Nombre de Graham

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Le nombre de Graham, du nom du mathématicien Ronald Graham, est un entier naturel connu pour être le plus grand nombre jamais utilisé dans une démonstration mathématique. Il est beaucoup trop grand pour être écrit grâce à la notation scientifique et nécessite une notation permettant d'écrire de très grands nombres. Toutefois, il est possible d'obtenir ses derniers chiffres sans trop de difficulté (les dix derniers sont ...2464195387).

[modifier] Le problème de Graham

Le nombre de Graham entretient un lien avec une branche des mathématiques connue sous le nom de théorie de Ramsey :

Soit un hypercube de dimension n dont on relie tous les couples de sommets pour obtenir un graphe complet à

2 n

sommets (et donc

2 n - 1 (2 n - 1)

arêtes). Si l'on colorie chacune des arêtes du graphe en bleu ou en rouge, quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle toutes les façons de colorier le graphe permettent d'obtenir quatre sommets coplanaires tels que le sous-graphe complet qu'ils déterminent ait toutes ses arêtes de la même couleur ?

Bien qu'il n'existe pas de réponse à cette question, le nombre de Graham est la plus petite solution connue.

Dans son livre 'Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers' sorti en 1989, Martin Gardner a écrit que « les spécialistes de la théorie de Ramsey estiment que la valeur du nombre de Ramsey pour ce problème est 6 », faisant peut-être du nombre de Graham la pire plus petite borne supérieure jamais découverte. Plus récemment, Geoff Exoo de l'Université d'Indiana a démontré que le résultat ne peut être inférieur à 11 et semble penser que la réponse est plus grande.

[modifier] Définition du nombre de Graham

Le nombre de Graham est le 64^e terme de la suite :

$4,\ 3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3,\ 3\uparrow\cdots\uparrow3,\ 3\uparrow\cdots\uparrow3,\ \ldots$

où chaque terme est le nombre de flèches nécessaires à l'écriture du terme suivant, en utilisant la notation des puissances itérées de Knuth.

De façon équivalente, soit f(n) = hyper(3,n+2,3) = 3→3→n ; alors le nombre de Graham est la valeur de la 64^e itérée de la fonction f au point 4.

Le nombre de Graham G lui-même ne s'exprime pas commodément avec la notation des flèches chaînées de Conway, mais on a l'encadrement

$3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2 < G < 3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2$ .