Discuter:Paradoxe de Russell
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
| Évaluation de l'article Paradoxe de Russell | |||
| Importance : | Élevée |  |
pour le projet Mathématiques (évaluation • liste • comité • historique • sélection) |
| Avancement : | B |  |
(à compléter) |
| Vous pouvez directement modifier cet article ou visiter les pages des projets concernés pour prendre conseil auprès des autres contributeurs. | |||
Sommaire |
[modifier] Réfutation du paradoxe de Russell
Si le mathématicien Frege avait été linguiste en plus d'être mathématicien, il n'aurait pas été découragé devant le paradoxe que lui présentait Russell et on aurait peut-être actuellement un aperçu plus solide de la théorie des ensembles selon Cantor.
Le paradoxe de Russell repose sur l'idée qu'il existe des ensembles qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes.
Russell raisonne absolument juste sur une base qui est fausse, car il n'existe pas d'ensembles qui ne soient pas éléments d'eux-mêmes. Un ensemble de choses est une chose abstraite. Personne ne peut " peser " ou " porter " un ensemble, car nous sommes dans le domaine du symbole, non dans celui de l'objet.
Parler de l'ensemble de quelque chose suppose que notre pensée a atteint le stade du langage conceptuel, c'est-à-dire que nous sommes capables de schématisation. C'est ainsi que tout nombre est un ensemble.
Lorsque Russell dit que l'ensemble des cafetières n'est pas lui-même une cafetière, il se trompe. L'ensemble des cafetières étant une schématisation, il est donc aussi une cafetière, " cafetière " étant compris comme SYMBOLE (non comme objet). On peut dire que l'ensemble des cafetières est représenté par le symbole CAFETIERE, qui est à la fois élément (une cafetière) et ensemble (la cafetière en général).
Prenons une comparaison : l'ensemble des femmes se rendant au vestiaire " femme " est représenté par le symbole FEMME figurant sur la porte, qui signifie à la fois UNE femme et TOUTES les femmes.
Tout signe, tout mot, tout nombre sert à la fois comme dénomination (élément) et comme symbolisation (ensemble).
Le symbole " 10 " représente l'ensemble des dix premiers chiffres ET le nombre dix lui-même.
Ainsi, l'ensemble de tous les ensembles est symbolisé par le signe (ou le mot) ENSEMBLE, et il est évidemment élément de lui-même.
Le langage mathématique tombe dans l'absurde lorsqu'il se sépare du langage tout court. N'en déplaise aux mathématiciens, la logique d'un discours mathématique, aussi dépouillée soit-elle en apparence, est subordonnée aux mécanismes linguistiques, lesquels procèdent d'une logique autrement plus touffue et difficile à circonscrire que celle, plutôt binaire, présidant à la construction d'une démonstration. Je crois que la compréhension des différents éléments syntaxiques d'une langue pourrait, dans l'avenir, permettre l'élaboration de mathématiques moins binaires tout en étant plus aptes à éviter les pièges du langage de tous les jours.
En somme, le paradoxe de Russell confond chose abstraite et chose concrète (langage et réalité). Au niveau du concret, le concept d'ensemble n'a pas lieu d'être. Dans une forêt, vous ne voyez et touchez que " des arbres ". Si vous parlez " d'ensemble d'arbres ", alors c'est du concept " arbre " dont il s'agit, et non plus de l'objet " arbre ". Et tout concept est ensemble et élément de lui-même.
L'ensemble des ensembles non éléments d'eux-mêmes appartient à l'ensemble des non-ensembles, comme l'ensemble des couleurs qui ne sont pas des couleurs, ou l'ensemble des choses qui ne sont pas des choses. Il correspond à une réalité linguistique (puisque tout langage est par définition de nature axiomatique), voire poétique, mais ne correspond à aucune réalité mathématique, sinon comme ensemble vide. Nombre de paradoxes passant pour être propres aux mathématiques ne sont finalement que des paradoxes linguistiques. Et je rangerai tout particulièrement dans ces derniers le paradoxe cantorien d'une " infinité d'infinis ".
On peut formaliser cette thèse comme suit :
K ) S ) T ) M ) N
qui se lit :
Concept contient signe contient symbole contient mot contient nombre.
On a, pour chacun des sous-ensembles :
K contient K appartient K
S contient S appartient S
T contient T appartient T
M contient M appartient M
N contient N appartient N
- "L'ensemble des cafetières étant une schématisation, il est donc aussi une cafetière,."
- Non, l'ensemble des cafetières ne désigne pas "la cafetière en générale", mais :ensemble_des_cafetiere est un signifiant qui permet de regouper tous les objets qui sont des :cafetières. ensemble_des_cafetiere n'est pas une cafetière, car justement, ensemble_des_cafetiere :n'a pas de correspondance dans le monde réel, et une propriété pour être une cafetière est :d'appertenir au monde réel. Dans le même ordre d'idée, le mot cafetière n'est pas une cafetière, :c'est un mot. Voir Ceci n'est pas une pipe. Epommate 29 avr 2005 à 13:43 (CEST)
Lorsque tu penses à " ETOILE ", tu n'imagines pas seulement UNE étoile, mais DES étoiles. Le propre du symbole est d'amalgamer la partie avec le tout, le défini avec l'indéfini, ce qui n'est pas toujours le cas de l'objet. C'est parce que le mot ETOILE est un mot (donc un symbole) qu'il est aussi un ensemble.
Il n'y a pas d'ensemble au niveau de l'objet, puisque la notion d'ensemble est abstraite. Tout signe est un symbole, et tout symbole est une totalité. Autre chose : la logique n'appartient pas au monde " réel ". Ianop 3 juin 2005 à 23:02
J'ai abandonné la notion de Signifiant et Signifié, qui compliquait les choses. Je pense que maintenant ce sera plus clair pour tout le monde (Ianop, 20 juin 2005).
Je me suis permis de citer Wittgenstein, qui traite de ce paradoxe dans son Tractatus. Si quelqu'un veut détailler la chose... --http://www.20six.fr/kubrick 23 août 2005 à 19:39 (CEST)
C'est une excellente référence. malheureusement, j'en connais trop peu sur sur cet auteur pour en parler avec profit. Ianop 19 août 2005 à 08:52 (CEST)
Je n'avais pas lu le reste de la discussion: dans le Tractatus de Wittgenstein (3.331), Wittgenstein ne renie pas le fondement de la théorie des classes en elle-même. Schématiquement, il parle de la théorie d'Occam selon lequel "si un signe n'a pas d'usage, il n'a pas de signification" (3.328) De là, il traite de la syntaxe logique. (3.33) Il en conclut que Russel parle de la signification des signes pour établir leur syntaxe, ce qui est donc en soi un paradoxe si on suit la théorie des classes "de Russell"
En quelques sortes, il veut résoudre ce paradoxe en utilisant la théorie des classes, mais en y apportant quelques ajustement par rapport à ce que Russell a pu dire (et dont je ne détaillerai rien d'autre que ce que Wittgenstein m'en dit, car je ne connais pratiquement pas cet auteur. --http://www.20six.fr/kubrick 23 août 2005 à 20:03 (CEST)
Mort de rire à la lecture des pseudo-arguments plus haut: "Le paradoxe de Russell repose sur l'idée qu'il existe des ensembles qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes." -> Même pas: l'idée de parler de l'ensemble des bidules qui schtroumpfent, n'est en rien invalidé par l'idée que peut-être aucun bidule ne schtroumpfe, ce dernier cas étant parfaitement valide et portant sur l'ensemble vide. (voir mon explication du paradoxe de Russel)--Spoirier 27 octobre 2007 à 18:45 (CEST)
[modifier] Ebauche
Après quelques modifs (détails d'expression, et selection des deux solutions couramment admises) j'ai mis ébauche car au moins :
- L'aspect historique est absent, pas de date, Frege non mentionné ...
- Le "principe" de compréhension est à expliquer
Proz 30 avril 2006 à 02:22 (CEST)
Effectivement, c'est corrigé. Proz 30 avril 2006 à 11:07 (CEST)
J'ai enlevé "ébauche" après quelques ajouts, bien que cela manque encore de références, en particulier sur les sources originales. Proz 25 septembre 2006 à 23:28 (CEST)
[modifier] Question
Le paradoxe de Russel doit-il amener à considérer qu'on ne peut pas parler de l'ensemble de tous les ensembles, en théorie des ensembles ? Le langage des catégories permet de considérer par exemple la catégorie des ensembles. J'ai tendance à penser qu'un avantage de ce langage est précisément celui-ci, et je me dis que cela vient de ce que la structure mathématique de catégorie est plus souple que celle d'ensemble. Est-ce une conception fondée ? Si oui, peut-on envisager de faire un paragraphe qui expliquerait le lien entre paradoxe de Russel et développement du langage des catégories ? Merci, Salle 4 janvier 2007 à 17:48 (CET)
Je suis tout à fait ignare en théorie des catégories, mais je ne crois pas que cela soit à mettre sur le même plan : ce n'est pas en tant que telle une théorie des fondements. A priori on parle plus facilement de catégories dans la théorie des classes de von Neumann-Bernays-Gödel (version anglaise en:Von Neumann–Bernays–Gödel set theory plutôt bonne), qui, est une variante de la théorie ZFC. Pour reprendre ton exemple on peut parler de la classe de tous les ensembles : dans ZFC cela n'est pas un objet de la théorie mais un prédicat, dans NBG c'est un objet de la théorie. Du point de vue de l'« utilisateur » ça n'a pas grande importance : on peut parler de classe dès que l'on est capable de la définir par une propriété. C'est un autre problème de savoir si la théorie des ensembles est commode : elle l'est quand on veut se poser des questions d'indépendance, de cohérence relative, choix, continu ..., pas forcément comme outil de formalisation. C'est encore un autre problème de savoir si la notion d'ensemble est bien la notion primitive. Il existe, je crois, des tentatives de théories des fondements basées sur les catégories (dont je ne connais rien).
En bref, aucun rapport à mon avis entre le développement du langage des catégories et le paradoxe de Russell. Proz 4 janvier 2007 à 18:30 (CET)
D'accord merci. Je m'étais fait une petite réponse personnelle à la question pourquoi les catégories ? Elle ne tient pas la route mais ce n'est pas surprenant. Je ferais mieux de lire MacLane.Salle 4 janvier 2007 à 18:50 (CET)
[modifier] Théorie des ensembles ou logique ?
La phrase de l'article « La théorie des ensembles de Georg Cantor était également concernée par le paradoxe de Russell » semble dire que le paradoxe de Russell est un paradoxe qui se situe au niveau de la logique et à peine au niveau de la théorie des ensembles. Ca me parait être le contraire. Ce paradoxe, qui n'apparait qu'en théorie naïve des ensembles (c'est-à-dire la formulation ensembliste non formalisée), n'a à voir qu'avec les axiomes de la théorie des ensembles qui doivent choisis avec soin pour éviter ce paradoxe et le paradoxe ne me parait pas affecter la logique. Pierre de Lyon (d) 28 janvier 2008 à 09:46 (CET)
- c'est en référence au paragraphe précédent : le paradoxe s'écrit dans la théorie de Frege, qui est une tentative de réduction des mathématiques à la logique. Pour la théorie de Cantor c'est moins clair, car déjà elle n'est pas formalisée, et Cantor n'a pas je crois énoncé d'axiome de compréhension non borné. Il est plus que probable d'ailleurs qu'il a évolué, mais par exemple dans sa correspondance de la fin des années 1890 (lettre à Hilbert de 1896, à Dedekind de 1899), il est clair qu'il ne considère pas que tout prédicat définit un ensemble. Bien-sûr le paradoxe n'apparait que si d'une façon ou d'une autre on identifie prédicat et ensemble. Proz (d) 28 janvier 2008 à 21:21 (CET)
