Nombre carré centré

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Un nombre carré centré est un nombre figuré centré qui peut être représenté par un carré ayant un point en son centre et d'autres points placés autour du centre à une certaine distance (associée à la norme 1.) comme dans l'exemple suivant :

Pour tout entier strictement positif, le nombre carré centré de rang n est égal à :

$n^2 + (n - 1)^2\,$ .

Autrement dit, un nombre carré centré est la somme de deux nombres carrés consécutifs. La figure suivante illustre bien ce fait :

$1 + 4\cdot \frac{n\cdot (n+1)}{2}$ .

Les nombres carrés centrés peuvent aussi s'écrire sous la forme suivante (où n est un entier impair) :

${{n^2 + 1} \over 2}\,$ .

Les quatre premières valeurs de n (1,3,5,7) sont figurées ci-dessous. La figure est formée en considérant un carré de n point par points, et en sélectionnant la moitié des points, à partir du coin supérieur gauche, jusqu'au point central inclus.

*   ***  *****  *******
    **   *****  *******
         ***    *******
                ****

Les quelques premiers nombres carrés centrés sont :

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, ...

Tous les nombres carrés centrés sont impairs, et en base 10 nous pouvons remarquer que leurs chiffres des unités suivent le modèle 1-5-3-5-1.

Tous les nombres carrés centrés et leurs diviseurs ont reste égal à un lorsqu'ils sont divisés par quatre. Ainsi tous les nombres carrés centrés et leurs diviseurs se terminent par le chiffre 1 ou 5 en base 6, 8 et 12.