Nombre taxicab

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En mathématiques, le nième nombre taxicab, noté Ta(n) ou Taxicab(n), est défini comme le plus petit nombre qui peut être exprimé comme une somme de deux cubes positifs non nuls de n façons distinctes à l'ordre des opérandes près. Hardy et E. M. Wright démontrèrent en 1954 que de tels nombres existent pour tous les entiers n ; néanmoins, leur preuve n'indique pas comment les construire, et pour le moment, seuls les cinq premiers nombres taxicab sont connus :

$\operatorname{Ta}(1) = 2 = 1^3 + 1^3$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(2)&=&1729&=&1^3 + 12^3 \\&&&=&9^3 + 10^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(3)&=&87539319&=&167^3 + 436^3 \\&&&=&228^3 + 423^3 \\&&&=&255^3 + 414^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(4)&=&6963472309248&=&2421^3 + 19083^3 \\&&&=&5436^3 + 18948^3 \\&&&=&10200^3 + 18072^3 \\&&&=&13322^3 + 16630^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(5)&=&48988659276962496&=&38787^3 + 365757^3 \\&&&=&107839^3 + 362753^3 \\&&&=&205292^3 + 342952^3 \\&&&=&221424^3 + 336588^3 \\&&&=&231518^3 + 331954^3\end{matrix}$

[modifier] Histoire

Ta(2) fut publié en premier par Bernard Frénicle de Bessy en 1657 et fut plus tard immortalisé par un incident impliquant les mathématiciens Hardy et Srinivasa Ramanujan :

« Je [G. H. Hardy] me rappelle qu'une fois en allant le voir [Ramanujan] lorsqu'il était couché et malade à Putney, j'ai été conduit dans un taxi-cab portant le n°1729, et remarquai que le nombre (7·13·19) semblait plutôt ennuyeux, et j'espérai qu'il ne fût pas un présage défavorable. « Non », me dit-il, « c'est un nombre très intéressant ; il est le plus petit nombre exprimable comme une somme de deux cubes [positifs] en deux manières différentes. »

Les nombres taxicab postérieur furent trouvés avec l'aide d'ordinateurs; John Leech obtint Ta(3) en 1957, E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel trouvèrent Ta(4) en 1991, et David W. Wilson trouva Ta(5) en novembre 1997.

[modifier] Futur

Ta(6) n'a pas encore été trouvé, ou du moins prouvé, à ce jour ; néanmoins, le même Wilson a trouvé une somme de 6 manières montrant que le 6^e nombre taxicab Ta(6) est ≤ 8 230 545 258 248 091 551 205 888. En 1998, Daniel J. Bernstein montra que 391 909 274 215 699 968 ≥ Ta(6) ≥ 10¹⁸, et en 2002, Randall L. Rathbun donna une preuve que Ta(6) ≤ 24 153 319 581 254 312 065 344. Récemment, en mai 2003, Stuart Gascoigne vérifia que Ta(6) > 6,8 · 10¹⁹, et Cristian S. Calude, Elena Calude et Michael J. Dinneen montrèrent qu'avec une haute probabilité (> 99 %), Ta(6) = 24 153 319 581 254 312 065 344.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

[modifier] Liens externes

la séquence A011541 de l'OEIS
Message électronique de Randall L. Rathbun annonçant sa découverte de 24 153 319 581 254 312 065 344

[modifier] Références

G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 3rd ed., Oxford University Press, London & NY, 1954, Thm. 412.
J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957.
E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x³ + y³ = z³ + w³ = u³ + v³ = m³ + n³, Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155-157; MR 92i:11134, en ligne
David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48 988 659 276 962 496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), en ligne
D. J. Bernstein, Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d), Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389--394.
C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196-1203