Observateur d'état

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En automatique et en théorie de l'information, un observateur d'état est une extension d'un modèle représenté sous forme de représentation d'état. Lorsque l'état d'un système n'est pas mesurable, on construit un observateur qui permet de reconstruire l'état à partir d'un modèle du système dynamique et des mesures d'autres grandeurs.

La théorie de l' observateur d'état déterministe a été introduite dans les années soixante par Luenberger pour les systèmes linéaires. Kalman a également formulé un observateur en considérant un système linéaire stochastique. Pour les systèmes non-linéaires, l'observation reste un domaine où la recherche est très active, mais l'utilisation la plus commune est l'emploi d'un filtrage de Kalman étendu (EKF).

Sommaire

1 Architecture avec un observateur
2 Observateur de Kalman
3 Commande par retour d'état reconstruit par un observateur de Kalman
4 Bibliographie
5 Voir aussi

[modifier] Architecture avec un observateur

On utilise la notation "chapeau" pour exprimer une estimation. Si X représente l'état réel du système non mesuré, $\hat X$ représente l'estimation de l'état faite par l'observateur.

L'estimation de l'état se fait en recopiant de façon virtuelle la dynamique du système en prenant en compte la commande U mais également les sorties du systèmes (les mesures) Y dans le but de corriger les écarts éventuels.

[modifier] Observateur de Kalman

Soit le système linéaire suivant :

$\begin{cases} \dot X = A X + B U \\ Y = C X \end{cases}$

Un observateur dynamique a la forme suivante :

$\begin{cases} \dot \hat X = A \hat X + B U + L (Y - \hat Y) \\ \hat Y = C \hat X \end{cases}$

On vient corriger l'évolution de l'état grâce au modèle en fonction de l'écart constaté entre la sortie observée et la sortie reconstruite par l'observateur : $(Y - \hat Y)$ .

On peut réécrire l'observateur de la manière suivante :

$\dot \hat X = (A - LC) \hat X + B U + L Y$

on vérifie bien que l'observateur reconstruit l'état X en fonction de la commande U et des mesures Y comme sur le schéma ci-dessus.

La matrice L est appelée matrice de gain et doit être choisie de manière à ce que l'erreur sur l'état converge exponentiellement vers 0, soit $\tilde X=(\hat X - X) \to 0$ . Pour cela, il suffit de choisir L telle que la matrice (A-LC) soit une matrice Hurtwitz, c’est-à-dire que ses valeurs propres soient à parties réelles négatives dans le cas continu ou possèdent un module inférieur à 1 dans le cas discret.

[modifier] Commande par retour d'état reconstruit par un observateur de Kalman

L'observateur linéaire de Kalman - Luenberger possède une caractéristique intéressante connue sous le nom de principe de séparation : dans le cas d'une commande linéaire par retour d'état, les travaux de synthèse de commande et de synthèse d'observateur peuvent se faire de façon indépendante. En effet, si le système commandé est stable, et si l'observateur ainsi conçu est stable (i.e. les matrices $A - B K$ et $A - L C$ sont Hurtwitz) alors le système commandé par retour de l'état reconstruit est stable.

En effet, considérons le système linéaire invariant suivant, observable et commandable, muni d'un observateur de Kalman - Luenberger :

$\begin{cases} \dot X = A X + B U \\ Y = C X \end{cases} \begin{cases} \dot \hat X = A \hat X + B U + L (Y - \hat Y) \\ \hat Y = C \hat X \end{cases}$

En réalisant un bouclage par retour d'état $U = -K \hat X$ , la dynamique du système bouclé s'écrit alors :

$\begin{cases} \dot X = A X - B K \hat X \\ \dot \hat X = (A - BK) \hat X + L (Y - C \hat X) \end{cases}$

On peut faire le changement de variable suivant, pour écrire l'erreur de reconstruction :

$\tilde X = X - \hat X$ d'où, en remplaçant, $\dot \tilde X = (A - LC) \tilde X$

En écrivant un nouveau système augmenté, constitué de l'état et de l'erreur de reconstruction, on obtient :

$\begin{pmatrix} \dot X \\ \dot \tilde X \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A-BK & BK \\ 0 & A-LC\end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ \tilde X \end{pmatrix}$

Cette matrice a le bon goût d'être triangulaire par blocs, et par conséquent le spectre du système bouclé est constitué de l'union des spectres des blocs diagonaux, c’est-à-dire l'union des spectres du système initial commandé, et du système initial observé. Ainsi la synthèse d'un système commandé par un retour d'état reconstruit par un observateur est particulièrement simple pour les systèmes linéaires invariants, puisque on peut synthétiser les deux fonctions séparément.

Quelques remarques :

Pour le placement de pôles, on a tout intérêt à ce que l'observateur soit plus rapide que le système dynamique, de façon à ce qu'il puisse poursuivre le système en question. Ainsi il faudra que l'abscisse spectrale de l'observateur soit plus négative que celle du système commandé.
Du fait de sa nature dynamique (intégration des signaux de mesure) l'observateur est également utilisé en traitement du signal pour filtrer des mesures. C'est dans ce contexte que Kalman à publié le filtre qui porte désormais son nom.
L'abscisse spectrale ne doit pas être trop négative, pour limiter la sensibilité au bruit de l'observateur. En pratique, on utilise des valeurs comprises entre 2 et 5 fois celle de l'abscisse spectrale du système commandé.
Une commande fondée sur un retour d'état reconstruit n'est pas robuste aux erreurs de modélisation. Ce fait est assez intuitif car on passe par une approche basée modèle pour reconstruire notre état, donc la précision de l'état reconstruit dépend de la pertinence du modèle utilisé.

[modifier] Bibliographie

D. G. Luenberger, Observing the state of a linear system. IEEE Transaction on Military Electronics, (8):74-80, 1964
R.E. Kalman and R. Bucy, New results in linear filtering and prediction. Journal of Basic Engineering(ASME),83D:98-108, 1961
A. Gelb, Applied Optimal Estimation. The MIT press, Massachusetts Institute of Technology, 1974
J.P. Gauthier Deterministic observation theory and applications. Cambridge University Press, 2001, isbn 0521805937