Inégalité de Young

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En mathématiques, la forme standard de l'inégalité de Young (ou inégalité d'Young) affirme que pour tous a et b réels posififs ou nuls et tous p et q réels strictement positifs tels que 1/p + 1/q = 1 (on dit parfois qu'ils sont conjugués), alors on a :

ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}

L'égalité a lieu si et seulement si ap = bq. L'inégalité de Young est un cas particulier de l'inégalité arithmético-géométrique. Son nom vient de William Henry Young.

Un cas simple (relativement fréquent) de l'inégalité de Young est l'inégalité avec des exposants 2 :

ab \le \frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2}

qui donne également l'inégalité de Young avec ε (valide pour tout ε > 0) :

ab \le \frac{a^2}{2\varepsilon} + \frac{\varepsilon b^2}{2}

Sommaire

[modifier] Généralisation en utilisant la transformée de Legendre

Si f est une fonction convexe, en notant g sa transformée de Legendre, alors

ab \le f(a) + g(b) \,

Ceci vient directement de la définition de la tranformée de Legendre. Cette inégalité est encore valide — dans la forme a ·b ≤ f(a) + g(b) — si f est une fonction convexe à argument vectoriel (voir Arnold, 1989, §14 en fin d'article).

[modifier] Exemples

  • La transformée de Legendre de f(a) = ap/p est g(b) = bq/q avec q tel que 1/p + 1/q = 1, et ainsi l'inégalité de Young standard est un cas particulier.
  • La transformée de Legendre de f(a) = ea – 1 est g(b) = 1 – b + b ln b, et alors ab ≤ ea – b + b ln b pour tous a and b positifs ou nuls.

[modifier] Une inégalité pour les normes Lp

En analyse réelle, le résultat suivant, démontré pour la première fois par Young en 1912 est aussi appelé inégalité de Young :

Soient f dans Lp et g dans Lq et

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r} + 1

avec 1 ≤ p,q,r ≤ ∞ and 1/p + 1/q ≥ 1. Alors

\|f*g\| _r\le\|f\|_p\|g\|_q.

Où l'étoile note ici la convolution, Lp est l'espace de Lebesque et

\|f\|_p = \Bigl(\int |f(x)|^p\,dx \Bigr)^{1/p}

note la norme Lp usuelle. Ceci peut être démontré par l'inégalité de Hölder.

[modifier] Utilisation

L'inégalité de Young peut être utilisée dans la preuve de l'inégalité de Hölder. Elle est également largement utilisée pour estimer la norme de termes non linéaires en théorie des équations aux dérivées partielles, puisqu'elle permet d'estimer un produit de deux termes par une somme des deux mêmes termes à une puissance quelconque et divisé par un nombre.

[modifier] Démonstration

[modifier] Cas élémentaire

L'inégalité de Young avec des exposants 2 est le cas particulier p = q = 2. Sinon, elle a une preuve élémentaire en observant seulement que

0\le (a-b)^2=a^2+b^2-2ab

on ajoute 2ab de chaque côté et on divise par 2.

L'inégalité de Young avec ε suit en appliqant l'inégalité de Young avec exposants 2 à

a'=a/\sqrt{\varepsilon},\text{ }b'=\sqrt{\varepsilon}b

[modifier] Forme standard

La démonstration est triviale si a = 0 or b = 0. On suppose donc a, b > 0.

Si ap = bq, alors par les lois de exponentiation et le fait que 1/p + 1/q = 1 :

ab = a(b^q)^{1/q} = aa^{p/q} =a^{p/p}a^{p/q} =a^{p(1/p+1/q)}= a^p = {a^p \over p} + {b^q \over q}

et on a l'égalité dans l'inégalité de Young.

Supposons maintenant ap ≠ bq jusqu'à la fin de la preuve. Par l'équation fonctionnelle du logarithme naturel, on a :

\ln ab = \ln a +\ln b = \frac{\ln a^p}p + \frac{\ln b^q}q

En notant que le logarithme naturel est strictement croissant (parce que sa dérivée est strictement positive), alors ln ap ≠ ln bq. Sa fonction réciproque est la fonction exponentielle f(x) = exp(x), qui est une fonction strictement convexe (puisque sa dérivée seconde est strictement positive). Ainsi la fonction exponentielle satisfait la définition des fonctions strictement convexes : pour tous t de l'intervalle ouvert ]0,1[ et tous nombres réels x et y avec x ≠ y, on a :

f(tx+(1-t)y)< t f(x)+(1-t)f(y)\,.

En appliquant l'inégalité stricte pour t = 1/p, 1 – t = 1/q, x = ln ap et y = ln bq, on obtient :

ab = \exp(\ln ab) = \exp\Bigl(\frac{\ln a^p}p + \frac{\ln b^q}q\Bigr) < \frac{\exp(\ln a^p)}p+\frac{\exp(\ln b^q)}q = \frac{a^p}p + \frac{b^q}q

ce qui termine la preuve.

[modifier] Références