , l'ensemble de telles combinaisons linéaires est une sous-ensemble de $F$ .

[modifier] Propriétés

Soient $v_1, \ldots, v_n$ $n$ vecteurs d'un espace vectoriel $E$ . Nous avons

$\textrm{Vect}(v_1, \ldots, v_{n-1}) = \textrm{Vect} (v_1, \ldots, v_n) \Longleftrightarrow v_n \in \textrm{Vect}(v_1, \ldots, v_{n-1})$

La dimension d'un espace vectoriel engendré par une famille de $n$ vecteurs est égale à $n$ si et seulement si la famille est libre.
Pour toutes parties A et A' de E,
- $A\subset A'\Rightarrow {\rm Vect}(A)\subset {\rm Vect}(A')$
- ${\rm Vect}(A\cup A')={\rm Vect}(A)+{\rm Vect}(A')$ .