Identité de Brahmagupta

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En mathématiques, l'identité de Brahmagupta est une formule utilisée pour la résolution d'équations diophantiennes. Elle est ancienne, Diophante d'Alexandrie un mathématicien grec vivant probablement au III^e siècle établit un cas particulier pour l'étude d'un ancêtre du théorème des deux carrés de Fermat. Brahmagupta (598-668) l'établit dans toute sa généralité pour résoudre une question associée à l'équation de Pell-Fermat. L'école indienne met au point une méthode dite chakravala, fondée sur l'identité de Brahmagupta. Le commentaire de Selenius est éloquent : « La méthode représente un algorithme de meilleure approximation de longueur minimale qui, en raison de plusieurs propriétés de minimisation, avec un effort minimal et évitant les grands nombres produit automatiquement les meilleures solutions de l'équation. La méthode chakravala anticipa les méthodes européennes de plus d'un milliers d'années. Mais aucune performance européenne dans le champ entier de l'algèbre beaucoup plus tard après Bhaskara, n'égala la complexité merveilleuse et ingénieuse de chakravala. »^[1]

Cette méthode se fonde sur l'identité de Brahmagupta.

[modifier] Identités

Une première forme, souvent appelée Identité de Diophante dit que le produit de deux nombres, égaux chacun à une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés. Précisément :

$\forall a, b, c, d \in \mathbb A \quad \left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) = \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2$

Ici A désigne un anneau commutatif unitaire et intègre. L'usage le plus fréquent est celui où A est égal aux nombres entiers, rationnels, réels ou complexes.

Sous sa forme générale, appelée Identité de Brahmagupta, elle exprime l'égalité suivante :

$\forall a, b, c, d, n \in \mathbb A \quad \left(a^2 - n\cdot b^2\right)\left(c^2 - n\cdot d^2\right) = \left(ac+n\cdot bd\right)^2 - n\cdot \left(ad+bc\right)^2$

L'identité de Diophante s'obtient en choisissant pour n la valeur -1.

Une autre forme équivalente est utilisée, obtenue en remplaçant b par son opposé :

$\forall a, b, c, d \in \mathbb A \quad \left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) = \left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2$

Pour le cas général, on obtient :

$\forall a, b, c, d, n \in \mathbb A \quad \left(a^2 - n\cdot b^2\right)\left(c^2 - n\cdot d^2\right) = \left(ac-n\cdot bd\right)^2 - n\cdot \left(ad-bc\right)^2$

[modifier] Démonstrations

On reconnait là, avec z=a+ib et z'=c+id : |z|x|z'|= |z x z'| L'identité se conserve dans n'importe quel anneau commutatif, mais est très utilisée pour les entiers.

Voir aussi l'identité des quatre carrés d'Euler. Il existe une identité similaire en huit carrés dérivée des nombres de Cayley, mais elle n'est pas particulièrement intéressante pour les entiers parce que chaque entier positif est la somme de quatre carrés.