Discuter:Infini

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

	Infini fait partie du projet Mathématiques, qui a pour but d'enrichir le contenu de Wikipédia sur les sujets liés aux mathématiques. Si vous voulez participer, vous pouvez modifier cet article ou visiter la page du projet, où vous pourrez vous joindre au projet et consulter la liste des tâches et des objectifs. Le portail Mathématiques pourrait aussi vous intéresser.
Bon début	Cet article a été classé comme d'Avancement BD selon le Tableau d'évaluation du projet. (Voir les statistiques)
Maximum	Cet article a été classé comme d'Importance maximum selon le Tableau d'évaluation du projet.

Cet article a été présélectionné pour faire partie du projet Wikipédia Junior. Ce projet comprend : L'évaluation et l'amélioration d'une liste d'articles généralistes en vue d'une sortie sur cédérom, pouvant avoir une utilisation éducative, L'ouverture et le lancement d'un wiki indépendant dédié aux juniors, permettant une nouvelle rédaction de chaque article adaptée aux 8-13 ans et donnant la possibilité à ce public de participer à sa construction. Avancement : BD, Importance maximum, Merci de votre évaluation.

	Tâches à accomplir pour Infini	modifier • suivre • rafraîchir • aide
	Pour créer la liste des tâches à accomplir pour cet article, vous pouvez : Soit cliquer sur ce lien rouge, y insérer une liste de tâches à faire (par exemple sous forme de liste à puces), puis sauvegarder. Soit modifier cette page-ci et compléter le modèle comme ceci : {{todo|Liste de tâches à faire}}. Voir aussi la page d'aide.

Sommaire 1 L'infini topologique 2 Déplacé de l'article mathématiques 3 Un patchwork 4 Définition d'un ensemble infini 5 L'infini fini 6 Le film ? 7 Les notations 8 Ensembles infinis non dénombrables 9 8 couché? 10 affirmations et sources? 11 Un lieu commun erroné. 12 Renormalisation 13 Infini potentiel et infini actuel 14 Les cardinaux infinis 15 Ibicrate 15.1 Ibicrate (suite) et refonte du paragraphe 16 En géométrie 17 En théorie des ensembles

[modifier] L'infini topologique

L'article initial :

Soit (E,U) un espace topologique, son compactifié est l'espace , où ∞ est un élément extérieur à E, et U' est obtenu de U en lui ajoutant tous les complémentaires dans des fermés de (E,U).

a été modifé. Il est en effet incorrect. Il consiste à rajouter un point à l'espace E, mais ce point est isolé. Or l'ajout d'un point isolé ne rendra pas E compact. Theon 9 jan 2005 à 15:42 (CET)

[modifier] Déplacé de l'article mathématiques

(Peut-on incorporer ces réflexions dans cet article ?)

L'infini

La suite des entiers naturels (1, 2, 3, 4, etc.) comporte des nombres très grands : 10 millions, 300 000 milliards, etc.

Pourtant, on peut choisir un nombre aussi grand que l’on veut, si on lui ajoute 1, on trouvera toujours un nombre plus grand. On dit que cet ensemble est infini.

COMMENT SE NOTE L’INFINI ?

L’infini se note par un huit couché (∞), appelé lemniscate en mathématiques.

Cette notation a d’abord représenté pour les Romains le nombre 1 000, puis un grand nombre. La notation en lemniscate a été utilisée la première fois en 1665 par le mathématicien John Wallis pour représenter l’infini.

QUELLES SONT LES PROPRIÉTÉS DE L’INFINI ?

L’infini est intimement lié au zéro. La division par zéro est impossible : elle définit d’ailleurs pour certains l’infini.

Bien que l’infini ne soit pas à proprement parler un nombre, il existe tout de même des règles opératoires :

QUAND A-T-ON « DÉCOUVERT » L’INFINI ?

Ce n’est qu’au xixe siècle, grâce aux travaux du mathématicien allemand Georg Cantor, que l’on a pu donner un cadre mathématique satisfaisant à la notion d’infini.

La raison de ce travail tardif est que l’infini a longtemps été chargé de sens religieux. Au Moyen Âge, en Europe, la question de l’infini se trouve intimement liée à celle de Dieu. Pendant l’Antiquité, les Grecs avaient même évité de s’intéresser à l’infini car cela aurait pu remettre en question leur système de pensée.

Les mathématiciens grecs qui se sont intéressés à l’infini se sont trouvés confrontés à des paradoxes insurmontables, comme celui d’Achille et de la tortue énoncé par le philosophe et mathématicien grec Zénon d’Élée :

Achille décide de faire la course avec une tortue et de lui laisser de l’avance car elle est plus lente. Il la suit donc. Mais pendant qu’il avance à sa suite, celle-ci a avancé aussi. Il continue donc de la suivre, alors que la tortue continue elle aussi à avancer, même très peu. En raisonnant ainsi, Zénon affirme qu’Achille ne pourra jamais rattraper la tortue…

EXISTE-T-IL DES INFINIS PLUS GRANDS QUE D’AUTRES ?

Les travaux de Cantor ont permis de montrer qu’il existe plusieurs types d’infinis.

L’infini dénombrable correspond aux infinis que l’on peut « compter » : les entiers naturels (1, 2, 3, etc.) sont infinis. Cantor démontre ainsi qu’il y a autant de nombres entiers que de nombres entiers pairs et que de fractions !

En revanche, il existe infiniment plus de points sur un segment que de nombres entiers alors que ces derniers sont infinis.

En fait, il existe une infinité d’infinis différents.

À QUOI SERT L’INFINI ?

L’étude de l’infiniment grand est rattachée à celle de l’infiniment petit. Si l’étude de ces deux extrêmes a permis de faire des avancées impressionnantes dans tous les domaines scientifiques, en particulier en mathématiques, de nombreuses questions restent encore sans réponse en physique (peut-on diviser à l’infini la matière ?) ou encore en astronomie (l’Univers est-il fini ou infini ?).

Certains calculs d’aires et de volumes sont liés à ce que l’on appelle le calcul infinitésimal. Par exemple, pour calculer le volume d’une sphère, une méthode consiste à empiler des disques « infiniment fins » les uns sur les autres, puis à « additionner » les aires obtenues.

[modifier] Un patchwork

Cet article fait un patchwork, qu'il faudrait le restructurer. Pierre de Lyon 18 mars 2006 à 14:15 (CET)

[modifier] Définition d'un ensemble infini

Cette définition dans ces termes est-elle vraiment de Cantor ? A creuser.

[modifier] L'infini fini

J'ai essayé de trouver quoi tirer de cette section assez incompréhensible et je ne vois pas, sauf peut-être une mise en garde sur les difficultés de l'axiomatisation de l'infini actuel, qui pourrait figurer ailleurs dans l'article.

Je propose de la supprimer. Pierre de Lyon 19 mai 2006 à 08:36 (CEST)

Il me parait, à moi aussi que tout le paragraphe petites réflexions sur l'infini n'apporte pas grand chose à l'article, la réflexion sur l'infini fini apparait déjà au moins six fois dans wikipedia (cet exemple semble plaire beaucoup) Paradoxe de l'égalité entre 0,9999... et 1, développement décimal, nombre rationnel, décimale récurrente, nombre réel, base d'or. Supprimer pourquoi pas mais à condition ne créer un véritable article sur l'infini et c'est une tâche infiniement (?) grande. Le sujet est complexe et multiple : de quel infini parle-ton ? Comment mettre dans un même article l'infini philosophique de Pascal, l'infini des cardinaux selon Cantor, sa notion des transfinis et sa conception théologique d'un Dieu situé au dela des infinis, l'infini de la perspective, les points à l'infini de la géométrie projective, le calcul infinitésimal de Leibniz puis l'analyse non standard, les paradoxes de Zénon et l'infini actuel et potentiel (qui mériteraient d'être clarifiés), la notion de limite à l'infini ou de limite infinie dans l'analyse réelle, somme et produit infini (preuve que 0 = \infty sur le site du collège albert camus , l'élément infini dans le Compactifié d'Alexandroff, la question philosophico-physique sur la finitude de l'univers.... Pour l'instant certaines de ces notions (et pas toutes) sont jetées en vrac dans cet article. Peut-être faudrait-il essayer de créer une chronologie de la notion de l'infini avec renvoi sur des articles spécifiques en s'inspirant par exemple de ce site? La tâche me parait démesurée. Bon courage à qui l'entreprendra. HB 19 mai 2006 à 11:20 (CEST)

[modifier] Le film ?

Je n'ai pas compris la section "Le film" dans les petites réflexions. Ca vient peut-être de moi, mais est-il possible de l'éclaircir ?

Mafiou44 8 septembre 2006 à 13:24 (CEST)

Je serais plutôt partisan de la supprimer. Pierre de Lyon 26 novembre 2006 à 10:07 (CET)

[modifier] Les notations

La phrase « L'élément ω sert à désigner l'infini dans les ensembles ordonnés » est pour moi incompréhensible, ou alors absolument stupide.

L'ensemble des réels ou un de ses intervalles, ou même Z, est ordonné et infini mais n'a pas d'élément ω . Je pense que l'auteur a voulu parler du premier élément infini (notion intuitive!) dans un ensemble bien ordonné (moins intuitif). Même dans ce cas, la phrase serait maladroite. Disons : « le symbole ω sert à désigner le premier etc. » -- Fr.Latreille 4 mars 2007 à 23:26 (CET)

La phrase n'a manifestement aucun sens effectivement. Proz 5 mars 2007 à 00:49 (CET)

[modifier] Ensembles infinis non dénombrables

La phrase « Cantor montre du même coup... » est bidon : ce que Cantor a montré, c'est qu'il existe au moins un infini strictement supérieur à aleph-zéro. Par contre, il a laissé ouverte la question de savoir si le cardinal de R était ou non le plus petit. -- Fr.Latreille 4 mars 2007 à 23:49 (CET)

Par définition, à l'époque actuelle et déjà pour Cantor, aleph_1 est le plus petit cardinal non dénombrable. Cantor, en montrant que la puissance du Continu est strictement supérieure au dénombrable, montre bien du même coup qu'elle est supérieure ou égale à aleph_1. Pour savoir que l'égalité n'est pas démontrable il suffit de suivre le lien "hypothèse du continu" (inutile d'en rajouter à mon avis). Je répète ce qui est dans l'article mais c'est tout à fait explicite. Qu'est-ce qui est bidon ? Proz 5 mars 2007 à 00:18 (CET)

J'ai bien compris. J'ai seulement dit que "le continu est strictement supérieur au dénombrable" (résultat de l'argument diagonal de Cantor) et "le continu est au moins égal au plus petit infini strictement supérieur au dénombrable", c'est du pareil au même, pas la peine de le signaler lourdement ("..montre du même coup que..").

Par contre, on aurait pu soigner un peu mieux le reste : on passe sans prévenir de [0,1] à R entier, puis à l'ensemble des parties de N ; on pose comme évident qu'il y a un plus petit cardinal supérieur au dénombrable (après tout..); et surtout on ne signale pas que l'argument diagonal prouve du même coup (là, oui) l'existence d'une infinité de cardinaux infinis distincs.

-- Fr.Latreille 6 mars 2007 à 17:16 (CET)

Eh bien si c'est un malentendu tant mieux (c'aurait été plus simple d'être tout de suite plus explicite). La question stylistique (si je comprends bien) me semble d'importance modérée. Pour ce que tu proposes sur le fond : je dirais qu'il faudrait d'abord améliorer l'article nombre cardinal. Sur cet article : je partage en gros l'avis de HB de mai 2006 ci-dessus. Proz 7 mars 2007 à 01:22 (CET)

Moi aussi, je partage cet avis. Mais je trouve que l'article s'est cependant amélioré, mais il est très loin de la perfection. Pierre de Lyon 7 mars 2007 à 08:25 (CET)

[modifier] 8 couché?

Ce paragraphe nouvellement ajouté est partiellement redondant, donc à supprimer mais dit que Wallis aurait le premier utilisé ce signe, information à remonter dans le paragraphe notations (non sourcé mais plus convaincant), quelqu'un peut-il confirmer ? Proz 11 mai 2007 à 00:25 (CEST)

Peps 11 mai 2007 à 09:42 (CEST)

[modifier] affirmations et sources?

cet article est plein d'informations multidisciplinaires, mais.... je vois qu'il y a des affirmations non sourcées, une approche historique floue pour de nombreuses disciplines évoquées. le lien externe donné à la fin ne suffit pas à esquiver la question. Qui pourrait compléter svp? Michelbailly 15 septembre 2007 à 23:59 (CEST)

Cet article n'a pas d'homogénéité et on ne sait pas bien où il va. Il souffre de ces défaut depuis sa création. L'amélioration n'a procédé que par petites touches. Il faudrait peut-être penser à une refonte complète. Pierre de Lyon 16 septembre 2007 à 09:12 (CEST)

[modifier] Un lieu commun erroné.

Dans le chap géométrie, on lit un lieu common faux: "Les peintres de la Renaissance, cherchant une représentation réaliste du réel, abordèrent la question de l'infini lorsqu'ils développèrent les méthodes de représentation perspective. Des lignes horizontales parallèles « se coupent à l'infini » dans l'espace et en un point sur le tableau; d'une part ce point du tableau ainsi que la ligne d'horizon du tableau correspondent à une certaine réalité en deux dimensions (2D). etc…". D'ailleurs cette affirmation n'est absolument pas sourcée.

Or il ne faut pas se méprendre, cette vision est notre vision rétrospectve. Par exemple j'ai bien étudié le livre d'Alberti. Avec le recul du temps nous avons tendance à penser qu'Alberti a inventé la ligne d'horizon, droite qui contiendrait tous les points à l'infini des droites horizontales. Tel n'est pas le cas. Dans son livre, de pictura, 1435, cette ligne s'appelle la ligne centrale (lat: linea centrica) parce qu'elle contient le point central (lat: punctum centricum) du tableau qui est la projection orthogonale de l'oeil du peintre sur le plan du tableau. Pour Alberti, cette ligne centrale joue un rôle primordial: elle sert de limite et de borne (lat: terminus atque limes), aucune quantité ne peut la dépasser, sauf celles qui sont plus hautes que l'oeil du peintre. Comme on le voit d'après les termes latins, cette ligne est une limite au sens de borne, de frontière, mais ce n'est pas une limite au sens analytique moderne, ce n'est pas, comme nous la concevons, la limite-analytique de points qui tendraient vers l'infini sur des droites horizontales. Ce n'est pas non plus la projetée de toutes les droites d'intersection de deux plans horizontaux de l'espace projectif moderne. D'ailleurs Alberti n'a pas de préoccupation projective, son concept de droite centrale est purement métrique, la droite centrale sert uniquement d'invariant qui positionne la hauteur maximale des yeux de tous les personnages du tableau quel que soit l'éloignement de chaque personnage par rapport au peintre. Il semble bien qu'Alberti a inventé un droite importante de la géométrie projective sans s'en apercevoir, simplement avec des préoccupations métriques qui s'énonceraient ainsi: quelle est la taille apparente d'un personnage plus ou moins éloigné? Où se situent ses pieds sur le tableau? Où se situe(nt) le haut de sa tête, ses yeux à la rigueur? Si la notion de limite de quelque chose lorsque x tend vers l'infini n'existe pas chhez Alberti, qu'en est-il de la notion d'abscisse presque infinie qui serait deja une étape conceptuelle importante? La notion (ordinale) de positionnement d'un point presque à l'infini sur une droite, telle que nous la connaissons, n'existe pas chez Alberti, l'adjectif infini sert juste à parler de cardinalité d'un ensemble, par exemple quand il envisage la possibilité théorique de tracer les intersections d'un cercle avec un nombre presque infini de lignes parallèles (lat: paene infinitis parallelis).

Ceci débouche sur une proposition de modif de la rédaction du début. Les peintres du Quattrocento, cherchant une représentation réaliste du réel, abordèrent la méthode de projection de l'espace tridimensionnel sur le plan du tableau lorsqu'ils développèrent les méthodes de représentation perspective. Plus tard (je retrouverai l'auteur et la date) la question de l'infini découla des méthodes de représentation perspective. Des lignes horizontales parallèles « se coupent à l'infini » dans l'espace et en un point sur le tableau; d'une part ce point du tableau ainsi que la ligne d'horizon du tableau correspondent à une certaine réalité en deux dimensions (2D). etc...Michelbailly 10 octobre 2007 à 23:47 (CEST)

[modifier] Renormalisation

Le § sur l'impossibilité de l'infini physique est peu clair. Si on entend par là pression, température, etc.... OK, une pression infinie n'a pas de sens ; par contre je ne vois pas en quoi la notion d'espace infini (au sens d'espace métrique non compact) créerait en elle-même un paradoxe, de sorte qu'un modèle d'univers devrait nécessairement être "fini" (compact). Tout ce paragraphe est très mal fichu.--Michel421 (d) 22 mars 2008 à 21:39 (CET)

Il y a besoin de sources.--Michel421 (d) 22 mars 2008 à 22:39 (CET)

[modifier] Infini potentiel et infini actuel

Ce ne sont pas des concepts de mathématiques.--Michel421 (d) 23 mars 2008 à 14:42 (CET)

Si ce ne sont pas des concepts mathématiques, ça n'en est pas loin. Pierre de Lyon (d) 23 mars 2008 à 21:42 (CET)

Les mathématiques maintenant sont basées sur la théorie axiomatique des ensembles ZFC, c'est dire que tout objet mathématique est un ensemble, or il n'existe pas dans ZFC - ni d'ailleurs dans aucune des théories alternatives - d'ensemble potentiellement infini. Alors évidemment on peut toujours modéliser ces concepts de "être en puissance" et "être en acte" mais précisément ce sont des modèles, des applications des mathématiques, cela ne relève pas de la structure des mathématiques. D'ailleurs je ne pense pas que les anciens voyaient cela très différemment. L'opposition entre infini potentiel et infini actuel me semble être le produit spécifique d'une philosophie particulière à une époque particulière (la crise des fondements).--Michel421 (d) 23 mars 2008 à 22:50 (CET)

La vision « Les mathématiques maintenant sont basées sur la théorie axiomatique des ensembles ZFC, c'est dire que tout objet mathématique est un ensemble » est assez restrictive (donc pas encyclopédique), elle correspond à une vision certes majoritaire chez les mathématiciens d'aujourd'hui, mais dont peu maitrisent ZFC. Mais sous l'impulsion des logiciens de la théorie de la démonstration et des informaticiens, une mathématique se fonde de plus en plus sur la théorie des types. Dans ce cadre, on distingue les objets construits par induction, où on ne manipule pas d'objets infinis, et les objets fondés sur la co-induction où on manipule effectivement des objets infinis. Si l'on prend les développements faits an COQ, la plupart sont faits en utilisant seulement l'induction (donc l'infini potentiel). La manipulation de la co-induction en Coq reste délicate. Pierre de Lyon (d) 24 mars 2008 à 08:01 (CET)

Ceci dit, je ne défends pas la structure de l'article que je trouve un peu patchwork. Pierre de Lyon (d) 24 mars 2008 à 08:03 (CET)

L'induction porte sur des objets finis, pas sur des objets potentiellement infinis OK?--Michel421 (d) 24 mars 2008 à 11:55 (CET)

Oui pour les objets, mais l'ensemble ainsi construit (par exemple celui des naturels) est potentiellement infini.Pierre de Lyon (d) 25 mars 2008 à 16:57 (CET)

Bon ben...... Définitions inductives, f(n+1) = g[f(n)] c'est vieux comme Hérode, rien de nouveau. Tu construis successivement des objets définis à partir des premiers, à aucun moment tu ne construis un objet spécial "potentiellement infini".... Quelle est l'originalité de ce programme? Peux-tu me fournir un exemple bien précis?--Michel421 (d) 25 mars 2008 à 18:39 (CET)

Je veux dire, son originalité de ce point de vue.--Michel421 (d) 25 mars 2008 à 21:49 (CET)

D'une part, outre l'induction sur les entiers, il y a toute sortes d'inductions structurelles, ça c'est un peu nouveau, cela date des années 60. En revanche, la coinduction dans Coq, permet de manipuler, par exemple, comme objet la suite des entiers naturels, un objet infini. D'autre part, le calcul des constructions, le langage sous-jacent à Coq, est imprédicatif et cela est original. Pierre de Lyon (d) 6 avril 2008 à 14:58 (CEST)

[modifier] Les cardinaux infinis

Dans ce paragraphe il est dit un ensemble E est infini s'il existe une bijection entre E et une partie stricte de E, ça c'est la définition de Dedekind. D'après Tarski un ensemble E est fini si et seulement si toute famille de sous-ensembles de E admet un élément minimal pour l'inclusion. Et donc un ensemble est infini s'il existe une famille n'admettant pas d' élément minimal.

Le pb est que ces deux définitions ne sont équivalentes que par la grâce de l'axiome du choix. Sans cet axiome, un ensemble peut très bien être fini au sens de Dedekind et infini au sens de Tarski !

La définition du sens commun (existence d'une bijection sur l'ensemble de n premiers entiers naturels) équivaut à la définition de Tarski (mais cela suppose d'avoir préalablement défini les nombres entiers).

Apparemment donc, l'auteur du paragraphe suppose implicitement l'axiome du choix. Ce qui se confirme quand il parle "du" cardinal d'un ensemble : sans l'axiome du choix un ensemble n'a pas nécessairement un cardinal.--Michel421 (d) 24 mars 2008 à 12:27 (CET)

Oui, j'ai présupposé ZFC sans rien dire (dans l'esprit de ce qui est écrit dans les sous-paragraphes). C'est est trop imprécis et trop bref en l'état. Avis aux amateurs pour développer... Gth (d) 24 mars 2008 à 22:01 (CET)

[modifier] Ibicrate

Ce passage m'apparaît suspect, d'autant que dans l'article Hippocrate de Chios ce dernier (appelé quelquefois Ibicrate pour ne pas le confondre avec le médecin) est présenté comme un idiot qui aurait inventé la preuve par l'absurde (peut-être on suppose un lien de cause à effet ). A moins que quelqu'un vienne avec des sources solides, je pense que l'on pourrait remplacer ça par ce que disait Aristote lui-même.--Michel421 (d) 29 mars 2008 à 22:21 (CET)

Quant à l'apeiron, ça vient d'Anaximandre de Milet, et ça n'a pas grand chose à voir, ça a plutôt l'air d'un infini sous-jacent à l'air, à l'eau et aux autres éléments ("actuel"??)--Michel421 (d) 29 mars 2008 à 22:35 (CET)

[modifier] Ibicrate (suite) et refonte du paragraphe

Je ne trouve pas de référence étayant l'affirmation qu'Ibicrate est l'auteur de l'infini potentiel, donc comme on dit ici, "n'hésitez pas à améliorer"....si c'est possible.

D'autre part, plutôt que d'entrer sans se poser de question dans le cadre d'un stéréotype (infini actuel vs infini potentiel), je pense qu'il serait plus profond et plus utile de développer l'évolution de la communauté mathématique au cours des âges quant à l'usage et l'opérabilité du concept "infini".--Michel421 (d) 30 mars 2008 à 22:27 (CEST)

[modifier] En géométrie

Ce paragraphe n'est pas sourcé du tout. Il faudrait une référence sur le Quattrocento, MichelBailly avait quelques bonnes idées là-dessus.

D'autre part peut-être serait-il bon de synthétiser en montrant la progression géométrie descriptive → géométrie projective → topologie dans un même paragraphe.--Michel421 (d) 6 avril 2008 à 12:48 (CEST)

[modifier] En théorie des ensembles

Un ensemble E est infini si, et seulement si, il n'est équipotent à aucun intervalle borné de , c'est un peu un truisme, puisque les entiers sont eux-mêmes définis comme des ensembles finis.Pierre de Lyon (d) 9 juin 2008 à 18:44 (CEST)

En fait, il serait plus intéressant de montrer les différentes manières de définir l'infini, notamment par une propriété universelle utilisant les entiers (qui peuvent bien être définis sans le concept de fini, non ?) ou par une propriété existentielle d'une self-injection stricte ou d'une inclusion de l'ensemble des entiers. Il faudrait ensuite montrer que l'équivalence de ces définitions dépend de l'axiomatique choisie. Bref, il faut en tout cas montrer qu'il n'y a pas « une seule » définition de l'infini cardinal. Ambigraphe, le 10 juin 2008 à 09:56 (CEST)

qui peuvent bien être définis sans le concept de fini, j'en doute, mais j'aimerais qu'on me convainque. Pierre de Lyon (d) 10 juin 2008 à 15:13 (CEST)

En théorie des ensembles on peut définir un entier comme un ensemble transitif bien ordonné strictement par l'appartenance (un ordinal) et tel que chacun de ses éléments sauf ∅ a un prédécesseur. Maintenant est-ce que ça signifie vraiment qu'on a défini "entier" avant "fini" ? Ca semble une question plus philosophique que mathématique. On peut dire que l'on a défini "ordinal fini" (= entier) ce qui permet de définir "ensemble fini" (= équipotent à un entier). Dans pas mal de bouquins on définit d'abord les entiers puis les ensembles finis, mais il est possible de faire autrement. Par ailleurs, je ne sais pas s'il faut accorder trop d'importance aux questions techniques sur la définition de fini en théorie des ensembles dans cet article ? Proz (d) 10 juin 2008 à 20:30 (CEST)

En théorie des ensembles on peut définir un entier comme un ensemble transitif bien ordonné strictement par l'appartenance (un ordinal) et tel que lui même et chacun de ses éléments sauf ∅ a un prédécesseur (précision mise en gras, sinon on embrigade aussi oméga). J'avoue que je ne connaissais pas cette définition, que je trouve très judicieuse/élégante et digne d'être mentionnée qqpart, par exemple dans l'article entier.

A noter que si on veut définir les entiers on doit pouvoir y arriver par le haut, genre (énoncé informel) : "l'intersection à isomorphisme près de l'ensemble de base de toutes les structures modèles des axiomes de Peano". Mais ce serait p.e. abuser (appel au 2è voire 3è ordre + aux classes) et en regardant dans le détail on utilise p.e. les notions de "fini" ou d' "infini".

Sinon je crois que la notion d'ensemble infini est bcp plus simple à définir que celle d'entier; bicose~, pour le entiers, 1. le thm d'incomplétude si on les voit comme éléments de |N et 2. les définitions alternatives comme celle de Frege, qui voit un entier comme une classe d'équivalence pour la bijectabilité.

Et pour rebondir sur le début de la discussion, car en effet, parler d'intervalle (borné ou pas d'ailleurs; non?) sur |N c'est un peut tricher, me semble tout de même que la définition la plus simple à appréhender pour la notion d'ensemble infini est, ce que mentionne Ambigraphe (self-injection), "un ens. est infini s'il s'injecte dans une de ses parties strictes".

Question @ Proz (car je vois qu'il y a aussi une discussion sur ensemble infini ) c'est cette définition ou celles de Dedekind ou Tarski qui nécessite l'axiome du choix ? A moins que ce ne soit que simplement l'implication entre une définition et une autre qui nécessite AC ?

Je pense, comme dit Proz, qu'il ne nous faut pas squatter outrancièrement en considérations ensemblistes cet article infini qui doit traiter de la notion d'infini en toute généralité historique, philosophique, théologique ou autres (la mention de la revue de Sollers me semble un peu limite et relever d'une page d'homonymie, mais à défaut d'une telle page pas facile à mettre en branle, pourquoi pas); nos remarques peuvent être exploitées sur la page ensemble infini.

Aussi je pense qu'il y a de la philo (des maths) à entrelarder dans certain articles de maths. Mais j'avoue que c'est pas simple du tout de le faire (introduire des notions historiques est plus simple; ce que font tb certains) sans entrer dans ce qui est banni WP:TI. Contrairement au maths, quasi tout ce qui est dit en philo de pertinent est TI; c'est quasi consubstantiel à la discipline. Via nous sommes loin de voir Catégorie:philosophie de la logique ou Catégorie:philosophie des mathématiques être développés. .

Epsilon0 ε₀ 12 juin 2008 à 09:33 (CEST)

Pour répondre à la question sur AC : c'est simplement qu' avec AC il y a équivalence des définitions ; alors que sans AC un ensemble pourrait très bien n'admettre aucune bijection avec une partie stricte sans pour autant que l'on puisse compter ses éléments. Quant à l'intervalle, il doit être borné pour que l'on puisse dire que l'ensemble est fini (au sens usuel, qui équivaut à celui de Tarski). Pour moi un intervalle de N avait forcément deux bornes ; mais l'article intervalle de la WP francophone ne dit pas ça ; aussi Ambigraphe a-t-il rajouté "borné". Il a sans doute raison si c'est cet usage là qui est consacré.--Michel421 (d) 12 juin 2008 à 22:48 (CEST)

Merci pour ces précisions --Epsilon0 ε₀ 13 juin 2008 à 20:03 (CEST)