Nombre de Cullen

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En mathématiques, un nombre de Cullen est un entier naturel de la forme $n.2^n + 1\,$ (écrit $\mathcal C_n$ ). Les nombres de Cullen furent étudiés en premier par le révérend James Cullen en 1905.

Il a été montré que presque tous les nombres de Cullen sont composés; les seuls nombres premiers de Cullen connus sont ceux pour n = 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, et 481899 Encyclopédie électronique des suites entières (id=A005849). De plus, il a été conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Cullen.

Un nombre de Cullen $\mathcal C_n$ est divisible par $p = 2n - 1\,$ si p est un nombre premier de la forme $8k - 3\,$ ; par conséquent, il découle du petit théorème de Fermat que si p est un nombre premier impair, alors p divise $\mathcal C_{m(k)}\,$ pour chaque $m(k) = (2^k - k) . (p - 1) - k\,$ (pour k > 0). Il a aussi été montré que le nombre premier p divise

$\mathcal C_{\frac{p + 1}{2}}\,$ si le symbole de Jacobi $\left(\frac{2}{p}\right)$ est + 1 et

$\mathcal C_{\frac{3p - 1}{2}}\,$ si le symbole de Jacobi $\left(\frac{2}{p}\right)$ est − 1.

On ignore s'il existe un nombre premier p tel que $\mathcal C_p\,$ est aussi un nombre premier.

Quelques fois, un nombre de Cullen généralisé est défini comme un nombre de la forme $n.b^n + 1\,$ , où $n + 2 > b\,$ ; si un nombre premier peut être écrit sous cette forme, il est alors appelé un nombre premier de Cullen généralisé. Les nombres de Woodall sont quelque fois appelés nombres de Cullen de deuxième espèce.