Discuter:Mouvement keplerien

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[modifier] Idéologie de l'article

Bonjour, Relogée à nouveau , ce 24/02/06 : ouf!

Article écrit au niveau de TermeS -Deug .

Les démonstrations sont ailleurs (Lois de Kepler, démonstration).

Essai de fournir un maximum de liens vers des problèmes intéressant des élèves passionnés de satellites, ou d'astronomie.

Wikialement sylvie --Guerinsylvie 24 février 2006 à 10:54 (CET)

[modifier] Valeur de E

j'ai bêtement pris ce qui m'était indiqué , et j'ai travaillé en maple à 15 digits :

restart; Digits := 15;

x := fsolve ( (1-y)/y - exp( 2/(1-2*y) ); soit x := 0.083 221 721 199 517 7

E := evalf( 2*sqrt( x*(1-x)) /(1-2*x) ); d'où E.

Bien sûr , n'importe quel élève de termS est capable de trouver ce résultat !

par contre la démonstration n'est pas à sa portée!

Wikialement sylvie --Guerinsylvie 27 février 2006 à 15:58 (CET)

[modifier] Prolongation de l'article

Sur l'amicale pression de ALAIN ALBOUY de l'IMCCE , j'ai rajouté ses recherches historiques sur "l'algèbre" des manipulations effectuées après publication des Principia . Il a fallu 50 ans de "patouille" ( 1684-1736) pour que s'éclaire un peu le panorama de F = m a et d'autre part le cas du champ central , et enfin le cas de Hooke et le cas de Kepler-Newton.

Il est vraisembable que sera aussi décrite l'intervention du Théorème de Sciacci et l'étude des équations podaires. les livres de

Densmore , Newton's Principia , 1995, ed Green Lion Press, ISBN 1-888009-01-2
Brackenridge, Key to Newton's dynamics, 1995, u California p , ISBN 0-520-20065-9
Guicciardini , reading the Principia ,1999, CUP, ISBN 0-521-64066-0
CORDANI, the Kepler problem , 2003, ed Birkhauser, ISBN 3-7643-6902-7

les cours de DURIEZ sur la toile , les cours de Laskar ( école d'été de Goutelas 1989) , etc ... ainsi que les remarquables CHANDRASEKHAR et COHEN m'ont bien servie.

Il est clair que l'article va dorénavant un peu plus loin que le cours du secondaire.

Wikialement sylvie --Guerinsylvie 28 février 2006 à 14:40 (CET)

[modifier] Suppression ?

Revenue d'un travail à Barcelone , je trouve cette page à SUPPRIMER : sans autre explication ! Bigre ! quelle gifle !

Mais , bon ! Il faut m'y résoudre ; j'écris mal et souvent on me l'a dit . Mais ce que j'écris est JUSTE ! simplement, ici , devant partir travailler une semaine à l'étranger, j'ai jeté le plan de ce que je comptais exposer après avoir réuni les livres que j'ai mentionnés. Ce n'est pas si facile et cela prend du temps! je pense que peu de personnes peuvent avoir la disponibilité nécessaire pour aller chercher et réunir tous ces documents et de les analyser pour en faire une synthèse :

la symétrie SO(4) ou SO(3,1) de Kepler n'est connue que via l'article de Invariant de Runge Lenz.

Encore moins la LINEARITE de F = ma !

Encore moins la notion de géométrie projective , pourtant inhérente à la notion de conique .

Encore bien moins connue est la discrétisation de GREENSPAN.

Et évidemment très peu connaissent le traitement des perturbations de Kepler , respectant les symétries : la plupart du temps , on voit la méthode de Lagrange de VARIATIONS des CONSTANTES , certes ! Et je n'ai rien contre. le Pascoli m'a servie dans mes études . le Kovalevski aussi.

Mais ici , c'est un cran plus haut, puisqu'il s'agit d'EXAMINER pourquoi certains cas sont dégénérés : pour moi , les réductions de Weinstein n'avaient rien d'évident avant que je ne les étudie.

Donc , soit on me laisse le temps de rédiger un article encyclopédique , soit on m'indique comment faire , sachant que par ailleurs , on travaille et que ce temps consacré bénévolement à la wikipedia est forcément distrait de la vie de famille ! Soit ! j'adhère à la wikipedia et ses principes de base : établir une base FREE d'articles ( pour ma part, scientifiques , en histoire des sciences!). Il est clair que je ne crains pas d'être échaudée ; mais au moins que l'on me dise pourquoi en qq mots !

Wikialement sylvie --Guerinsylvie 7 mars 2006 à 22:03 (CET)

[modifier] Relecture

C'est aujourd'hui la journée de la femme : donc je gagne deux heures sur ma vie de famille.

Et donc j'en profite pour me battre sur cet article.

Je l'ai relu. Bon , j'ai enlevé toute référence au bac , puisque cela fait se dresser les cheveux de certains ! mais cela ne rend pas la lecture plus facile ! je vais rajouter la démonstration de la PROPOSITION 6 des Principia : après tout c'est peut-être ce qu'il y a de plus important.

Wikialement en colère sylvie --Guerinsylvie 8 mars 2006 à 12:33 (CET)

[modifier] Remaniement

J'ai assez profondément remanié ce texte , en m'appuyant sur les cours de Duriez sur la Toile et ceux du BdL ( actuellement SMYRTE et IMCCE). Cela correspond à un article assez dense ; relativement plus approfondi que Lois de Kepler et Lois de Kepler, démonstration, auxquels j'avais participé. Evidemment , je suis loin d'avoir fini, je suis longue à la frappe; désolée( le cours de Duriez fait qq centaines de pages.Ici , j'essaie de conserver l'esprit Wikipedia, plutôt que l'aspect traité.

Wikialement sylvie --Guerinsylvie 10 mars 2006 à 17:04 (CET) --

[modifier] re-complément

J'ai fini d'écrire Théorème de Sciacci. Bien sûr , j'aurais pu le nommer Théorème de Newton-Sciacci , puisque c'est la partie radiale qui sert en champ central. Mais par exemple le Théorème de Newton-Hamilton me paraît plus logiquement devoir être nommé ainsi , car chez Hamilton , on sent vraiment que c'est utilisé pour mieux lire les Principia. Ce qui est invraisemblable , c'est que la Wikipedia n'ait pas de moteur de recherche très fiable : on erre d'article en article... Bon en tout cas , j'aurais fait mon possible pour défendre l'étude de la mécanique céleste, via la géométrie.Mais l'article n'est toujours pas fini , certes !

Wikialement sylvie --Guerinsylvie 13 mars 2006 à 20:52 (CET)

[modifier] Proposition de recyclage

Je propose de mettre cet article à recycler car s'il contient un grand nombre d'éléments intéressants, il est difficile à lire, tant du point de vue du style, de l'écriture des équations, et la cohérence entre les différentes notions.

En particulier, il conviendrait de préciser comment le "problème de Kepler" se distingue du ""problème à deux corps (lequel se résoud en la ramenant à un mouvement à force centrale): on cherche à repérer la position de l'astre dans son orbite, exprimé dans un repère lié au corps central.

En raison des corrélats entre les articles "mouvement keplerien", "problème à deux corps et mouvement à force centrale l conviendrait sans doute de reprendre les notations introduite dans ces différents articles pour qu'elles soient cohérentes entre elles.

[modifier] réponse

je ne vois pas ce que le problème à deux corps vient faire ici ! le problème à 2 corps se réduit à celui à un corps via la masse réduite . EXIT le pb à 2 corps . Il reste à connaître les solutions historiques de x" = -x/x^3 , sans réciter du Binet qui a copié sur Clairaut ! Certes, les textes historiques sont moins faciles à lire que de la prose de DEUG ! Quel est l'intérêt de lire ou relire ce que tout le monde répète ?

Quel est surtout l'intérêt de considérer le problème de Hooke ou celui de Kepler comme cas particuliers de champs centraux alors que précisément ILS n'ont pas été considérés comme TELS. Si on répond : au nom de la modernité , alors il faut prendre la symétrie SO(4) et les hyper-harmoniques-sphériques : la solution est sous les yeux ( cf Givental 2001)

--Guerinsylvie 1 juin 2007 à 23:47 (CEST)

[modifier] En attente de solution

je replace ici tout le travail de recherche historique qui n'intéresse pas les gens apparemment :

[modifier] Newton (1684)

1/. la première, celle de Newton en novembre 1684, est géométrique, le temps étant évalué par l'aire balayée (2ème loi de Kepler) : l'analyse en est faite dans l'Exégèse des Principia.

[modifier] Hermann (1710)

2/. la plus simple (1710 & 1713) est celle de Jakob Hermann (1678-1733), élève de Jacques Bernoulli (1654-1705) : il écrit à Jean Bernoulli (1667-1748) : on remarque que l'hodographe est un cercle (notion de vecteur excentricité) : en calculant le produit scalaire e.r, on trouve l'ellipse et son péricentre. L'analyse est faite dans Invariant de Runge Lenz.

Laplace la reprendra dans son traité de « Mécanique Céleste ».

Que cela est vite dit dans notre langage moderne ! En réalité, la démonstration géométrique est la remarque classique sur le rôle des podaires dans le cas de champs centraux. Danjon remarque (avec Hamilton) que l'antipodaire de l'inverse d'un cercle est une conique : cela était enseigné encore au baccalauréat des années 60 (Cf. LEBOSSÉ & EMERY, cours de mathématiques élémentaires).

Quant à Hermann, c'est un tour de force :

Il possède trois intégrales premières en coordonnées cartésiennes tirées de $\ddot{x} = -gR^2\cdot x \cdot r^{-3}$ et idem en y.

$C := x\dot{y} -y\dot{x}$
$E_x := \frac{x}{r} - \frac{C}{gR^2}\cdot \dot{y}$
$E_y := \frac{y}{r} - \frac{C}{gR^2}\cdot \dot{x}$

Eliminer la vitesse : on trouve $x \cdot E_x +y\cdot E_y = r- p$ : c'est une ellipse (Cf. conique, Kepler). Mais comment a-t-il trouvé les deux intégrales premières du vecteur excentricité ? par un raisonnement analytico-géométrique horriblement compliqué ! On sait aujourd'hui le faire par la théorie de la représentation linéaire des groupes (Moser et SO(4) :1968)

[modifier] Transmutation de la force

3/. la plus surprenante est celle de la Transmutation de la force (Newton, retrouvé par Goursat (1889)): ce théorème est EXTRAORDINAIRE et apprécié des afficionados des Principia.

[modifier] Keill (1708)

4. la classique : Newton-Keill (en 1708) - Bernoulli (1719)

Le problème est plan, si la force est centrale. Le plan de phase est donc ( $x,y,\dot{x} , \dot{y}$ ). Les deux équations du PFD (principe fondamental de la dynamique) sont :

$\ddot{x} = - \Omega^2 \cdot x$

et la même en y.[Evidemment $Ω$ dépend de r!]. Cette notation est évidemment très réminiscente de celle de Hooke. Mais elle n'a rien à voir, sinon que la symétrie est centrale.

Choisir trois fonctions invariantes par rotation :

$I := 1 \cdot (x^2+ y^2) = r^2$ , strictement positif,
$J := 2 \cdot (x\dot{x} + y\dot{y})$ , de sorte que $\dot I = J (= 2r\dot{r})$ ,
$K := \frac{v^2}{2}$ , énergie cinétique.

Remarquer cette particularité : r² est choisie comme variable, et non r. Et comme J est non-nulle, I va jouer le rôle d'une échelle de temps au moins sur une demi-période, du périgée à l'apogée.

Démontrer que le problème se réduit à un système (S) d'ordre trois :

$\dot{I} = J$ (déjà vu)
$2\dot{J} = 2K -I \Omega^2(I)$ ( th du viriel !)
$2\dot{K} = - J \Omega^2(I)$ (loi de Newton!)

- - - Keill utilise alors le "temps" I (sans doute ?)le système se réduit à :

$J \frac{dJ}{dI} = K - I \Omega^2/2$
$\frac {dK}{dI} = - \Omega^2/2$

En éliminant Omega² ( et quelle que soit sa valeur ! donc c'est vrai pour toute force centrale!)

$K = \frac{J^2}{8I} + \frac{C^2}{2I}$ .

C'est un vrai tour de force : au debut du XVIIIème , on vient de réécrire :

$2KI = v^2\cdot r^2 = [\vec r \cdot \vec v]^2 + [\vec r \wedge \vec v]^2 = [\vec r \cdot \vec v]^2 +C_0^2$

Emmy Noether connaissait-elle cette démonstration de l'invariance par rotation ?

- - -

L'invariance temporelle donne la conservation de l'énergie :

$1.\cdot H = K + V(I)$ , où V(I) est l'énergie potentielle relative à la force centrale (= $-\frac{1}{2}\int \Omega^2 dI )$

- - -

Ces deux ensembles de surfaces feuillettent l'espace (I,J,K) et leur intersection donne l'orbite du mouvement dans cet espace.

Éliminer K conduit à travailler dans le demi-plan ( $I, J = \dot{I}$ ), c'est à dire dans un plan de phase presque usuel (on joue avec r² plutôt qu'avec r) :

$H = \frac{J^2}{8I} + \frac{C^2}{2I} + V(I)$ ,

ce qui est l'équation, dite souvent de Leibniz(1689), mais en notation I = r². (Remarquer que tout résulte de cette circonstance (non évidente du temps où les vecteurs n'existaient pas) :

$x \dot{x} + y \dot{y} = r \dot{r}$ )

et, comme d'habitude, dt = dI/J donne le mouvement sur cette orbite de phase et la primitive de J(I) donne l'action S(I) du problème.

Evidemment, pour nous actuellement, nous repasserions immédiatement en coordonnées ( r et r').

Il n'empêche que voilà décrite la solution incroyable de Keill qui témoigne d'une ingéniosité tombée dans l'oubli de l'Histoire.

[modifier] Note d'histoire

cette équation ayant été écrite par Lagrange sous cette forme, le H ne saurait signifier « valeur de l'Hamiltonien » ! Peut-être faut-il y voir un hommage à Huygens (?), premier à utiliser la généralisation du théorème de l'énergie cinétique de Torricelli ? peut-être est-ce une simple notation fortuite...

La suite est très classique et correspond à différents paramétrages dans le cas de Kepler :

L'équation de Leibniz se réécrit dans ce cas :

$H \cdot 8r^2 -4C^2 + 8gR^2 \cdot r = J^2$

qui est une conique en J et r, ellipse si H est négatif de grand axe $2a = - \frac{gR^2}{H}$ :

Il est usuel alors de paramétrer via l' »anomalie excentrique » :

$r = a \cdot(1- e \cos{\phi})$ ,

et « miraculeusement » :

$\omega \cdot dt = \frac{r}{a} \cdot d\phi$ ,

qui s'intègre en donnant la fameuse équation de Kepler. En contrepartie l'équation en theta est légèrement plus compliquée à intégrer (primitive de $\frac{1}{r}$ ) d'où :

$tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot tan \frac{\phi}{2}$ .

[modifier] Clairaut (1741)

5/. la méthode de Clairaut (1741), reprise par Binet consiste à écrire l'équation de Leibniz à l'aide de u := 1/r :

$\dot{r}^2 = 2H + 2gR^2 \cdot u - C^2 \cdot u^2$

et cette fois le paramétrage adéquat est :

$u := 1+e\cdot \cos \alpha$ et $\dot{r}: = e\cdot \sin \alpha$

ce qui conduit au « miraculeux » $d θ = d α$ ! la trajectoire est donc une ellipse. Mais la deuxième intégration conduit à $dt = d\alpha \cdot 1/q^2$ plus difficile à intégrer (mais tout à fait faisable !)

[modifier] Lagrange (1778)

6/. la méthode de Lagrange est originale (1778) et n'utilise que la linéarité de F = m.a !

Partant de l'équation radiale de Leibniz(1689) :

$\ddot{r} = C^2 u^3 - e^2u^2$

il pose comme nouvelle variable z = C²-r et trouve :

$\ddot{z} = -gR^2 \cdot z \cdot u^3$ ,

identique aux deux équations de départ en x & y : donc il obtient z & x & y linéairement liés, ce qui est la définition d'une ellipse (Cf. conique, discussion). CQFD

[modifier] Laplace (1798)

7/. Laplace, sans citer Lagrange, calcule, en force brutale, sans aucune intégrale première, l'équation en I = x² + y² du troisième ordre issue du système de Keill : d'où il tire

$\frac{d^3I}{dt^3} = - \frac{\dot I}{I^{3/2}}$

(comme quoi , le jerk ne date pas d'hier!)

Laplace en tire cette fois quatre équations linéaires identiques : d/dt(r^3.Z") = - Z', avec Z = r, x, y, cste. D'où r = a x + by + c.cste : c'est une conique !

L'interprétation physique de la démonstration n'est pas très intuitive ! Si quelqu'un peut aider ...

[modifier] Hamilton (1846)

8/. Soit une ellipse ; le foyer F et sa polaire, la directrice (D). Soit P le point courant de l'ellipse et PH sa projection sur la polaire. Le théorème de Newton-Hamilton donne immédiatement la force centrale F ~ r/PH^3 soit ~ 1/r².e³.

9/. Hamilton démontre aussi que pour toute mouvement sur une ellipse de paramètre Po, |a/\v|.Po = C^3/r^3. Donc si le mouvement est central de foyer F, |a/\v| = a.C/r d'où a ~ 1/r².

10/. Hamilton est aussi le promoteur du renouveau de la méthode de l'hodographe circulaire que Feynman reprendra à son compte dans ses « lectures on Physics »

11/ Hamilton va inspirer le Théorème de Siacci et puis Minkovski qui donnera beaucoup de propriétés des ovales : ceci donne encore une autre démonstration.

12/. Goursat (1889), Bohlin(1911), AKN {Arnold & Kozlov, Neishtadt} reprennent la méthode z-> sqrt(z) = Z et le changement d'échelle de temps (dit de Levi-Civita) dt/dT = 4 |z| : quelques lignes de calcul donnent via le théorème de l'énergie cinétique :

|dZ/dT|² = 8 GM + 8 E |Z|² ; soit par dérivation ${d^2Z \over dT^2} -8E Z = 0$ , avec E négatif.

Donc Z décrit une ellipse de Hooke et sqrt(Z) l'ellipse de Kepler.

On aura reconnu en T, l'anomalie excentrique. Ce n'est donc qu'une des méthodes précédentes : mais cette méthode a des prolongements plus importants (Cf. théorème de Bertrand).Voir aussi plus bas.

Voilà donc 12 démonstrations assez mal connues. En existe-til d'autres ? help !

--Guerinsylvie 2 juin 2007 à 18:19 (CEST)

[modifier] En attente , les perturbations , pour faire de mon mieux

les perturbations du mvt de Kepler sont parmi les plus "dures" car il ya la dégénérescence banale de SO(3), mais aussi la dégénéréscence de SO(4) pour les états liés : du coup il faut comprendre la structure de la sphère S3 dont on sait qu'elle se retourne comme un gant ou peut se transformer en une foliation torique de Hopf, etc. Comment la perturbation agit sur chacun de ces aspects est encore à inventorier, même si on en connaît pas mal sur le sujet, en particulier gràce aux travaux de Poincaré, KAM, Mather, etc. Il est vrai que le niveau est plus élevé ici, puisqu'il s'agit de problèmes le plus souvent non intégrables.

[modifier] Perturbation de Kepler : effet Stark classique

Si à la force newtonienne vient se rajouter une petite force F, la trajectoire va être légèrement perturbée. Néanmoins si F est parallèle au vecteur excentricité, la symétrie ne sera pas entièrement détruite. Il convient de prendre les bonnes coordonnées pour traiter ce problème. Comme on sait traiter le mouvement keplerien en système de coordonnées paraboliques, il faut évidemment en profiter.

Mais si F devient trop grand, il apparaît clairement que l'atome va pouvoir s'ioniser plus facilement.

En mécanique quantique cela sera encore plus évident via l'effet tunnel, conduisant à l'ionisation Stark, fragilisant surtout les atome de Rydberg.

[modifier] Mouvement d'Euler à 2 centres d'attraction

Euler a vite compris que la composante du vecteur excentricité permettait d'intégrer le problème à 2 soleils fixes et une planète. Cela s'opère grâce à un système de coordonnées bifocales.

Vinti s'est fait le promoteur de cette méthode : ébauche

[modifier] Mouvement si Terre-galette (Béletskii)

Beletskii a fait remarquer que le problème d'Euler pouvait s'appliquer à un Soleil légèrement allongé de forme cigare. Par prolongation analytique, avec des masses « imaginaires », il a proposé une interprétation simple du mouvement d'un satellite terrestre sous l'action perturbante du bourrelet (le terme J2(P2(cos(theta)/r³) dans le potentiel gravitationnel. On retrouve les effets décrits dans satellite artificiel.

[modifier] Perturbation de Kepler par planète proche : Terre & Lune

Ce problème est ardu : Newton disait que cela lui donnait mal à la tête.

Il a fallu attendre Clairaut (1741) pour avoir une première théorie de la Lune.

Aujourd'hui avec les miroirs posés sur la Lune (Apollo et Lunakhod), on peut comparer la théorie analytique à celle numérique. La précision théorique des LLR (laser lunar range: tir laser vers la Lune) est de quelques centimètres. La théorie analytique comprend plusieurs milliers de termes, mais donne aussi une précision de quelques mètres. à compléter (séminaire Laskar du 09/03/06).

[modifier] Perturbation de Kepler par planète lointaine : Terre & Jupiter

Là, le problème est plus facile . L'essentiel de la méthode consiste en une méthode variable rapide- variable lente, due à Legendre, puis Gauss. à compléter.

[modifier] Perturbation de Kepler et symétries

Bien sûr, chaque fois qu'un système possède une symétrie continue, le théorème de Noether donne une intégrale première, ce qui permet d'éliminer une variable de l'espace des phases.

Comment s'opère cette réduction ?

Le livre de Cordani, celui de Marsden & Ratiu expliquent cette réduction.

Enfin, le problème garde toujours sa symétrie symplectique : il faudra expliquer comment fonctionnent les intégrateur symplectique (Laskar & Robutel, Celestial Mechanics, 2001,80, 39-62).

--Guerinsylvie 2 juin 2007 à 18:19 (CEST)

[modifier] Réécriture... des volontaires ?

Bonjour ! (et désolé pour la longueur de ce message...)

Cet article, quoique vraisemblablement complet (voire très complet), est assez difficile à lire et à comprendre de prime abord. Par ailleurs, un bandeau de recyclage laisse supposer que je ne suis pas le premier à être effrayé par sa densité. Je propose donc, si certains au moins sont d'accord, d'améliorer cet article, en conservant et clarifiant au maximum le contenu actuel. Notamment, beaucoup est dit sur cette page de discussion, qui gagnerait à être écrit dans le corps de l'article, pour peu que ce soit bien fait.

Il est sinon rare de trouver autant d'informations sur l'histoire des sciences dans un article scientifique. C'est une plutôt bonne chose. Il y a, à mon sens, fort peu à dire sur le fond, bien construit et correctement référencé. En revanche, la forme est très discutable. Voici ce que je pense être les principaux points que l'on pourrait améliorer :

J'adopte délibérément le point de vue du lecteur ignorant n'ayant qu'une culture comme une formation minimale, mais de bonne foi, qui cherche à savoir ce que peut bien être ce « mouvement keplerien » en lisant l'article.

les informations sont présentées sur un ton très scolaire, qui tranche assez avec le reste de l'encyclopédie, et donne plus l'impression d'une liste d'informations spécifiques que d'un article organisé (l'introduction se résume à : « Les 3 lois de Kepler ne donnent que peu d'indications sur le mouvement de la planète. »).
- En particulier, des tournures EN MAJUSCULES, que je suppose censées appuyer (car la répétition est la base de la pédagogie, n'est-ce pas ?) une remarque, sont superflues.
- D'autre part, les références aux « lycéens » sont hors-propos ;
l'article déborde de son domaine, en abordant notamment la propagation non-instantanée des forces de gravitation, concept qui n'est essentiel qu'en relativité générale... les lois de Kepler sont d'une part expérimentales et d'autre part fondamentalement classiques, la relativité semble hors-sujet (ou est mal introduite).
il sépare des notions qui auraient tout intérêt à être laissées ensembles : notamment, on rappelle les formules de l'ellipse en tout début d'article, alors qu'on ne s'en sert explicitement qu'une fois... Cette distinction données/calculs n'est pas naturelle, ces derniers utilisant ces premiers. Il serait plus pédagogique de préciser les conventions dans un premier temps, puis de mener les calculs en faisant intervenir — au besoin — les données.
la typographie est un peu agressive, je citais les majuscules, mais c'est aussi un usage trop présent du gras qui nuit à une lecture agréable et constructive en insistant sur des bouts de phrase ou des mots au détriment des conclusions. On trouve aussi de nombreux points d'exclamation ! (pour marquer un étonnement ?) qui gagneraient à être utilisés avec davantage de parcimonie. Enfin, de trop nombreuses abréviations (non précisées !) sont utilisées. Je rappelle que les noms de familles ne sont pas mis en majuscules dans un texte informatique.
l'article fait des remarques assez surprenantes — même déplacées — dans la continuité du texte : « si vous avez une idée, contactez l'IMCCE, c'est un problème ouvert ! » par exemple, ou même des renvois en page de discussion. On trouve aussi des questions : « pour cste de Gauss ? » auxquelles a priori le lecteur ne saurait répondre. Sinon, les « on pense immédiatement » ne sont vrais que pour certains personnes, les autres aimeraient bien qu'on leur dise pourquoi.
0 illustration. Pour des mathématiques, c'est possible. Pour de la physique, c'est plus difficile. Pour de la physique purement théorique, ça en devient très difficile. Ici, d'autant plus que le sujet s'y prête bien, illustrer l'article serait une bonne idée.
peu de démonstrations, ou trop de démonstrations. Soit des résultats sont affirmés (en disant qu'on retrouvera la démonstration dans un autre article... ou elle n'est pas), soit on propose plusieurs (12 !) démonstrations... Une seule suffit (j'aimerais dire « une seule est nécessaire » mais ce n'est qu'un réflexe). Par ailleurs, les démonstrations sont parfois de simples manipulations, qui amènent d'un résultat à un autre, sans que l'on perçoive ni le sens de la démarche, ni l'intérêt du résultat...

Ceci mis à part, il manque une véritable introduction et un plan progressif, qui amène les résultats plus simples, leurs défauts éventuels, leurs prolongements & implications, les résultats plus poussés, etc. Le sujet est vaste et complexe, il faut donc le présenter d'autant plus simplement, de sorte que tout lecteur muni de bonne volonté et d'un baccalauréat puisse comprendre l'essentiel (et au diable les subtilités) — sans priver le doctorant en mécanique céleste d'y retrouver ses petits.

Je propose de commencer par ce qui est le plus naturel pour la plupart des personnes : « qu'est ce que c'est ? ». Proposition : « Le mouvement képlérien est celui que suit un corps respectant les trois lois de Képler. C'est un cas très général, qui se révèle courant dans de nombreux domaines de la physique... ».

Ensuite, on pourra aborder les domaines plus spécifiques et tout naturellement plus subtils : la théorie perturbative, les symétries, qui apparaissent ici en rupture avec ce que l'on s'attend à trouver dans un article traitant de « mouvement keplerien », alors même qu'elles sont fondamentales (on n'aborde pas l'addition en parlant de groupe abélien, ou la boussole en introduisant les pseudovecteurs, même si c'est in fine la description la plus développée ou la plus juste).

En conclusion, si des personnes sont intéressées pour m'assister, ou éventuellement superviser (ou même corriger, orienter, proposer...), j'espère pouvoir faire de cet article un document véritablement exhaustif et abordable. En restant bien sûr disponible et ouvert à toute remarque, Sharayanan _(blabla) 9 juin 2007 à 15:53 (CEST)