Hypercube

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Cet article fait référence au concept mathématique. Pour le film du même nom, voir Cube² : Hypercube.

Une projection d'un hypercube (dans une image bi-dimensionnelle)

En géométrie, un hypercube est un analogue n-dimensionnel d'un carré (n = 2) et d'un cube (n = 3). C'est une figure fermée, compacte, convexe constituée de groupes de segments parallèles opposés aligné dans chacune des dimensions de l'espace, en angle droit les uns les autres.

Un hypercube n-dimensionnel est aussi appelé un n-cube. Le terme "polytope de mesure" (qui est apparemment dû à Coxeter; voir Coxeter 1973) est aussi utilisé mais il est rare.

Sommaire

1 Définition
2 Représenter un hypercube de dimension n
3 4 dimensions
4 n dimensions
5 Éléments
6 Rotation d'un n-cube
7 Représentations artistiques
8 Voir aussi
9 Références
10 Liens externes

[modifier] Définition

Si E est un espace euclidien de dimension n muni d'une base orthonormale, on peut définir un hypercube unité comme l'hypercube dont les 2ⁿ points dans Rⁿ avec des coordonnées égales à 0 ou 1. Les hypercubes sont les figures obtenues à partir de l'hypercube unité par des similitudes.

[modifier] Représenter un hypercube de dimension n

Pour représenter un hypercube de dimension n, on procède comme suit :

Dimension 1 : Un point est un hypercube de dimension zéro. Si on déplace ce point d'une longueur unité, il balaiera un segment de droite, qui est un hypercube unité de dimension un

Dimension 2 : Si on déplace ce segment d'une longueur unité dans une direction perpendiculaire à partir de lui-même; il balaie un carré bi-dimensionnel.

Dimension 3 : Si on déplace le carré d'une longueur unité dans la direction perpendiculaire à l'emplacement de celui-ci, il engendrera un cube tri-dimensionnel.

Dimension 4 : Si on déplace le cube d'une longueur unité dans la quatrième dimension, il engendrera un hypercube unité quadri-dimensionnel (un tesseract unité).

...

Dimension n > 3 : On trace un hypercube de dimension n-1, on reproduit son image et on lie les points deux à deux

En résumé, la construction d'un cube se fait par la translation du cube de dimension inférieure selon un axe perpendiculaire aux dimensions de ce cube.

Chaque nouvelle dimension est perpendiculaire aux précédentes

Les hypercubes sont une des quelques familles de polytopes réguliers qui sont représentés dans un nombre quelconque de dimensions. Le polytope dual d'un hypercube est appelé un polytope croisé. le 1-squelette d'un hypercube est un graphe hypercube.

Une généralisation du cube aux dimensions plus grandes que trois est appelée un “hypercube”, “n-cube” ou “polytope mesure”. Le tesseract est l'hypercube quadri-dimensionnel ou 4-cube. C'est un polytope régulier. C'est aussi un cas particulier de parallélotope : un hypercube est un parallélotope droit dont les arêtes sont de même longueur.

Le patron d’un hypercube.

[modifier] 4 dimensions

L’hypercube à quatre dimensions est également appelé tesseract en anglais, d'après Charles Howard Hinton.

D'après la formule de Gardner, on peut retrouver les propriétés du tesseract en développant (2x + 1)⁴ :

(2x + 1)⁴ = 16x⁴ + 32x³ + 24x² + 8x + 1

Donc l'hypercube est composé de :

16 sommets ;
32 arêtes ;
8 faces cubiques (soit 24 faces planes) : chacune des faces du tesseract est un cube.

L'intersection d'un hypercube avec un hyperplan donne l'équation cartésienne :

ax + by + cz + dw = e

Avec les quatre coordonnées de l'hyperespace de dimension 4, à savoir x, y, z, et w. En réalité, un hyperplan en quatre dimensions peut être comparé à l'espace tridimensionnel, c’est-à-dire que l'intersection d'un hypercube avec un plan est en fait une projection 3D de cet hypercube.

Volume : c⁴, avec c le côté de l'hypercube.
Aire totale : 24c²

Les faces d'un hypercube sont :

Avant / Arrière
Gauche / Droite
Haut / Bas
Ana / Kata

[modifier] n dimensions

Un hypercube à n dimensions possède :

V_n = 2ⁿ sommets ;
S_n = 2 × S_n-1 + V_n-1 arêtes ; (ou n × 2^n-1)
F_n = 2 × F_n-1 + S_n-1 faces planes ;
HF_n = 2 × HF_n-1 + F_n-1 hyperfaces (cubes ou faces cubiques) ;
Il en va de même pour les hyperfaces en 5 dimensions (faces hypercubiques) etc.
De manière générale, le nombre de faces à k dimensions d'un hypercube à n dimension est égal à

$f_k(H_n) = {n \choose k}2^{n-k}$

Le nombre total de faces d'un hypercube est de $3 n - 1$
Volume = cⁿ avec c le côté de l'hypercube
Aire totale = F_nc² avec F_n le nombre de faces

[modifier] Éléments

Un hypercube de dimension n possède 2n "cotés" (un segment 1-dimensionnel a deux points aux extrémités; un carré 2-dimensionnel a quatre bords; un cube 3-dimensionnel a 6 faces 2-dimensionnelles; un hypercube 4-dimensionnel (tesseract) a 8 cellules). Le nombre de sommets (points) d'un hypercube est 2ⁿ (un cube a 2³ sommets, par exemple).

Le nombre d'hypercubes m-dimensionnels (comme désigné sous le nom m-cube ci-dessus) sur la frontière d'un n-cube est

$2^{n-m}{n \choose m}.$

Par exemple, la frontière d'un 4-cube contient 8 cubes, 24 carrés, 32 segments et 16 sommets.

Éléments d'hypercube
n-cube	Noms Symbole de Schläfli Coxeter-Dynkin	Sommets (0-faces)	Arêtes (1-faces)	Faces (2-faces)	Cellules (3-faces)	(4-faces)	(5-faces)	(6-faces)	(7-faces)	(8-faces)
0-cube	Point -	1
1-cube	Digone {} ou {2}	2	1
2-cube	Carré Tétragone {4}	4	4	1
3-cube	Cube Hexaèdre {4,3}	8	12	6	1
4-cube	Tesseract octachore {4,3,3}	16	32	24	8	1
5-cube	Penteract déca-5-tope {4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6-cube	Hexeract dodéca-6-tope {4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7-cube	Hepteract tétradéca-7-tope {4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8-cube	Octeract hexadéca-8-tope {4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-cube	Ennéneract octadéca-9-tope {4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

[modifier] Rotation d'un n-cube

Rotation d'un hypercube.

Basé sur nos observations de la manière dont les objets 1, 2 et 3 dimensionnels peuvent tourner, nous pouvons émettre une hypothèse sur la manière dont tournent les objets à n dimensions. Un objet 3-dimensionnel peut tourner de deux manières différentes sur 3 axes. Par la première, il peut tourner sur une arête. Un cube (par exemple) peut tourner sur un arête entière, ce qui signifie que tout change de position sauf cette arête. Par la deuxième, il peut tourner sur un point unique. Il est possible de faire tourner un cube autour d'un point unique, sans que ce point ne change de position. De manière similaire, un objet 2-dimensionnel peut tourner sur un point unique, mais c'est la seule manière dont il peut tourner. Donc, un cube 3-dimensionnel peut tourner sur sa 1^re dimension ou la 0^e dimension, et un plan 2-dimensionnel peut seulement tourner sur la 0^e dimension. Ainsi, qu'en est-il de la première dimension ? Selon notre théorie, il pourrait tourner autour de la dimension -1, dimension négative qui est le néant ou la non-existence, ce qui a un sens, parce qu'il ne peut pas tourner. Ceci conforte notre hypothèse depuis la première jusqu'aux trois dimensions, donc, nous pouvons par conséquent supposer que cela s'appliquera pour toutes les autres dimensions. Ceci signifie qu'un hypercube 4-dimensionnel peut tourner autour d'une face entière, qu'un hypercube 5-dimensionnel peut tourner autour d'un cube entier, etc...

[modifier] Représentations artistiques

Dans le film de science-fiction Cube² : Hypercube, les héros sont enfermés dans un tesseract, ou du moins ils évoluent en se déplaçant d'un cube à l'autre parmi les faces de l'hypercube. D'un cube à l'autre, l'orientation de la pesanteur peut varier (en tout cas les personnages le ressentent quand ils passent d'un cube à l'autre) le temps peut se dilater ou se contracter, et les personnages sont amenés à rencontrer des doubles d'eux-mêmes à cause de la superposition de futurs possibles. Mais le lien entre ces propriétés et le fait que l'histoire se déroule dans un tesseract n'est pas explicite.

En architecture, l'Arche de la Défense à Paris en France, est une projection en trois dimensions d'un hypercube.

[modifier] Voir aussi

Hypercube magique
Tesseract magique
Hypercube OLAP en informatique décisionnelle
L'Arche de la Défense peut être considéré comme une représentation partielle d'un hypercube

[modifier] Références

Bowen, J. P., Hypercubes, Practical Computing, 5(4):97–99, April 1982.
Coxeter, H. S. M., Regular Polytopes. 3rd edition, Dover, 1973, p. 123. ISBN 0-486-61480-8. p.296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)

[modifier] Liens externes

(en) HyperSolids : un programme open-source pour Macintosh (Mac OS X et plus) qui peut générer 6 hypersolides en quatre dimensions.
(en) Une illustration (nécessite le plugin Java)
(en) Hypercube 98 : un programme Windows qui affiche des hypercubes animés, créé par Rudy Rucker
(en) Démonstration et hypercube interactif (nécessite le plugin Shockwave)
(en) Ken Perlin : comment visualiser un hypercube, par Ken Perlin.
(en) Magic Cube 4D : le Rubik's Cube en quatre dimensions
(en) Cut The Knot ! : Une explication interactive, nécessite le plugin Java. Créé par Alex Bogomolny.
(fr) 4dimensions : Explication en français de la notion d'un espace à quatre dimensions par l'hypercube. Créé par Mounier Florian
Images d'hypercubes (2D–15D)