Discuter:Raisonnement par récurrence

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Pourquoi lorsque vous voulez démontrer que, pour n>ou=3, 3^2n -2^n-3 est un multiple de 7 vous passez à 3^2n+2 -2^n-2 ?

On essaie d'être clair mais semble-t-il insuffisamment. Pour démontrer la propriété précédente en utilisant le principe de récurrence, il faut démontrer que la propriété est vraie pour la première valeur de n (c'est à dire n = 3) et ensuite qu'elle est héréditaire c'est à dire qu'elle se transmet d'un entier n quelconque à l'entier suivant n + 1, d'où l'idée de la supposer vraie pour un entier n - donc de supposer que 3²ⁿ − 2^{n − 3} est multiple de 7 - et de s'en servir pour démontrer qu'alors 3^{2(n + 1)} − 2^{(n + 1) − 3} est multiple de 7 (écriture de la propriété pour l'entier suivant ) . HB 21 septembre 2006 à 19:36 (CEST)

merci pour cette explication je comprends mieux !!!

Je me suis permis une petite correction : il y avait une coquille à la fin, à la dernière ligne de votre démonstration : On a n+1=dd' et non n=dd' comme on lisait initialement, Bien à vous, Guillaume.

Merci d'avoir repéré et corrigé l'erreur. HB 9 janvier 2007 à 20:05 (CET)

Sommaire 1 Non standard 2 Démonstration du raisonnement par récurrence 3 Démonstration du raisonnement par récurrence : ça existe en effet 4 Ordinaux 5 Références 6 Sources 7 De la cohérence interne des modifications 8 Justification du principe de récurrence 9 ou plus généralement sur tous les entiers supérieurs à un entier donné

[modifier] Non standard

Je propose d'effacer la passage sur l'analyse non standard, qui est à peu près un contresens sur le sujet (un modèle non-standard de l'arithmétique c'est un modèle qui justement satisfait en particulier la récurrence pour les propriétés exprimables dans le langage considéré). Ca ne semble pas nécessaire d'aborder ce sujet dans cet article. Proz 26 juin 2007 à 20:49 (CEST)

Pas d'opinion pour ma part car connaissances insuffisantes en analyses non-standart mais si c'est faux, il faut évidemment le supprimer. HB 27 juin 2007 à 11:26 (CEST)

Le passage sur l'analyse non standard est tres mal tournee. Si P est un predicat non standard, alors le principe de recurrence ne peut pas s'appliquer. Exemple : P(n)="n est un ensemble standard". Si P(n) est vrai, alors P(n+1) est aussi vrai. Mais comme N est un ensemble infini, il existe un entier non standard. La raison est que l'ensemble des entiers verifiant P n'est pas dans ce cas un ensemble stabdard et n'est donc pas egal a N.

Par contre, si P est une formule standard, le principe de recurrence s'applique evidemment.

Je suis d'accord avec Proz : le passage merite d'etre retravaille !

Ekto - Plastor 27 juin 2007 à 14:23 (CEST)

Oui, ce n'est pas vraiment faux mathématiquement, mais ça n'est pas du tout une bonne présentation : contredire la récurrence c'est facile, il suffit d'ajouter des éléments, ce qui est utile c'est de la conserver pour des propriétés "standards". Plutôt que de retravailler, je propose d'effacer, il y a un passage sur les modèles non standards de l'arithmétique dans arithmétique de Peano, on n'est pas obligé de parler d'analyse non standard dans cet article dont j'ai l'impression qu'il doit plutôt être introductif. Proz 27 juin 2007 à 21:15 (CEST)

[modifier] Démonstration du raisonnement par récurrence

Il faudrait écrire la démonstration du raisoonement par récurrence. On a parle trop peu souvent, c'est beau de parler de réccurence mais il faudrait l'expliquer d'où sa démonstration. Sinon l'ensemble est bien.

Oui, cela manque. Avant les améliorations de Proz, figuraient dans l'article ce que vous appelez "démonstration". En réalité, le théorème de récurrence est un axiome équivalent à deux autres (axiome de Péano et principe de Fermat). Ce qui explique qu'il peut se démontrer à partir de l'un des deux autres. J'attendais que Proz finisse l'article avant de faire des remarques mais comme il n'est pas intervenu sur celui-ci depuis 10 jours, je tiens à signaler que les équivalences avec le cinquième axiome de Péano ou le principe de Fermat se doivent de figurer dans l'article. HB 11 juillet 2007 à 10:12 (CEST)

Il manque effectivement quelquechose, mais je n'aurai pas le temps ces jours-ci, désolé. Le raisonnement par récurrence se "démontre" en théorie des ensembles, c'est simplement la définition des entiers, c'est un axiome dans l'arithmétique de Peano, mais dans ce dernier cas il faut se poser la question du langage. Il m'a semblé qu'il était mieux de commencer par une approche informelle, implicitement en théorie des ensembles. Après relecture, peut-être est-ce trop informel, et il faudrait ajouter deux lignes en introduction pour que cela n'est pas l'air de sortir de nulle part (propriété des entiers, ou axiome sans détailler). Sinon en fait l'équivalence avec le principe de Fermat y est (décomposée en à passant par la récurrence forte). Pour le 5ième axiome de Peano s'il s'agit bien de remplacer les prédicats par des ensembles (je crois d'ailleurs que pour Peano c'était plus ou moins la même chose, ∈ c'est "est" pour lui), cela y est au début. Si ça ne se voit pas, c'est un défaut. Pour la partie axiomatisation je comptais ne pas trop en dire, poser la question du langage dans lequel on axiomatise, et renvoyer aux articles sur l'axiomatique de Peano et sur la construction des entiers. Proz 11 juillet 2007 à 11:03 (CEST)

Je ne vois pas l'intérêt d'écrire une démonstration du principe de récurrence, qui ne pourra s'appuyer que sur des axiomes plus compliqués, ceux de la théorie des ensembles, et finalement proférera une banalité : les entiers sont les éléments d'un ensemble qui vérifie le principe de récurrence. Il vaut mieux présenter le principe de récurrence comme un axiome, sans faire appel à la théorie des ensembles. C'est dans ce sens qu'il me paraissait intéressant de parler d'analyse non standard, puisqu'un axiome peut être admis ou rejeté. L'analyse non standard est précisément le cadre où il existe un prédicat primitif (être non standard) qui ne vérifie pas le principe de récurrence. Cela présentait l'intérêt de souligner le caractère non-évident du principe de récurrence, contrairement à ce qu'on lit trop souvent dans nombre de livres, dont celui cité dans l'article, qui considèrent ce principe comme allant de soi. Theon 11 juillet 2007 à 12:10 (CEST)

Le principe de récurrence tel qu'énoncé parle d'ensembles (ou de propriétés mathématiques "en général"), il fait donc de toute façon implicitement référence aux axiomes plus compliqués. L'intérêt dans la construction ensembliste des entiers c'est la clôture (ça se généralise), mais je suis d'accord que la démonstration est une banalité. Je suis d'accord sur le fait que le principe de récurrence ne va pas de soi, mais il repose sur l'intuition très forte que nous avons des entiers, et on peut s'appuyer dessus dans un article introductif. Parler de non standard ne me semble pas nécessaire dans cet article, j'ai peur qu'à ce niveau ça introduise de la confusion. Il n'y a aucune difficulté en soi à nier la récurrence en ajoutant des éléments aux entiers (cf. ci-dessus). En tout cas ce qui existait n'allait pas. Proz 11 juillet 2007 à 12:31 (CEST)

Je comprends bien votre avis à tous les deux, nous sommes donc devant un problème de niveau d'article. Il est vrai que, formellement,on peut prendre le principe de récurrence comme un axiome de N, mais épistémologiquement ce n'est pas une propriété évidente de N; d'autre part, une personne peut très bien connaitre le principe de récurrence sans connaitre l'analyse non standard. En mathématiques élémentaires le principe de récurrence se démontre en s'appuyant sur une des propriétés (admises) de N : tout ensemble non vide possède un plus petit élément. Cela ne nécessite pas l'artillerie lourde de la théorie des nombres et permet de justifier une propriété qui semble complexe à l'aide d'une propriété dont tout jeune "voit l'évidence". Je ressens personnellement l'absence de cette démonstration comme un manque dans l'article et il me semble que je ne suis pas la seule. HB 12 juillet 2007 à 10:16 (CEST)

Ce qui me gêne dans le fait de vouloir "démontrer" le principe de récurrence par une propriété "évidente", celle par exemple que toute partie non vide possède un plus petit élément, c'est qu'on retombe dans la notion d'axiome antérieure au XIXème, à savoir un axiome était une propriété "évidente" qui ne nécessitait pas de démonstration. Or un axiome est une propriété non pas évidente, mais arbitraire. C'est donc tromper le lecteur sur la nature d'un axiome. A la rigueur, on peut démontrer l'équivalence entre principe de récurrence, existence du minimum d'une partie non vide ou principe de la descente infinie de Fermat, et souligner que ces propriétés (ou l'une d'elles) sont admises en tant qu'axiomes, c'est-à-dire relève d'un choix, mais non pas faire croire qu'il puisse exister une démonstration du principe de récurrence reposant sur une propriété "évidente". On tombe alors dans les travers de nombre de livres du secondaire ou même du supérieur, faisant croire qu'ils démontrent le principe de récurrence, alors qu'ils utilisent une propriété... qui se prouve à partir du principe de récurrence. Theon 13 juillet 2007 à 10:43 (CEST)

« A la rigueur, on peut démontrer l'équivalence entre principe de récurrence, existence du minimum d'une partie non vide ou principe de la descente infinie de Fermat, et souligner que ces propriétés (ou l'une d'elles) sont admises en tant qu'axiomes, c'est-à-dire relève d'un choix  »

C'était le principe adopté dans la version du 13 juin où l'on précisait bien qu'on pouvait prendre le principe de récurrence comme un axiome ou le démontrer à partir d'axiomes équivalents (avec démonstration à la clé). Ce sont ces remarques (et leur démonstration) dont je regrette l'absence dans l'article actuel. HB 13 juillet 2007 à 13:49 (CEST)

L'important est de ne pas omettre l'approche historique. J'ai récupéré récemment quelques phrases de l'article anglophone. Il semble que le raisonnement par récurrence ait été utilisé pour la première fois pour démontrer la formule du binôme de Newton. Je pense sans exagération qu'alors la question du bien-fondé de ce raisonnement ne se posait pas, mais je n'ai pas de référence sérieuse. J'ai mis un lien vers le livre original de Maurolico qui est illisible. D'après ce que je comprends, il utilise une récurrence pour calculer les nombres pentagonaux, carrés, ... Mais j'ai l'impression qu'il se contente d'expliquer comment par récurrence obtenir le troisième nombre pantagonal, puis le quatrième, puis le cinquième, ... N'arrivant pas à lire le latin (c'est du latin ?), je ne sais pas s'il énonce réellement le principe de récurrence ou non. Je vais demander une traduction du texte en français pour vérifier.

On trouve dans le traité du triangle arithmétique de Pascal des formulations très proches de notre récurrence moderne, mais je crains qu'on ne trouve pas de formulation telle que nous la connaissons aujourd'hui avant le XIXème et Dedekind. En effet, jusqu'à cette époque, le raisonnement par récurrence consiste, sur des exemples numériques précis (2, 3, 4...) à expliquer comment on passe au cas suivant, sans jamais traiter véritablement le passage algèbrique de n à n+1. Les démonstrations les plus convaincantes (tels celles de Pascal), sont celles pour lesquelles le raisonnement au rang 2, 3, 4 n'est qu'un cas particulier du cas général que le lecteur moderne pourrait formaliser sans difficulté. Les démonstrations les moins convaincantes sont celles pour lesquels l'auteur se borne à vérifier la propriété aux rangs 2, 3, 4 et à dire qu'on peut continuer indéfiniment. Tel est le cas par exemple de la page 7 de Maurolico (c'est effectivement du latin), où il montre que la somme des impairs donne les carrés, et le vérifiant pour 4, 9, 16 et en disant qu'on peut continuer indéfiniment. Mais peut-être Maurolico est-il plus précis dans d'autres passages. Le lien qu'a donné Ektoplastor vers Maurolico est en tout cas très intéressant, et il faut le garder. Theon 14 juillet 2007 à 14:43 (CEST)

Pour revenir au débat ci-dessus, j'ai inséré une partie Principes équivalents où sont énoncés des principes équivalents au principe de récurrence. Il faut bien mentionner l'évolution historique des idées alors : à telle époque tel mathématicien a déduit le principe de récurrence de tel principe.

HB, peux-tu me donner une source expliquant comment le raisonnement de récurrence doit expliqué au ... collège ou lycée, je ne sais plus ? Cela peut compléter l'article. Sinon, je suis d'accord avec, on ne devrait pas se limiter à une présentation purement formelle où le raisonnement de récurrence est une propriété que doivent vérifier les entiers naturels. Même si au final, c'est bien de ça dont il s'agit.

Enfin, l'article a un manque sérieux : la définition d'une suite par récurrence. Par exemple, quel sens donné à aⁿ ou à n.a ou à  ? Quelqu'un peut-il donner quelques mots à ce sujet ?

Conclusion : c'est vachement dur à tout présenter.

Ekto - Plastor 13 juillet 2007 à 14:27 (CEST)

C'est toujours important de se référer à des textes et non à des souvenirs que l'on a d'eux. Une enquête incomplète sur les programme de lycée m'a permis de découvrir qu'en 71, le raisonnement par récurrence est vu en terminale en arithmétique après avoir présenté l'ensemble des entiers naturels, Vissio le déduit du cinquième axiome de Péano, Revuz le démontre par la propriété de Fermat. En 1986, l'arithmétique a disparu des programmes et le raisonnement par récurrence est vu en première à l'occasion des suites donc comme une propriété intrinsèque. En 1991, la récurrence semble disparaitre en 1er et Terminale mais reste la notion de suite définie par récurrence sans que le sens de ce mot ne soit relié au principe de récurrence. Le raisonnement par récurrence passe ensuite en terminale en tronc commun alors que l'arithmétique n'est abordée qu'en spécialité et ce n'est que dans les accompagnements du programme de 2002 que l'on rappelle aux professeurs qui l'auraient éventuellement oublié que le principe de récurrence est équivalent à l'énoncé "toute ensemble non vide d'entiers positifs est minoré" ou à l'énoncé " toute suite décroissante d'entier positifs est constante à partir d'un certain rang" tout en précisant qu'il "ne faut pas entrainer les élèves dans ces subtilités ni leur faire établir l'équivalence". HB 13 juillet 2007 à 17:48 (CEST)

De quelle étude fais-tu référence ?

J'ai trouvé plusieur informations contradictoires sur l'apparition du raisonnement par récurrence. Selon certains, le raisonnement par récurrence aurait été défini par Dedekind ; selon d'autres, il serait déjà présent dans des travaux antérieurs dont ceux de Maurolico. Mais j'ai des doutes. J'attends donc une traduction du livre, pour vérifier.

C'est vrai que les programmes évoluent assez rapidement. Je me suis toujours demandé si les professeurs "respectaient" toujours ces évolutions. Mais il faudrait comparer avec l'enseignement des mathématiques dans d'autres pays francophones.

Cet article aurait besoin d'une meilleure organisation des idées. Ekto - Plastor 13 juillet 2007 à 19:01 (CEST)

• Pour moi la récurrence est quand même première, puisqu'elle est vraiment caractéristique des entiers. La descente infinie, le fait d'être bien ordonné, c'est équivalent modulo le fait que l'on sait que 0 est le seul élément qui n'est pas un successeur. Il me semble que l'on peut donner une intuition directe de la récurrence, qui pour moi est au moins aussi évidente que le principe de Fermat, mais bon ...

• Vis à vis de la version du 13 juin je n'ai enlevé aucune preuve des équivalents, mais les ai réécrite, et en ai ajouté une (celle de la récurrence forte). Apparemment pas de façon claire, ce dont je suis désolé. La version du 13 juin compliquait les choses en énonçant une propriété de récurrence à partir d'un rang arbitraire, alors que c'est une conséquence immédiate, et c'est même équivalent, au cas où l'on part de 0, chose que j'avais mise dans l'article et qui a disparu d'ailleurs. Du coup l'équivalence entre la récurrence "avec des ensembles" et celle "avec des propriétés", qui est une trivialité (à la limite du changement de notation en théorie naïve) prenait plusieurs lignes. L'équivalence avec le principe de Fermat se fait très facilement par "récurrence forte", donc là aussi j'ai préféré modifier.

• Le fait de savoir si l'on peut démontrer la récurrence à partir de principes plus évidents a fait l'objet de débats ardents vers 1900 (Poincaré, Russell, ...). La récurrence se démontre en théorie des ensembles, et c'est intéressant parce que on n'a pas besoin d'ajouter un axiome. Est-ce que l'on a pour autant déduit cette propriété d'axiomes plus simples, dit quelquechose de la nature des entiers ? Probablement pas. Je ne souscrirais tout de même pas au fait que les axiomes sont entièrement arbitraires, et que l'on doit éliminer tout recours à l'intuition, je ne crois pas que les mathématiciens fonctionnent comme ça, et un système axiomatique doit être cohérent, or on a en général aucun moyen de le savoir si ce n'est en se ramenant à un autre système "de même force" (th. d'incomplétude), dans lequel, ultimement, on aura confiance pour des raisons parmi lesquelles l'intuition doit bien jouer son rôle.

• suite définie par récurrence : c'est un autre principe, que l'on utilise souvent sans estimer que cela demande une démonstration. Ca se démontre en théorie des ensembles (en gros on peut montrer l'existence du graphe de la suite comme intersection de graphes de relation ayant la propriété ad hoc). C'est à mon avis l'objet d'un autre article.

• Historique : je signale les deux articles de Bussey et Cajori, en référence dans la version anglaise, (accessibles par Jstor). Il ya une discussion dans Bussey sur Maurolycus, il semble bien qu'il utilise, dans l'exemple cité par Theon sur la somme des impairs, la récurrence au sens moderne (le cas n -> n+1 est bien traité, Bussey donne une référence précise), à la différence qu'il n'y a pas d'axiome ou de principe invoqué (ça ce doit être Dedekind 1888, et Peano 1889). Pascal se réfère à Maurolycus. Il y a aussi un référence à Cauchy (gallica) dans la version allemande. J'ai l'impression qu'il faudrait citer les mathématiciens grecs, tout autant que les arabes, et que Maurolycus apporte vraiment un progrès. Enfin je ne sais pas d'où vient le mot "récurrence", Poincaré utilise "récurrence" mais aussi "induction". Proz 15 juillet 2007 à 18:58 (CEST)

• Aucun étudiant visant à faire des mathématiques n'a de difficulté à faire un raisonnement par récurrence correct. Soit. Cependant, je pense que l'introduction d'une nouvelle méthode de démonstration pose au moins la difficulté d'être acceptée par les mathématiciens. Il n'est pas impensable qu'une nouvelle méthode soit un jour donnée. Le plus difficile dans la présentation de l'histoire d'une science, c'est de ne pas réécrire l'histoire a posteriori.
• Pour les références historiques, il faudrait que je consulte les articles que tu as mentionnés.
• Suite par récurrence : d'accord avec ce que tu dis. Mais reconnais que c'est lié, historiquement, et du point de vue actuel ! Les deux ont été introduits à la même période et probablement par les mêmes personnes. Ekto - Plastor 15 juillet 2007 à 20:58 (CEST)

• Ben en math. on en invente assez souvent de nouvelles méthodes de démonstration, non ?
• histoire : j'avais juste commencé de regarder, je crois que ça évite d'attendre la traduction de Maurolycus (j'ai lu ça en dessous, il y a des candidats ?), mais il faudrait sûrement d'autres références.
• suite : c'est sûrement historiquement lié, je crois bien que c'est dans Dedekind et Peano (à vérifier), mais il ne faut pas laisser croire que l'existence d'une suite définie par récurrence sur les entiers est une conséquence directe du raisonnement par récurrence. Il y a un article relation de récurrence, qui est à retravailler, y compris le titre, mais me semble sur le sujet.

Le début de l'introduction actuelle ne me plait pas trop, elle me semble trop redondante avec la section récurrence simple, on ne peut pas faire plus léger ? Enfin il faudrait placer ailleurs le petit paragraphe actuellement final sur l'évidence de la récurrence (pourquoi ne pas avoir gardé le titre ?). Je n'arrive pas à croire que l'on ne justifie pas la récurrence dans le secondaire (justifier ne signifie pas démontrer). Proz 15 juillet 2007 à 22:27 (CEST)

[modifier] Démonstration du raisonnement par récurrence : ça existe en effet

Il se trouve, comme le demande le requérant initial que l'on peut démontrer le raisonnement par récurrence (comme l’a dit Proz ). Car si c'est un schéma d'axiomes dans la théorie arithmétique, c'est un théorème de la théorie des ensembles (qui s'étend même à tous les ordinaux). J'ai donc initié une nouvelle section énonçant le principe général et esquissant sa démonstration (finalement assez simple si on connait un peu ZF).

Je suis un peu perdu dans le plan de l'article (j'ai un peu modifié le titres des sections) et j'ai mis mon ajout sous une section "récurrence sur les ordinaux". Je crois hors apport historique sur lequel bosse Ektoplastor (purée demander la traduction d'un bouquin en latin médieval sur le bistro, perso j'eus pas osé le faire en espérance; :-) mais si ça marche ...) qu'il faudrait un peu réorganiser les §§ afin que soit plus visible que ce principe est un axiome de AP et un thm de ZF.

Voilou, --Epsilon0 14 juillet 2007 à 21:04 (CEST)

Un paragraphe sur les ordinaux de von Neumann, ça me semble un changement d'orientation complet de l'article. Pour ce qui est de la récurrence, c'est juste une reformulation de la propriété de bon ordre, dans le cas des ordinaux. Franchement je ne crois pas que ça aide beaucoup, une référence à l'article sur les ordinaux ne suffirait-elle pas ? Sinon il faudrait le déplacer dans une autre partie de l'article. Proz 15 juillet 2007 à 18:57 (CEST)

Une généralisation du principe me semble au moins aussi pertinente que diverses formulations équivalentes. Que ce soit "juste une reformulation de la propriété de bon ordre" peut être, mais on ne va p.e pas supprimer cet article car c'est dit sous une autre forme ailleurs. Et si ça peut amener les lecteurs à voir ce que peut être la généralisation de la notion d'entier, ben ce peut être bien et c'est p.e. le but d'une encyclopédie d'inciter à construire du savoir nouveau. Avis des autres? --Epsilon0 15 juillet 2007 à 20:30 (CEST)

Oui pour quelques mots très courts sur les ordinaux.

Pour la "démonstration", je n'aime pas ce mot. Je crois que, en théorie des ensembles, l'ensemble des entiers naturels est construit dans un modèle comme le plus petit ensemble stable par une opération de succession. Donc, on "réaliserait" plutôt par construction le principe de récurrence. Il n'y a rien à démontrer !

Pour la traduction, je vais voir où on en est. Je vais consulter les articles qu'a cité Proz. En ce moment, je réfléchis à la réécriture de l'article géométrie ; j'imagine que la traduction complète du livre prendra un certain temps. L'article Raisonnement par récurrence est très instable. Ekto - Plastor 15 juillet 2007 à 20:49 (CEST)

Oui, la récurrence est effectivement donnée directement par la définition de l'ensemble des entiers. Pour les ordinaux, je voulais juste dire que si on le sait pour les bons ordres on le sait pour les ordinaux (pas besoin de connaître la représentation de von Neumann). Disons qu'actuellement ça fait une rupture de ton, pour les entiers la construction ensembliste n'est même pas donnée, là on part directement sur la définition formelle ... Proz 15 juillet 2007 à 23:22 (CEST)

[modifier] Ordinaux

Le paragraphe sur les ordinaux me semble totalement déplacé dans cet article qui est d'un niveau relativement élémentaire. On peut à la rigueur faire une allusion avec un lien vers Nombre ordinal mais tout développement supplémentaire est hors de propos ici. Le présent article parle de la récurrence sur les entiers, et non de théorie des ensembles et encore moins d'ordinal, sujets abondamment traités par ailleurs. Ce paragraphe devrait donc être supprimé. Theon 19 juillet 2007 à 16:36 (CEST)

Je ne vois pas où dans l'article il est précisé qu'il ne faut se limiter qu'aux entiers. Je viens de constater par exemple (mais ce n'est pas un argument) que côté anglais il y a une petite section "Generalization" ici et sur le B.A. en allemand une phrase "Diese Art der Induktion kann auf Ordinalzahlen angewendet werden (Ordinalzahlen können unendlich und größer werden). In diesem Fall wird die Methode transfinite Induktion genannt. Sie ist wichtig in der Mengenlehre und der Topologie." Bon, je ne défends pas cette section et si vous (Proz, EktoPlastor et Theon) estimez qu'il faut la supprimer où la déplacer je ne m'y opposerai pas. --Epsilon0 19 juillet 2007 à 21:02 (CEST)

Personnellement je n'ai pas du tout d'objection à une section "Généralisation", que je préfèrerais également assez minimaliste et non formelle, avec des pointeurs sur d'autres articles. Proz 23 juillet 2007 à 19:00 (CEST)

Bon, j'avoue ne pas avoir de bonnes idées en terme de formulation qui puisse satisfaire les pertinentes remarques de Théon, Ekto et Proz et les exigeances du sujet.

Comme dit Ekto je pense que la "dem" est p.e. inutile, je ne l'avais mise que parce que j'avais l'impression qu'elle était demandée (cf la section d'avant). Maintenant si on la retire de la section est-ce que le reste satisfait tout le monde?

Ce n'est pas sûr car quitte à généraliser aux ordinaux autant aller sur les ensembles munis d'une relation de bon ordre (b.o.) en général, mais là il faudrait harmoniser avec la section qui parle des bons ordres. Mais perso une telle généralisation me semble inessentielle modulo le thm (sans AC pour ceux qui auraient des doutes) :tout ens muni d'une relation de b.o est isomorphe à un et un seul ordinal.

Aussi je suis tout à fait d'accord pour mettre essentiellement dans une section "généralisation" des liens vers d'autres articles, mais en l'état je ne vois pas où (sur quel article) une formule comme :

∀ α { On(α) ⇒ [ ∀ β ( β ∈ α ⇒ F(β) ) ⇒ F(α) ] } ⇒ ∀ γ { On(γ) ⇒ F(γ) }

est mentionnée (c'est pq j'ai parlé de déplacement).

Elle semble (pas pour moi) trop élevée pour cet article, mais elle est aussi trop particulière pour les articles (nbreux comme dit Théon) sur les ordinaux. Et qu'elle ne soit pas mentionnée me semblerait une perte pour l'encyclopédie. On fait un article à part comme sur :en "Transfinite induction", alors que pour moitié il reprend les sections "Transfinite induction", "Proof or reformulation of mathematical induction" et "Generalization" (au passage, voilà 3 sections un peu redondantes) de l'article "Mathematical induction" ?

Bref, nous sommes face à un pb d'organisation du savoir sachant que wp est organisée en articles et non de manière thématique (format manuel). Ce qui m'a paru le plus judicieux était de faire cette section ici. Maintenant, lors que pr bcp de bonnes raisons cela s'avère inadéquat, que faire (comme dirait Lénine pompant un nihiliste russe) ? Donc je reviens à la première phrase de ce post : je n'ai pas de bonnes idées (sauf à garder en l'état + ajout de liens en virant la "dem"). Via je vous invite réellement à couper-coller-sabrer-renommer la section "rec sur les ordinaux" afin d'harmoniser son contenu avec le reste de l'article et les autres articles (liens). Pour moi elle ne m'appert que comme une section ayant du matos mais à remodeler.

Bon je ne touche à rien et espère fortement que quelqu'un ayant une vision plus synthètique que la mienne touche bcp cette section (j'avoue avoir songé à tout reverter, ce qui est possible, mais au vu des avis ne me semble pas forcèment la bonne solution)

cordialement, --Epsilon0 25 juillet 2007 à 10:27 (CEST)

J'ai l'impression que l'article nombre ordinal, que je trouve plutôt bien (hors sujet : dans les notions basiques, il me semble qu'il manque juste les définitions par récurrence sur un ordinal et d'une classe sur la classe des ordinaux) doit beaucoup à Theon. La récurrence sur la classe des ordinaux y est (exprimée un peu moins formellement). Peut-être est-il le mieux à même de juger si on peut intégrer quelquechose et comment ? Proz 26 juillet 2007 à 01:00 (CEST)

[modifier] Références

Je suis surpris que des références soient demandées sur des choses qui n'existent pas. Il est ainsi demandé des références pour les deux phrases : Les auteurs des premières utilisations du raisonnement de récurrence ne justifiaient pas pourquoi le résultat obtenu devait être vrai et Si le raisonnement par récurrence est aujourd'hui enseigné dans l'enseignement secondaire, sa justification en est absente. Mais si les justifications sont absentes, comment faire une référence vers cette absence ? C'est bien évidemment l'inverse qu'il faut faire. Si un auteur présente le principe de récurrence, alors on peut faire une référence vers son texte. Theon 19 juillet 2007 à 16:56 (CEST)

Hem. Je suis en train de réfléchir à une nouvelle version.

Dire que "les auteurs des premiers raisonnements par récurrence ne justifiaient pas pourquoi le résultat devait être vrai" est une analyse des documents écrits retrouvés. Le sourçage consiste à attribuer cette analyse ou cette lecture des textses d'origine à tel ou tel historien des mathématiques. Il existe de nombreux articles publiés sérieux dont les auteurs ont une opinion personnelle sur l'histoire du raisonnement par récurrence. Les textes d'origine ne peuvent servir de source car ils peuvent être interprétés différemment selon ceux qui les lisent.

Pour la seconde affirmation, non essentielle, elle dit que la justification du raisonnement par récurrence (soit par construction de l'ensemble des entiers naturels, soit en s'appuyant sur une approche axiomatique de l'arithmétique) n'a pas à être enseigné dans l'enseignement secondaire (et pour causes !). HB a donné des informations ci-dessus sur l'évolution de l'enseignement du raisonnement par récurrence dans l'enseignement secondaire en France. En France, les directives et les programmes scolaires peuvent servir par exemple de source. Plus simplement, il existe des sources, des articles sérieux et publiés dont l'étude porte spécifiquement sur les méthodes d'enseignement et sur leur évolution.

Donc, si, si, les sources existent. Je suis en train de rassembler le maximum de sources intéressantes autour de ce thème.

Ekto - Plastor 19 juillet 2007 à 19:09 (CEST)

L'article anglais a évolué et des sources sont fournies. L'absence dans l'article français d'une quelconque allusion à Pascal et son traité du triangle arithmétique est surprenante car il est souvent cité comme le premier à avoir "conçu et employé" le principe de récurrence (Nicolas Bourbaki, éléments d'histoire des mathématiques p 38) . Theon semble considérer que ce n'est pas le cas mais doit-on se lancer dans des travaux inédits ? HB 24 juillet 2007 à 10:14 (CEST)

La difficulté est de s'y retrouver, de comprendre à partir de quand on peut considérer qu'un raisonnement utilise vraiment le principe de récurrence. D'après Bussey (1917), Moritz Cantor, cite d'abord Pascal, puis Maurolico à la suite d'une remarque de Vacca l'auteur de cet article http://www.ams.org/bull/1909-16-02/S0002-9904-1909-01860-9/S0002-9904-1909-01860-9.pdf, qui attribue la récurrence à Maurolico et indique que Pascal l'a lu (il le signale par ailleurs dans une lettre), même s'il n'y fait pas référence dans son traité du triangle arithmétique. D'après Bussey (et Vacca), je comprend que Maurolicus, en une occasion, utilise un lemme qui permet de passer du cas n au cas n+1 (pour montrer que la somme des n premiers impairs est un carré parfait), donc on peut dire qu'il s'agit vraiment de la récurrence au sens moderne. Evidemment il n'utilise pas nos notations algébriques. Mais en d'autres occasions il procède comme ces prédécesseurs, en traitant (de façon suffisament générale) les premiers cas. Toujours d'après ce que je comprend de Bussey (je n'ai pas le traité de Pascal sous la main), Pascal utilise beaucoup plus systématiquement la récurrence comme nous l'entendons (il traite vraiment le passage de n à n+1). Donc il me semble qu'ils doivent bien être cités tous deux, en disant les choses de façon précise on ne s'engage pas sur qui serait vraiment "le premier". L'article anglais cite Jacob Bernoulli : pour des questions de date ça me parait curieux, et Fermat : probablement la descente infinie. Est-ce que Bourbaki dit d'où vient le mot récurrence ? Proz 24 juillet 2007 à 12:18 (CEST)

Pour la descente infinie, avant Fermat, il y a Euclide qui démontre que tout nombre possède un diviseur premier en utilisant le principe de la descente infinie. Bourbaki ne donne pas l'origine du terme. Il précise en outre que l'on trouve des applications du raisonnement par récurrence plus moins conscientes bien avant Pascal. HB 24 juillet 2007 à 12:33 (CEST)

Oui, présenter l'histoire des mathématiques n'a rien d'évident. Comme je l'ai dit plus haut, chaque lecture d'un texte d'origine reste une analyse personnelle, : il suffit de sourcer les informations introduites. Il ne faut pas se limiter à une version unique de l'histoire. La vérité historique dépend de celui qui l'expose. Ekto - Plastor 24 juillet 2007 à 13:16 (CEST)

Toujours dans les références de la version anglaise (vraiment fort intéressante de ce point de vue), l'article de Roshdi Rashed de 1972 [1] (en accès limité hors d'une bibliothèque ou d'un site universitaire), débute par une discussion générale sur l'histoire de l'induction qui je trouve éclaire bien les choses. En bref et simplificateur, Vacca (sur Maurolico) est contesté (usage très réduit), Pascal est remis en avant. Pour les prédécesseurs de Pascal il s'agit de discussions assez fines sur des formes "archaïques" de raisonnement par induction. Quelle est l'édition de Bourbaki (d'après ce que je lis il semble que Bourbaki citait d'abord Maurolico, s'ils ont évolué c'est une indication) ? Sinon je me répond à propos de Bernouilli : il est bien correct de le citer, c'est lui qui le premier critique explicitement certains raisonnements par induction (de Wallis) en demandant que le cas n -> n+1 soit traité explicitement (d'après Cajori). Proz 29 juillet 2007 à 22:34 (CEST)

Pour Bourbaki (éléments d'histoire des mathématiques) c'est l'édition de 1984 et il ne cite aucunement Maurolico. HB 31 juillet 2007 à 18:37 (CEST)

Merci. J'avais finalement pu vérifié directement en bibliothèque : note 17 (hum ... hum ...) du texte actuel.

J'ai fini par me faire une idée à peu près générale, que j'ai rédigée en brouillon, et que je compte mettre à la place de l'historique actuel, reprise partielle de la version anglaise, qui est vraiment inexacte à ce jour, curieux alors que le travail sur les références semble (avis de profane) si bon. C'est long. N'étant pas historien les approximations ne sont pas exclues, j'espère éviter les contresens. La bibliographie suivra. Proz 31 juillet 2007 à 18:12 (CEST)

[modifier] Sources

Lister ci-dessous toutes les sources qui pourraient être utilisées :

• Mathematics and its applications in the sciences de Feibleman ;
• The origin of mathematical induction de Bussey ;
• A paradox relating to mathematical induction d'Albert (amusante erreur)
• Mathematical induction in the classroom d'Avital-Libeskind ;
• On proofs by mathematical induction d'Hoar ;
• A mathematical induction d'Ernest ;
• Origin of the Name "Mathemtical Induction de Cajori ;

Ekto - Plastor 16 juillet 2007 à 13:18 (CEST)

[modifier] De la cohérence interne des modifications

Les deux exemples de récurrence simples ont été changées. Pourquoi pas. Cependant cela élève d'un cran la difficulté de l'exposé car on travaille dans les deux cas sur une somme à nombre de termes non fixes (serie pour la première, formule du binome pour la seconde) . L'exemple de la formule du binome me parait historiquement légitime. Mais quand on modifie, il vaut mieux regarder la suite : dans les "précautions à prendre" qui retombent à une niveau basique, on évoque un exemple qui a maintenant disparu. Il faut donc corriger cela : ou bien on remet l'exemple arithmétique (qui ne fait pas appel à une série et qui a ma préférence je l'avais choisi après mûre réflexion, ou bien on change aussi le contenu de "précaution à prendre". HB 31 juillet 2007 à 23:32 (CEST)

Le changement du premier exemple ça a l'air bien ancien, quel était-il ? Pour le second, effectivement ça ne va pas, je suis plutôt pour le retour à l'ancien exemple. Autant effectivement mélanger les genres et garder un exemple très simple. Peut-être conserver les coefficients binômiaux, plus compliqué mais aussi plus convainquant que la somme des n premiers entiers, que l'on fait mieux en manipulant les sommes (récurrence implicite) et l'ancien second exemple ? Ou alors retour également à l'ancien premier exemple, je vois la somme des carrés en 2005 ? Proz 1 août 2007 à 00:38 (CEST)

J'ai rétabli l'ancien exemple. Ca règle le problème de cohérence. Je me demande si pour le second, il ne faudrait pas quelquechose de plus simple que les coefficients binômiaux. La somme des n premiers nombres impairs est je trouve un bon exemple introductif (l'étape de récurrence donne naturellement le résultat, même si c'est au fond la même chose, c'est plus immédiat que la somme des n premiers entiers), et on pourrait l'illustrer géométriquement. Proz 26 août 2007 à 11:53 (CEST)

Ah, je suis responsable. Non. Je ne suis pas d'accord. Ni avec ce que dit HB, ni avec ce que dit Proz.

Se pose le problème du choix des exemples. A force de choisir des exemples parce que zy zon zolis, parce que ze les zaime bien, on va finir par être encombré d'exemples. On n'écrit pas un traité de mathématiques. Pour les exemples, on peut, pourquoi pas, envoyer le lecteur vers un site en proposant (et il y en a certainement des tas), ou, ce à quoi peu de contributeurs ne pensent malheureusement, l'envoyer vers un cours de la Wikiversité. Si ce cours n'existe pas (ce qui est fort probable), il suffit de l'ébaucher, et de donner les exemples. En plus, on peut donner des tas d'exercices avec solutions.

En quoi l'exemple sur la divisibilité a-t-il la moindre légitimité ? J'ai l'impression que c'est un simple exercice de kholles dont la solution a été rédigée ici. Mais cela ne me semble pas être le lieu. Les seuls exemples qui mériteraient à mon avis d'être cités sont ceux qui présentent soit un intérêt culturel (comme la fractale de Von Koch, mais là, franchement non), un intérêt conceptuel (comme le groupe Z/nZ, mais là, franchement non) ou un intérêt historique (comme l'exemple sur le binôme de Newton ou la somme des n premiers entiers injustement supprimé). On supprime sans réfléchir les exemples historiques et on garde des exemples soit disant pour la pédagogie.

A mon avis, l'intérêt pédagogique devrait être réservé logiquement à la Wikiversité. La plupart des articles des mathématiques me semblent mal rédigées à cause de ça. On a encore la chance de ne pas être nombreux, car imaginez que chaque contributeur écrive son petit exemple favori, on n'aura jamais terminé. Je vais bientôt ouvrir une PdD sur la manière de rédiger un article portant sur les mathématiques, et ce sera l'occasion de reparler sur la manière de choisir un exemple.

Ekto - Plastor 27 août 2007 à 00:00 (CEST)

Je suis tout à fait d'accord sur la non multiplications des exemples introductifs (par ailleurs il faudrait un autre paragraphe d'applications, plus dans le sens de ce que tu proposes). L'exemple supprimé (somme des n premiers entiers) ne s'est sûrement pas fait historiquement comme il était rédigé (c'était de la récurrence implicite, en additionnant la somme retournée, c'est explicite dans certains des articles historiques, Rashed ?, qui le citent comme forme primitive de récurrence). L'intérêt de l'exemple sur la divisibilité (qui a été rétabli, avec quelques modifs mineures, ce n'est pas une nouveauté), c'est le paragraphe "précautions à prendre", ça ne me semble pas inconvenant, mais je n'ai pas de point de vue très affirmé en dehors du fait qu'il faut faire un choix cohérent, et qu'au bout de 26 jours de n'importe quoi, il fallait bien faire quelquechose. Un bon exemple introductif, ça fait aussi partie du mode d'exposition, le choix doit être d'abord celui de la clarté, et de l'accessibilité au plus grand nombre (puisque c'est introductif). Accessoirement celui que je propose est l'exemple de Maurolico, que l'on trouve je crois déjà plusieurs siècles avant chez les mathématiciens arabes. Quant aux "supprime sans réfléchir", "parce que ze les zaime bien", etc., je mets ça sur le compte de la fatigue puisque tu l'invoques. Proz 27 août 2007 à 01:08 (CEST)

Désolé. Je me suis un peu emporté.

Je ne trouve pas que l'exemple d'arithmétique soit plus "simple" que l'exemple de la somme des premiers entiers, ou des premiers entiers impairs ou des premiers carrés (trois exemples qui se valent). Comment définit-on 2^n ? A bien y réfléchir, 2^n se définit par récurrence, au même titre que par exemple. Il me semble impossible de donner une propriété qui se démontre par récurrence et dont les objets étudiés peuvent se définir sans utiliser le prinicipe de récurrence (ou une propriété équivalente). Ne serait-ce parce que je ne sais pas définir autrement l'addition et la multiplication que par récurrence.

Enfin, d'un point de vue oral, il est plus facile de parler de la somme des n premiers entiers, carrés, entiers impairs, ... que de 3 élevé à la puissance 2n que soustrait 2 élevé à la puissance n-3.

J'aurais essayé tous les arguments pour convaincre que l'exemple d'arithmétique n'est pas souhaitable comme exemple introductif ou comme exemple tout court. Kelemvor 28 août 2007 à 13:26 (CEST)

Pour la somme des premiers entiers, ou des premiers entiers impairs ou des premiers carrés : c'est bien du détail. La somme des entiers impairs est la seule des 3, pour laquelle, si je devais l'expliquer sur un coin de nappe, je choisirais quelquechose qui ressemble à la récurrence formelle, d'où ma préférence.

Pour l'exemple arithmétique : tu sous-estimes à mon avis la familiarité que peut avoir le lecteur avec le maniement de certains symboles, en dehors de ça je suis en gros d'accord, le résultat n'a pas d'intérêt en soi, il ne devrait pas apparaître en exemple 1 (erreur de ma part, c'était l'exemple 2 avant). Je propose de le réduire (laissons tomber le calcul de (u_n) ...) et de l'incorporer au § "précautions d'emploi", en précisant son côté "exercice" (l'idéal serait de trouver un exemple "intéressant", susceptible du même traitement, un exemple très similaire qui ne marche pas à cause de l'initialisation mais je ne vois pas). Le premier exemple serait alors la somme des n premiers entiers impairs (ou des entiers si tu y tiens), plus simple que la formule du binôme (moins de symboles, relation de récurrence simple). Proz 28 août 2007 à 20:40 (CEST)

[modifier] Justification du principe de récurrence

Il me semble que le texte de Pascal cité dans la partie historique donne bien une justification (intuitive) de la récurrence. Celle citée dans ce paragraphe est d'ailleurs analogue. Je suppose que certains enseignants du secondaire ne se privent pas d'en faire autant. Je ne pense pas que l'on puisse laisser le texte actuel en l'état. Proz 26 août 2007 à 22:47 (CEST)

[modifier] ou plus généralement sur tous les entiers supérieurs à un entier donné

Je serais partisan de supprimer le membre de phrase « , ou plus généralement sur tous les entiers supérieurs à un entier donné » qui n'apporte pas grand chose, surtout au niveau de la présentation générale, et qui, de plus, n'est pas dans l'esprit (contemporain) de la récurrence ; une garde du genre suffit pour avoir la propriété pour tous les entiers. Pierre de Lyon (d) 8 janvier 2008 à 09:33 (CET)

Le début doit être accessible à un public "débutant" (la récurrence ça s'enseigne dans le secondaire). Les propriétés qu'ils démontrent ça doit être le plus souvent des égalités ou des inégalités : aucune complexité logique. Même dans les premières années de fac les étudiants ont bien des problèmes dès que la formule à démontrer a la moindre complexité logique, l'implication en particulier (que tu peux imaginer, une hypothèse dont on peut se servir, l'autre qu'il faut démontrer). Je ne parle pas des quantifications. La récurrence à partir de n_0 est aussi intuitive que celle à partir de 0 (c'est la même structure). Je ne vois pas le problème. Pour moi ça démontre que la récurrence à partir de 0 a pour conséquence la récurrence à partir de n_0 (démonstration qui est déjà indiquée, avec une disjonction, ce qui me semble un poil plus simple à comprendre, cf. ci-dessus et surtout l'initialisation), ou avec addition (une façon un peu détournée de dire que la structure est la même). Maintenant qu'est-ce qui doit apparaître dans le résumé ? Quand je suis intervenu sur cet article (avec d'autres), j'ai eu l'impression que certains tenaient à ce que la récurrence soit "par défaut" à partir de n'importe quel entier. Tant que l'on dit bien que ça se ramène à celle à partir de 0 , pour moi ça va. Par contre je ne suis pas pour ta reformulation dans le paragraphe "précautions d'emploi", qui n'a d'intérêt que pour des débutants. Ta modification à mon avis ne leur facilite pas la lecture.

Le principe de récurrence Artin est très amusant : as-tu un exemple court, ou un redirect vers un autre article où il y en a un ?

Pour le dernier paragraphe : il y avait plus ou moins accord pour que les aspects formels (axiomatiques) soient traités dans un autre article (il y a arithmétique de Peano) (et je ne comprends pas en quoi parler de fonction booléennes aide). Proz (d) 8 janvier 2008 à 22:51 (CET)

complément voilà ce que j'avais mis pour l'intro http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Raisonnement_par_r%C3%A9currence&oldid=18344697, avec une belle faute d'orthographe mais quelqu'un est revenu dessus. Je trouve effectivement plus simple de partir de 0 dans le § d'ouverture, mais il faut en dire un peu plus sur la récurrence à partir de k dans le § "récurrence simple". Proz (d) 8 janvier 2008 à 23:14 (CET)

Je me suis mal fait comprendre, je ne souhaitais pas parler de « garde » dans l'introduction de l'article, surtout pas, car j'ai tous les arguments que tu donnes dans la tête, notamment celui de l'enseignement secondaire. Je voulais seulement indiquer que la récurrence est une méthode pour démontrer une propriété sur tous les entiers naturels. Mon argument sur la garde (qui n'avait pour but d'être que dans la page de discussion) était pour monter qu'ainsi on ne perdait rien par rapport à une récurrence soi-disant plus générale.

J'avais reformulé la section "précaution à prendre" par ce que je ne comprenais pas celle qui y était, ce qui est très embêtant, car si moi qui suis bac + 10n; je ne comprends pas, je ne crois pas qu'un bac-2 puisse comprendre. C'est en général ce qui guide mes propositions de reformulation. Ceci dit, j'adhère complètement à la formulation actuelle.

Artin utilise sa méthode de récurrence pour monter que si une fonction (dite convexe) satisfait

alors elle satisfait:

Je discutais de ce principe de récurrence avec l'un des auteurs du livre sur Coq, dit « Coqart », qui l'appelaient « bizarre » ("weird") dans l'exercice 8.18 et quelqu'un m'a dit que ce principe aurait été déjà connu de Poincaré et utilisé par lui.

Pierre de Lyon (d) 14 janvier 2008 à 15:26 (CET)

Oui j'ai un peu enfoncé des portes ouvertes, désolé. J'ai simplifié et déplacé la récurrence à partir d'un certain rang dans le § définition.

Pour l'exemple d'Artin : y-a-t-il une hypothèse sur f ? Proz (d) 14 janvier 2008 à 22:49 (CET)

Non pas que je sache. On montre que

implique

puis que

implique

en utilisant

.

Pierre de Lyon (d) 15 janvier 2008 à 20:54 (CET)

Pour les curieux, j'ai trouvé la référence actuelle du livre d'Artin sur la fonction gamma qui a été réédité en 2006, il s'agit de Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006). Et si vous êtes très pressé ou très curieux, allez là, puis feuilletez jusqu'à la page 5.

N. B. L'édition originale en allemand, de 1931, est Einführung in die Theorie der Gammafunktion. — Leipzig, B. G. Teubner, 1931 (Hamburger mathematische Einzelschriften, 11). Pierre de Lyon (d) 4 mars 2008 à 08:21 (CET)

J'ai failli dire, faut mettre la ref dans l'article et non ici, mais je vois que tu l'as fait. Donc oui, je suis un curieux qui va aller voir. --Epsilon0 ε₀ 4 mars 2008 à 10:19 (CET)

Je serais pour plutôt citer cet exemple de Artin (en résumant évidemment), et en faisant ressortir le principe utilisé, plutôt que des généralisations que l'on peut imaginer assez vite, mais sans applications. Il manque par ailleurs dans l'article quelques exemples d'utilisations un peu "élaborées" de la récurrence (ça pourrait être une une section à organiser, il ne s'agit pas d'aligner des exemples en vrac). Proz (d) 4 mars 2008 à 14:49 (CET)