Opérateur unitaire

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En analyse fonctionnelle, un opérateur unitaire est un opérateur linéaire $U$ d'un espace de Hilbert satisfaisant les conditions :

U * U = U U * = I

où $U *$ est l'adjoint de $U$ , et $I$ l'opérateur identité. Cette propriété est équivalente à :

$U$ est un opérateur à domaine dense, et
$U$ préserve le produit scalaire < , > sur l'espace de Hilbert. Autrement dit, pour tous vecteurs $x$ et $y$ de l'espace de Hilbert,

$\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle.$

Le fait que $U$ préserve le produit scalaire implique que $U$ est une isométrie (et donc un opérateur linéaire). Le fait que $U$ possède un domaine dense assure que sont inverse U^-1 est borné. Il est clair que U^-1 = U*.

Par conséquent, les opérateurs unitaires apparaissent comme des isomorphismes de l'espace de Hilbert, c’est-à-dire qu'ils en préserve la structure et la topologie.

[modifier] Exemples

La fonction identité est, de manière triviale, un opérateur unitaire.

Dans l'espace vectoriel C des nombres complexes, la multiplication par un nombre complexe de module 1 (c.a.d un nombre de la forme e^{i θ} pour θ ∈ R), est un opérateur unitaire. La valeur de θ modulo 2 $π$ n'affecte pas le résultat de la multiplication, et par conséquent les opérateurs unitaires de C sont paramétrés par un cercle. Le groupe correspondant, dont l'ensemble est le cercle unité, est appelé U(1).

Plus généralement, les matrices unitaires sont très exactement les opérateurs unitaires pour les espaces de Hilbert de dimension finie; par conséquent la notion d'opérateur unitaire est une généralisation de la notion de matrice unitaire. Les matrices orthogonales sont un cas particulier des matrices unitaires, pour lesquelles tous les coefficients sont réels. Ce sont les opérateurs unitaires de Rⁿ.

l'opérateur de Fourier (c.a.d l'opérateur qui effectue une transformation de Fourier) est un opérateur unitaire (avec une normalisation adéquate). C'est une conséquence du théorème de Parseval.

[modifier] Propriétés

Le spectre d'un opérateur unitaire U est le cercle unité. Autrement dit, pour tout nombre complexe λ du spectre, |λ|=1. C'est une conséquence du théorème spectral pour les opérateurs normaux.