Suite bornée
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Une suite réelle est dite bornée si :
ou de façon équivalent si :
Autrement dit, l'ensemble des ses termes est compris entre une borne supérieure et une borne inférieure. On peut déduire de façon immédiate qu'une suite bornée ne diverge pas vers .
Par exemple, est bornée puisqu'elle est décroissante et minorée (majorée par 1 et minorée par 0), alors que ne l'est pas car elle tend vers . Cependant une suite peut ne pas converger tout en étant bornée : est bornée (majorée par 1 et minorée par -1) mais n'admet pas de limite.
[modifier] Valeurs d'adhérence pour une suite réelle bornée
Un des grands intérêts des suites bornées réside dans le fait que de toute suite bornée, on peut extraire une sous-suite convergente. En voici une démonstration imagée. Cette propriété des suites réelles porte parfois le nom de propriété de Bolzano-Weierstrass (et la démonstration se trouve dans l'article); elle est étroitement liée à la propriété de Borel-Lebesgue.
Soit (xn) une suite réelle bornée. Voyons les entiers n comme des individus situés à une hauteur xn, alignés les uns derrière les autres sur une plage, avec la mer à l'infini.
On dit que n a « vue sur la mer » si, quel que soit p > n, xn > xp. (l'individu n est plus haut que tous ceux qui viennent après lui).
On dit que n a « la vue bouchée » s'il existe p > n, xp ≥ xn. (Il existe un individu d'indice p supérieur à n et situé plus haut que lui).
Il y a alors deux cas :
- Ou bien il y a une infinité d'individus ayant vue sur la mer. Dans ce cas, les xn correspondant forment une sous-suite décroissante. Étant minorée, elle converge.
- Ou bien il n'y a qu'un nombre fini d'individus ayant vue sur la mer. Se plaçant au-delà de ce nombre fini, tous les autres individus ont la vue bouchée. On en choisit un d'indice p0. Il existe un indice p1 > p0 tel que puis p2 > p1 tel que , etc. On définit ainsi une sous-suite croissante. Étant majorée, elle converge.
Remarque : on notera que la démonstration ne donne pas de construction explicite de la sous-suite. En effet, pour une suite quelconque, on est en général incapable de décider laquelle des deux affirmations 1) ou 2) est vérifiée. L'existence de la sous-suite est donc purement formelle. Il existe évidemment des cas particuliers où l'on peut construire explicitement une telle sous-suite.
Exemples
- Si xn = (–1)n, alors la sous-suite des termes de rang pair (x2n) converge vers 1 et la sous-suite des termes de rang impairs (x2n+1) converge vers –1.
- On peut ne pas être capable d'expliciter une telle sous-suite. Par exemple, il existe des entiers n1, n2, ..., nk, ... strictement croissants tels que sin(nk) converge, mais on n'en possède pas d'expression.