Levier (mécanique)

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En mécanique, un levier est une pièce rigide, allongée, généralement en liaison pivot ou en simple appui par rapport à une partie fixe, qui permet de transformer un mouvement. Ce mécanisme très simple permet d'utiliser l'effet de levier, qui réduit la force à appliquer mais exige de prolonger la durée de l'effort.

On appelle bras de levier la distance séparant une extrémité du levier et son point d’appui; on désigne aussi par bras de levier le rapport des deux bras de levier, qui donne l'amplitude de l'effet de levier qui en résulte.

Pour que le levier puisse jouer, il doit avoir un appui, appelé également hypomochlion (ou hypomoclion) (du grec ὑπο sous et μοχλός levier). C’est aussi l’axe sur lequel on peut faire levier pour tourner. Ce terme est utilisé, notamment en odonto-stomatologie, pour désigner le centre de rotation de la dent par rapport à son ancrage, au niveau du desmodonte.

Sommaire

[modifier] Histoire

Si l’on entend par mécanisme la mise en place cohérente de plusieurs solides dans le but de transformer un mouvement, alors le levier est le plus simple de tous. Ce qui en fait probablement le premier mécanisme ou dispositif mécanique utilisé par l’Homme et ce certainement bien avant la découverte de la roue. Il n’est formé que de deux solides : un appui (un caillou) et un levier (une branche, un bâton) qui disposés judicieusement permettent de démultiplier la force musculaire.

Bien plus tard, Archimède a compris et maitrisé toutes les possibilités qu’offre le levier. Ce dispositif est d’ailleurs à l’origine de l'une de ses citations les plus célèbres :

« Donnez-moi un appui et un levier et je soulèverai la terre. »

[modifier] Étude mécanique

La liaison entre le levier et son appui est généralement unilatérale (un seul sens d’application d’effort est alors possible) dans le cas dun levier ammovible, ou constitue une articulation (pivot, rotule...).

On notera que cet appui ne se situe pas obligatoirement entre les deux points d’application des forces, il peut être extérieur à ces points; c’est le cas pour la brouette.

D'autre part, le levier subit une charge (ce qu'on veut soulever ou pousser), et une force motrice (celle qu'on exerce en la souhaitant la plus faible possible).

L'équilibre sous trois forces (relation entre 3 vecteurs) implique que le levier agit dans un plan. Il est possible que ce plan ne soit pas fixe, et tourne dans l'espace. C’est le cas d’un levier de vitesses automobile, maintenu par une liaison rotule à doigt.

L'étude qui suit présente un levier dans le plan cinématique et statique. Tous les vecteurs sont vus en vraie grandeur. Le levier est maintenu par un appui (ponctuelle ou linéaire rectiligne).

[modifier] Étude cinématique

Déplacement d'un levier autour de son appui
Déplacement d'un levier autour de son appui

Les vecteurs \vec {V_1} et \vec {V_2} ont même direction mais sont de sens opposés : \vec {V_1}\cdot\vec {V_2} < 0 . Ces deux vecteurs peuvent représenter un déplacement (m), une vitesse (m/s) ou une accélération (m/s²).

Le Théorème de Thalès nous donne la relation :

\frac {\|{\vec {V_1}}\|}{\|{\vec {V_2}}\|}=\frac {V_1}{V_2}=\frac{L_1}{L_2}

Cette relation peut s'écrire plus utilement :

V_1 = \frac {L_1}{L_2}\times V_2 ou V_2 = \frac {L_2}{L_1}\times V_1 .

Un levier permet donc de transformer un déplacement, une vitesse ou une accélération selon le rapport de ses bras de levier.

Exemple : une utilisation guerrière de l'aspect cinématique du levier est le trébuchet. Dans ce cas, une masse attachée à une extrémité (L1) est accélérée par la pesanteur terrestre, le levier augmente et transmet cette accélération à l'autre extrémité (L2) afin de projeter un boulet.

[modifier] Étude statique

Levier en équilibre sous des actions extérieures
Levier en équilibre sous des actions extérieures

Le Principe Fondamentale de la Statique (PFS) appliqué au système {LEVIER} au point O nous donne deux équations vectorielles :

  • Pour les résultantes :

\vec {F_1}+\vec {F_2}+\vec {R}=\vec {0}

Soit, en projection sur \vec {y}  : -F_1-F_2+R=0 \, (1)

  • Pour les moments :

\mathcal{M}_o(\vec {F_1}) + \mathcal{M}_o (\vec {F_2}) = \vec {0}

\Leftrightarrow \vec {F_1}\wedge \vec {AO} + \vec {F_2}\wedge \vec {BO} = \vec {0}

\Leftrightarrow -F_1.\vec{y}\wedge L_1.\vec {x} -F_2.\vec{y}\wedge (-L_2 \vec {x}) = \vec {0}

\Leftrightarrow F_1.L_1.\vec {z} -F_2.L_2 \vec {z} = \vec {0}\,

Ce qui donne finalement en projection sur \vec {z}  : F_1.L_1-F_2.L_2=0 \,

que l'on écrira plus utilement : \frac {F_1}{F_2}=\frac {L_2}{L_1} ou F_1 = \frac {L_2}{L_1}\times F_2 ou F_2 = \frac {L_1}{L_2}\times F_1 .

Remarques sur les résultats :

  • Le rapport des bras de levier est inversé par rapport à la relation sur les vitesses.
  • L'équation (1) permet de calculer l'effort que l'appui subit.

Le rapport des forces est donc inversement proportionnel au rapport des bras de levier.

Principe du levier sur la brouette
Principe du levier sur la brouette

Exemples: Le sécateur et le pied-de-biche (aussi appelé pince monseigneur) utilisent l'aspect statique du levier. Un petit effort appliqué par l'utilisateur sur le grand bras de levier permet d'obtenir un effort très important au niveau du petit bras de levier et permet ainsi de couper une branche ou d'arracher un clou.

De même, l'intérêt de la brouette dans le transport de charges, repose sur ce principe.

[modifier] Aspect énergétique

Un des grand principe de la physique est la conservation de l’énergie. Vérifions que le levier respecte ce principe.

En A, la puissance appliquée est \mathcal {P}_A = F_1 \times V_1 .

La puissance transmise en B est \mathcal {P}_B = F_2 \times V_2 .

Or nous avons vu que V_1 = \frac {L_1}{L_2}\times V_2 et que F_1 = \frac {L_2}{L_1}\times F_2 .

On a donc \mathcal {P}_A = F_1 \times V_1 = \frac {L_2}{L_1} \times \frac {L_1}{L_2} \times F_2 \times V_2 = F_2 \times V_2 = \mathcal {P}_B .

Ainsi la puissance et donc l’énergie est intégralement transmise du point A au point B.

En pratique, une petite partie de la puissance est dégradée sous forme de chaleur et/ou de vibrations sonores au niveau de la liaison avec l’appui. Pour en tenir compte il faut connaître le rendement de cette liaison.

Remarque : à partir du principe de conservation de l'énergie (ici sous la forme du travail des forces) on retrouve les propriétés du levier, notamment le fait que le rapport des forces aux extrémités est égal au rapport inverse des longueurs des bras, ce qui fait le bonheur des cambrioleurs utilisateurs du « pied de biche ».

[modifier] Travaux virtuels

Nous pouvons introduire ici le principe des travaux virtuels. En effet, considérant que les déplacements de la structure sont si petit que sa géométrie n'est pas changé, nous arrivons aux mêmes conclusions (ouf! Une fois de plus les mathématiques se sont révélées exactes). Les grandeurs infinitésimales sont précédées du signe d et nous plaçons le point 1 en A et 2 en B.

En 1, le travail virtuel vaut d\mathcal {W}_1 = F_1 \times dx_2.

Le travail virtuel en 2 est d\mathcal {W}_2 = F_2 \times dx_1 .

Comme la structure ne travaille pas au repos, nous devons égaler ces deux travaux virtuels donc F_1 \times dx_1 = F_2 \times dx_2.

Or les déplacements des points 1 et 2 sont liés par la géométrie de la structure car si nous considérons que les poutres restent parfaitement rigides, dès lors, L_1 \times dx_1 = L_2 \times dx_2 .

On a donc L_1 \times F_1 = F_2 \times L_2.

Bien entendu, ce développement tarabiscoté apporte les mêmes conclusions qu'un raisonnement simple à comprendre mais qu'auriez-vous fait si, simplement et sans imaginer le plus cruel, la structure n'avait pas été rigide ?

[modifier] Voir aussi :